2019年上海高三二模真题汇编讲义——集合、命题与不等式

2019年二模汇编——集合、命题与不等式

一、知识梳理

【知识点1】集合间的相互关系

【例1】（2015年黄浦二模理3）已知集合2

{|160,},{|3,}A x x x R B x x a x R =-≤∈=-≤∈，若B A ?，则正实数a 的取值范围是 .

【答案】(0,1].

【点评】根据集合间的关系，在数轴上分别画出集合A B 、所表示的范围，解出a 的取值范围.

【例2】（2016年黄浦二模文理1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ?，则实数m = . 【答案】1.

【点评】根据集合间的关系和集合中元素无序性，互异性，准确性的特点得出答案.

【例3】（2016年闸北二模文理2）已知集合{||2|}A x x a =-<，2

{|230}B x x x =--<，若B A ?，则实数a 的取值范围是 . 【答案】3a ≥.

【点评】根据集合间的关系和不等式的运算，在数轴上分别画出集合A B 、所表示的范围，解出a 的取值范围.

【例4】（2017年杨浦二模5）集合2

{1,3,}A a = 集合{1,2}B a a =++ . 若B A A ?= 则实数 a =

_______. 【答案】2.

【解析】B A A B A ?=??，根据集合元素特征即可解决问题. 【点评】了解,B A A B A B A A A B ?=???=??

【例5】设全集U =R ，若集合{0,1,2}A =，{|12}B x x =-<<，()U A C B = .

【参考答案】{2}.

【例6】（2018年长宁嘉定二模1）已知集合{1,2,}A m =，{2,4}B =，若{1,2,3,4}A

B =，则实数

m = .

【参考答案】3m =.

【知识点2】集合的交、并、补运算

【例1】（2017年宝山二模1）已知集合{|0}A x x =>，集合{|1}B x x =<，则A B = .

【答案】(0,1).

【点评】集合的运算我们可以利用画数轴或者文氏图得出答案.

【例2】（2017年奉贤二模4）设集合{|23},{|}A x x B x x t =-≤=<，若A B ?=?，则实数t 的取值范围是 . 【答案】1t ≤-.

【解析】{|11}A x x =-<<，画出数轴，根据交集是空集解出答案. 【点评】本题考察集合的运算，善用数轴解决问题.

【例3】（2017年长宁、金山、青浦二模1）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，集合

{|2,}B x x x R =<∈，则A B = _________.

【答案】(1,2)-.

【点评】通过数轴解决问题.

【例4】（2016年静安二模文1）已知全集U R =，集合{}

(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集

U C A = .

【答案】(,1)

(4,)-∞+∞.

【点评】了解补集的定义即可解决问题.

【例5】（2016年奉贤二模文11）已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤ {(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ?≠ 则t 的取值范围是_______. 【答案】[]

4,2-.

【点评】转化成线性规划解决问题.

【例6】（2018年金山3）已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q = .

【参考答案】(2,3).

【例7】（2018年徐汇二模1）已知全集U =R ，集合2{|230}A x x x =-->，则U C A = . 【参考答案】[1,3]-. 【例7】

（2018年虹口二模1）已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，

且A B ≠?，则实数a 的范围是 .

【参考答案】1a ≥.8（2018年崇明二模1）已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A = .

【参考答案】{1,3}.

【例8】（2018年黄浦二模1）已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 .

【参考答案】2.

【知识点3】命题的判定

【例1】下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ①“若0ab =，则0a =”的否命题；

①“正三角形的三个角均为60?”的逆否命题，

其中真命题的序号是______(把所有真命题的序号填在横线上)． 【答案】①①.

【解析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；

①“若0ab =，则0a =”的否命题为“若0ab ≠则0a ≠”，而由0ab ≠可得a b ，都不为零，故0a ≠，所以该命题是真命题；

①由于原命题“正三角形的三个角均为60?”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填①①. 【点评】通过命题间的相互关系得出答案.

【知识点4】充分条件与必要条件 【例1】（2017年宝山二模13） 设a 、b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ）.

A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 充要条件；

D. 既不充分也不必要条件. 【答案】B .

【点评】举反例即可.

