高考数学-【易错点30】函数定义域值域
1 高考数学易错点 【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位
例30、已知函数()()()22lg 32215f x m m x m x ??=-++-+??
(1)如果函数()f x 的定义域为R 求实数m 的取值范围。(2)如果函数()f x 的值域为R 求实数m 的取值范围。
【易错点分析】此题学生易忽视对232m m -+是否为零的讨论,而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R 和值域为R 的含义理解不透彻导致错解。
解析:(1)据题意知若函数的定义域为R 即对任意的x 值()()2232215m m x m x -++-+0>恒成立,令()()
()2232215g x m m x m x =-++-+,当232m m -+=0时,即1m =或2。经验证当1m =时适合,当2320m m -+≠时,据二次函数知识若对任意x 值函数值大于零恒成立,只需23200
m m ?-+>??综上所知m 的取值范围为1m ≤或94
m >。 (2)如果函数()f x 的值域为R 即对数的真数()()22
32215m m x m x -++-+能取到任意的正数,令()()
()2232215g x m m x m x =-++-+当232m m -+=0时,即1m =或2。经验证当2m =时适合,当2
320m m -+≠时,据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需23200m m ?-+>??≥?解之
得924m <≤综上可知满足题意的m 的取值范围是924
m ≤≤。 【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母,要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R 是两个不同的概念,前者是对任意的自变量x 的值函数值恒正,后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
【练30】已知函数()()()221212f x a x a x =-+-+的定义域和值域分别为R 试分别确定满足条件的a 的取值范围。答案:(1)1a ≥或3a ≤-(2)31a -≤≤或1a =-
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意:(1)A中元素必须都有彖J1唯一;(2)B中元素不一定都有原彖,但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都
冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常
⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做两数值,函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮,对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1:映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ; (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ; (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM,a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件:对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2:判断两函数是否为同一个函数
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:
函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:
求函数的定义域和值域的方法
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
高中数学必修一幂函数及其性质
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;
过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).
函数的定义域、值域及解析式
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x-1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (√x)2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3.区间的概念
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--