【例2】（2017年青浦二模13）已知0,02

22

22

12

1≠+≠+b a b a ，则“

02

21

1=b a b a ”是“直线

0:1111=++c y b x a l 与0:2222=++c y b x a l ”平行的

（ ） A. 充分而不必要条件； B. 必要而不充分条件；

C. 充要条件；

D. 既不充分也不必要条件. 【答案】B .

【点评】理解充分性和必要性的定义.

【例3】（2017年虹口二模13）已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b a c =?的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件. 【答案】A .

【点评】了解等比数列的性质和充分性、必要性.

【例4】（2016年浦东二模文理15）“

1

12

x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；

C. 充要条件；

D. 既非充分亦非必要条件. 【答案】A .

【例5】（2018年浦东二模2）不等式01

x

x <-的解集为 . 【参考答案】(0,1)

【点评】掌握必要性和充分性的区别. 【例6】（2018年长宁嘉定二模13）“2x =”是“1x ≥”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；

C. 充分必要条件；

D. 既不充分也不必要条件. 【参考答案】A . 【例7】（2018年浦东二模15）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）. A. 充分条件； B. 必要条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 【参考答案】A .

【例8】（2018年闵行松江二模13）“0x y =”是“00x y ==且”成立的 ( ) . A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；

C. 充要条件；

D. 既非充分也非必要条件. 【参考答案】B .

【知识点5】不等式的基本性质

【例1】（2015年闵行理15文15）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( ) A. 2a ab <； B. 2ab b -<-； C.

11a b <； D. b a

a b

>. 【答案】B .

【点评】掌握不等式的性质.

【例2】（2016年闵行二模文理15）如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）.

A.

11

a b > ； B. 22a b >； C. ()()lg 1lg 1a b +>+； D. 22a b >. 【答案】D .

【点评】根据不等式的性质以及初等函数的性质即可解决问题.

【例3】已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是( ) A. ab ac >； B. ()0c b a -<； C. 22cb ab <； D. ()0ac a c -<. 【答案】C .

【解析】利用不等式的性质即可解决问题.

【点评】掌握不等式的性质是解决问题的关键.

【例4】（2017年浦东新区二模16）已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ ）

A. (3,8)；

B. (2,16)；

C. (4,8)；

D. . 【答案】D .

【点评】掌握不等式的性质.

【知识点6】一元二次不等式的解法 【例1】（2017年徐汇二模1）设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A = .

【答案】{}1,4.

【点评】对于一般的不等式 20ax bx c ++>或()2

00ax bx c a ++<>按照下面表格寻求解集。

【例2】若不等式230ax bx ++>的解集为1

32

x -<< 求实数,a b 的值. 【答案】2,5a b =-=.

【解析】方法一:由不等式230ax bx ++>的解集为1

32

x -

<< 得相应方程230ax bx ++=的两根是

121,32x x =-=.由一元二次方程根与系数大关系 得:131

3,322

b a a -=-+=-? 解得: 2,5a b =-=

方法二:因为不等式的解为132x -<< 所以此不等式改写为: 1()(3)02x x +-< 即253

022

x x --< 与原

不等式对照 化为: 22530x x -++> 所以: 2,5a b =-=.

【点评】了解一元二次不等式与一元二次方程解的关系.

【知识点7】绝对值不等式、分式不等式及高次不等式的解法 【例1】已知集合{}

{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N = .

【答案】{1,0}-.

【例2】不等式|2|||x x +≥的解集是 . 【答案】{|1}x x ≥-.

【解析】若不等式的两边都含有绝对值符号，可以平方解决. 【点评】注意答案以解集的形式表示出来.

【例3】（2017年青浦二模2） 不等式103

x

x ->+的解集是 . 【答案】(3,1)-.

【点评】解分式不等式时注意分母不能为零，且常转化成乘积的形式.

【例4】（2015年徐汇理15文16）下列不等式中，与不等式3

02x x

-≥-同解的是（ ）. A. ()()320

x x --≥；

B. ()()320x x -->；

C.

203

x

x -≥- ；

D.

302x

x -≥-.

【答案】D .

【点评】注意分母不能为0.

【例5】不等式

03

)

2(<-+x x x 的解集为（ ）.

A. {}30,2<<-

B. {}

3,02><<-x x x 或； C. {}0,2>-

3,0>

【点评】注意穿根法的使用.

【例6】（2018年青浦二模1）不等式|3|2x -<的解集为 .

【参考答案】{}

15x x <<或(1,5).

【例7】（2018年黄浦二模2）不等式|1|1x ->的解集是 【参考答案】(,0)(2,)-∞+∞.

【知识点8】基本不等式的应用

【例1】（2016年崇明二模文8理6）已知,x y R +∈，且满足134

x y

+=，则xy 的最大值为 . 【答案】3.

【解析】a b +≥.

【点评】利用基本不等式，注意等号成立的条件.

【例2】（2017年杨浦二模11） 已知0a > 0b > 当21

(4)a b ab

++取到最小值时 b =_________. 【答案】

14.

【解析】因为0,0a b >>所以4a b +≥，当4a b =时取等号；所以2

(4)16a b ab +≥；所以

2114(4)164[(4)]8(4)a b ab a b ab ab a b ++

≥+=+≥，当且仅当1(4)(4)a b a b =时等号成立，即221,1a a a ==时取等号，此时14

b =.

【点评】注意等号成立的条件，不能连续使用基本不等式.

【例3】（2016年闵行二模文理9）若0m >，0n >，1m n +=，且

1

t m n

+（0t >）的最小值为9，则t = . 【答案】4.

【解析】11()()11t t tn m

m n t t m n m n m n

+=++=+++≥++，即19t ++=.

【点评】巧妙利用“1” .

【例4】（2015年虹口理4）已知正实数,x y 满足31x y +=，则13x

x y

+的最小值为___________. 【答案】7.

【解析】

133333117x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=. 【点评】巧妙利用“1”.

【例5】（2018年闵行松江二模11）设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123424x x x x ≤+++≤的

所有有序数组1234(,,,)x x x x 的组数为 . 【参考答案】45

【例6】（（2018年普陀二模16）已知*

N k ∈，,,R x y z +

∈，若2

2

2

()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描叙正确的是………………………………………………………………………………………（ ） A. 若5k =，则至少存在．．．．

一个以,,x y z 为边长的等边三角形； B. 若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形； C. 若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形； D. 若8k =，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形. 【参考答案】B .

【知识点9】含参数的分式不等式的解法

【例1】（2016年静安二模文理14）设关于x 的实系数不等式2(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，则2a b = . 【答案】9.

【解析】因为2

(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，所以当0x =时不等式等价为30b -≤，即

0b ≥，

当x →∞时，20x b ->，此时30ax +<，则0a <，设2

()3,()f x ax g x x b =+=-，若0b =，则2

()0g x x =>，函数()3f x ax =+的零点为3x a =-

，则函数()f x 在3

(0,)a

-上()0f x >，此时不满足条件；若0a =，则()30f x =>，而此时x →+∞时，()0g x >不满足条件，故0b >。因为函数()f x

在3

(0,)a -上()0f x >，则3

(,)a

-

+∞上()0f x <，而()g x 在(0,)+∞上的零点为x =，且()g x 在

上()0g x <，则)+∞上()0g x >，所以要使2

(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，

则函数()f x 与()g x 的零点相同，即3

a

-=29a b =. 【点评】一元二次不等式与数形结合.

【例2】当实数a 为何值时 不等式02)1()23(2

2>+-++-x a x a a 的解是一切实数? 【答案】7

151>

≤a a 或. 【解析】1）210232

===+-a a a a 或时，则当

1

0221=∴>+==a x x a a 恒成立，故舍不对一切实数时，当时，符合题意；

经检验，当 2）时，当0232

≠+-a a

则要满足0)23(8)1(0232

2

2

<+---=?>+-a a a a a 且

7

15

1>

<∴a a 或 综上所述，7

151>

≤a a 或. 【点评】学会解决一元二次不等式恒成立问题，注意分类讨论.

2019年二模真题汇编

一、填空题 . 宝山区

1、已知i 为虚数单位，则集合{}

Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________ 【答案】4

【解析】{}

1234

,,,,,1,,1n A x x i n Z x i i i i x i i ==∈?=?=--（4个一周期）共4个元素.

崇明区

1、已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}4,3,2,1=A ，{}5,3,1=B ，则()U

A B =___________.

【答案】{}5,4,2

【解析】{

}31，=?B A ，则{}5,4,2)(=?B A C U 14、对于实数x ，”“1

【D 】既不充分也不必要 【答案】A

【解析】由1

奉贤

6.若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥??

+≤??+≥?

，则3x y +的最小值为

【答案】2-

【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-.

13. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *

∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分非必要条件 【答案】D

【解析】举出特例即可得出为既非充分也非必要条件

虹口

1、设全集U R =,若{}

31A x x =->，则U C A = 。 【答案】[]2,4 【解析】()

()[]=,24,,C 2,4U A A -∞+∞=

13. 已知α、β是两个不同平面，m 为α内的一条直线，则“m ∥β”是“α∥β”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

15. 已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤??+-≥??-≤?

表示的平面区域，且与圆22

:16O x y +=相交

于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）

A. 20y -=

B. 40x y -+=

C. 20x y +-=

D. 32130x y +-= 【答案】D

【解析】可行域为右图中ABC 区域（含边界），AB 最短意味着，弦心距最长，而圆心O 到可行域内的点()3,2C 的距离最长，所以所求直线l 过点()3,2C ，且以OC 为法向量，所以选D

黄浦

2. 不等式

11

|1|2

x <-的解集为 【答案】),3()1,(+∞?--∞

【解析】2

1

1121-＜＜

-x ，31-＞或＜x x

13. 设x ∈R ，“0x >”是“(1)0x x +>”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】0x >可以推出(1)0x x +>，但是后者推前者不可以。A 正确

嘉定(长宁)

1. 已知集合{

}4321，，，=A ，{}62＜＜x B =，则=B A 【答案】{}43，

【解析】由已知条件易得交集为{}43，

2. 已知实数y x ,满足??

?

??-≥≤≥110

x y y x ，则y x 2-的最大值为

【答案】2

13、已知R x ∈，则””是““111<>x x

的 （ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件

【D 】既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由

1

1,01x x

><<，所以根据小范围推大范围，可得到答案. 金山

5、已知全集U R =,集合1,01P y y x x ??==<

，则U

P =

【答案】(]

,1-∞

【解析】()1,P =+∞，所以

U

P =(],1-∞

11、若集合{}

2

|(2)20,A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围

是 . 【答案】12,23??

???

【解析】法一：由题意可知方程2

(2)20x a x a -++-=存在两个不同的根1212,()x x x x <设，

韦达定理可知1212

2

2x x a x x a +=+???=-?

121202,2a x x x x >∴+>?<，

两根之间只存在一个整数∴1x 不可能为负，即120x x <<

若11x >，则21x >，与 122x x ?<矛盾，故12012x x <<<≤，即存在的元素为1

由求根公式可得012<

<<≤解得12,23a ??

∈ ???

法二：由2

(2)20x a x a -++-<得2

22(1)x x a x -+<+

数形结合：左边为抛物线()f x ，右边为过定点(1,0)-的直线()g x ，只存在一个整数解必为1；

故(0)g(0)

(2)g(2)(1)g(1)

f f f ≥??≥??

解得12,23a ??∈ ???

14、在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等.根据祖暅原理，“两个几何体A B 、的体积不相等”是“A B 、在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）.

【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件

【D 】既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】充分性：由逆否命题成立可得充分性成立

必要性：举例如体积相同的正方体和四棱锥，截面不恒相等，但体积可能相等，故必要性不成立

闵行（松江）

1．设全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}1,2A =， {}1,3B =，则U A C B = ．

【答案】2．

【解析】{}0,2,4U C B =，{}2U A C B =．

8．设不等式组

60

2

0360x y x y x y 表示的可行域为Ω,若指数函数x y

a 的图像与Ω有公共点，

则a 的取值范围是 ． 【答案】1,2． 【解析】

15．十七世纪，法国数学家费马提出猜想:“当2

n整数时，关于x，y，z的方程n n n

x y z

+=

没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（）

①对任意正整数n,关于,,

x y z的方程n n n

x y z都没有正整数解；

②当整数2

n时，关于,,

x y z的方程n n n

x y z至少存在一组正整数解；

③当正整数2

n时，关于,,

x y z的方程n n n

x y z至少存在一组正整数解；

④若关于,,

x y z的方程n n n

x y z至少存在一组正整数解，则正整数2

n.

【A】①②

【B】①③

【C】②④

【D】③④

【答案】D

【解析】

对于①，当1

n=时，此时x y z

+=有无数个正整数解，故①错误；

对于②，由费马大定理可知，当整数2

n>时，关于x，y，z的方程n n n

x y z

+=没有正整数解，故②错误．

浦东新区

1.若集合{}5

A x x

=>,集合{}7

B x x

=≤ ,则A B

?__________.

【答案】

(]57，

15.已知点(,)P x y 满足约束条件：50

252000400

x y x y x y +≤??+≤?

?≤≤??≥?，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）

【A 】40 【B 】-40 【C 】30 【D 】-30 【答案】B

【解析】画出线性域及目标函数，分析目标函数y x z =-图像y 截距的最大值，易得答案为-40

普陀区

1、设集合{}3,2,1=A ，{}

02|2

≤--=x x x B ，则=B A ______.

【参考答案】{}2,1

【解析】[]2,1-=B ，所以{}2,1=B A 2.不等式

1

2x >的解集是________ 【答案】1(0,)2

7、设x ，y 均为非负数，且满足?

?

?≤+≤+625

y x y x ，则y x 86+的最大值为______.

【参考答案】40

【解析】画出可行域，令z y x =+86，则8

43z

x y +-

=，当此直线过()5,0时，y x 86+最大为40.

12、设函数()x f 是定义在R 上的偶函数，记()()2

x x f x g -=，且函数()x g 在区间[)+∞,0上是增函数，

则不等式()()x x f x f 4222

+>-+的解集是______.

【参考答案】()()+∞?-∞-,04,

【解析】由题意有()()()()()()()()22222222222

2

2

2

g x g f x x f x f x f >+?->+-+?-+>-+

因为()x f 是R 上的偶函数，所以()x g 也是R 上的偶函数，且在[)+∞,0单调递增， 有()()+∞-∞-∈?>+,04,22 x x

14、在三角形ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为c b a ,,，则“???

?

??∈32,3ππC ”是“ab c b a +=+2

2

2

”成立的（ ）

A 、充分非必要条件

B 、必要非充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分又不必要条件

【参考答案】B

【解析】由余弦定理得3

212cos π

=?==

C ab ab C ，故选B 8.若实数x 、y 满足条件110220x y x y x y +≥??-+≥??--≤?

，则22

x y +的最小值为

________

【答案】

12

【解析】画图，数形结合，2

2

x y +理解为(,)x y 到原点的距离的平方

3.已知{|A y y ==，2{|log }B y y x ==，则A B =（ ）

【A 】(0,)+∞ 【B 】[0,)+∞ 【C 】{2} 【D 】{(4,2)} 【答案】B

【解析】[)0,A =+∞，B R =； [0,)A

B =+∞

14.已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ） 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C

【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,

)2

π

上单调递增，

tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；

|tan ||tan |A B >成立。 必要性：当A ，B 为锐角时，显然成立；A 为钝角，B 为锐角时，也成立；

A 为锐角，

B 为钝角时，tan tan A B >-， A B π>-，显然不成立，故必要性也成立。

徐汇

1. 设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U

A B =

【答案】{1,4}

【解析】{}{

}4,1,24|=∴<>=B G A x x x B G U U 或 3. 不等式

1

1x x

+>的解为 【答案】(0,+)∞

【解析】

01

,011>>>-+x o x x x ，即即

14. 已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐 近线夹角为

2

π

”，则α是β的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A

【解析】命题:β“双曲线的两条渐近线夹角为

2

π

”即双曲线为等轴双曲线，也即双曲线的方程为

()2220x y a a -=±>，∴充分性成立，必要性不成立，选A

11. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O ，(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ?-≤?-+≥??≥??

，

则OA 在OP 上的投影的取值范围是 【答案】[3,3]-

【解析】

)3,1(0

233:A y x x

y A ??????=+-= 同理，OA B ),0,2(-在OP 上的投影为OP

S =

31

1max ==

OP OP OA S -3

2

2

min ==

OP OP OA S

14. 设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++?=?”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A

【解析】当0n a =时，后者不能推出前者

杨浦

13. 若x、y满足

2

x y

x y

y

-≥

?

?

+≤

?

?≥

?

，则目标函数2

f x y

=+的最大值为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】C

【解析】可行域如右图，

在点()

1,1

A处，目标函数取得最大值3．