中国石油大学2010-2011(2) 概率论与随机过程A期末考试试题及答案

2010—2011学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷

答案及评分标准

专业班级

姓名

学号

开课系室理学院基础数学系

考试日期 2011年7月2日

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共六七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；

4. 本试卷正文共5页。

一．填空题（共7小题，每空3分，共计21分）

1. 一个袋子装有4个白球2个黑球，另一个袋子装有3个白球5

个黑球，如果从每一袋中抽一个球，则两球都是白球的概率为 1/4 。

2. 设事件,A B 相互独立，已知()0.5,()0.6P A P A B == ，则()P AB = 0.4 。

3. 在区间[0,1]内随机地选两个点，则它们的平方和不超过1的概率为 /4 π。

4. 设{(),0}X t t ≥是一强度为3的泊松过程，则{(),0}X t t ≥的，自协方差函数为

3min(s,t) 。

5. 设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，随机变量Y 服从参数为10和0.1的

二项分布，且,X Y 相互独立，则(10)D X Y -= 94 。

6. 设相互独立的随机变量X 和Y 的数学期望分别是-2和2，方差分别为1和3，则

根据切比雪夫不等式{}

P X Y +≥≤6 5/18 。

7. 已知一批产品的重量~(,2)X N μ，随机抽取16个，测得平均重量为50x =，

则μ的置信度为0.95的置信区间为 (49.307,50.693) 。

二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）

1．设随机变量2(,)X N μσ ，则随着σ的增大，概率{}P X μσ-< D 。 A. 单调增大 B. 单调减小 C. 增减不定 D. 保持不变 2．设X 与Y 相互独立且同分布：P X P Y {}{}/=-==-=1112，

P X P Y {}{}/====1112，则下列各式中成立的是 D 。

A. {1}1/4P XY ==

B. {}1P X Y ==

C. {0}1/4P X Y +==

D. {}1/2P X Y ==

3. 设1211~(0,)~(0,)49

X N X N ，相互独立，2212X aX bX =+，且2

~(2)X χ， 则 B 。

A. 2,a b ==

B. 4,9a b ==

C. 2,3a b ==

D. 1,1a b == 4. 设随机变量2

1

(10),X t Y X =

，则（ A ）。 A. ~(10,1)Y F B. ~(1,10)Y F

C. 2

~(10)Y χ D. 2

~(9)Y χ 5. 设一齐次马氏链的一步转移概率矩阵为：1001P ??

=

???

，则该马氏链 C 。 A.具有遍历性，存在平稳分布； B.具有遍历性，不存在平稳分布；

C.不具有遍历性，但存在平稳分布；

D.不具有遍历性，也不存在平稳分布 。

.三．计算题（共4小题，每小题8分，共计32分）

1．已知P A ()=

14，P B A (|)=13，P A B (|)=1

2

，求()P B 和()P AB 。 解：111

()()(|)4312P AB P A P B A ==?= ………2分

1

()1

12()1(|)62

P AB P B P A B === ………4分

1111

()()()()46123P A B P A P B P AB =+-=+-= ………6分

12

()()1()133

P AB P A B P A B ==-=-= ………8分

2．已知随机变量的分布列为

X 0 1 2

k p 0.2 p 0.5

求：（1）p ；（2）2

(23)E X -； （3）(1)D X -。

解：（1）0.3p =； ………2分 （2）2222

(23)(03)0.2(23)0.3(43)0.5 2.6E X -=-?+-?+-?= ……4分 （3）2

0.31 1.3,0.32 2.3EX EX =+==+= ………6分 2

2

(1)() 2.3 1.690.61D X DX EX EX -==-=-= ………8分

3. 设随机向量),(Y X 的概率密度为

(),0,0

(,),0

x y x y e f x y -+≥≥?=??其他

求：,,(,)EX DY Cov X Y . 解：X 的边缘分布密度为()X f x ，

当0x ≥时 ()

()x y x X f x e

dy e +∞

-+-=

=?，

当0x <时 ()0X f x =

即 0()0

0x

X x e f x x -≥?=?

同理 0()0

y

Y y e f y y -≥?=?

1,1,1

E X E Y D Y ∴

=== ……….6分 (,)Cov X Y EXY EXEY =-

()

110x y x

y xye

dxdy xe dx ye dy +∞+∞

+∞

+∞

-+--=

-=

-=??

?

? ……….8分

或注意到X Y 、的独立性， X Y 、不相关， 得 (,)0Cov X Y = …….8分

4.设有随机相位正弦波随机过程()cos(6)X t t =+Θ,t ∈(-∞,+∞) 其中Θ是在

(0,2)π上服从均匀分布的随机变量，求该随机过程的均值函数、方差函数和自相关函数。

解: Θ的概率密度为

(,)()(,)

f ?θ∈π?θ=π

??θ?π?1

0220

02

其均值函数为

()[()][cos()]

cos()X t E X t E t t d πμ==+Θ=+θ?θ=π

?

20

1

2 ………2分 其自相关函数为

{}

(,)[()()]

[cos(6)cos(6)]X R s t E X s X t E s t ==+Θ+Θ ………4分

()()cos cos s t d π=+θ?+θ?

θπ

?

20

1

662

2011[cos(662)cos6()]22s t t s d πθθπ=+++-? ()cos t s =-1

62

………6分 方差函数为：()(,)().X X X

t R t t t σ=-μ=22

12

………8分

四.（本题满分10分）一台机床加工了甲、乙、丙三种型号的产品，甲、乙、丙三种型号的数量分别占总数的40%，50%和10%，产品的合格率分别为97%，99%和98%，现从该机床加工的产品中任取一件，求： （1）取到的是不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是甲型号的概率。

解：设事件A 表示：“取到的产品是不合格品”；事件123,,A A A 分别表示取到甲、乙、丙型号的产品。 1分 则A A A 123 =Ω，且P A i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，由全概率公式得 （1） ∑=?=3

1)|()()(i i i A A P A P A P 3分

40975099109819

=

1-+1-+1-=

1001001001001001001000

???（）（）（），（或0.019） 5分 （2） P A A (|)1=

∑=3

1

11)

|()()

|()(j j j A A P A P A A P A P 8分

403

12

10010019191000

?

== （或≈0.63158） 10分

五．（本题满分10分）

已知随机变量X 的概率密度为

1

1()0

x x f x θθ-->?=?

?其它

其中1θ>是未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，求

θ的矩估计量和极大似然估计量。

解：矩估计：1

()1

EX xf x dx x dx θθθθ+∞

+∞

--∞

=

==

-?

?， 2分

令 1

X θθ=

- 解得

1

X

X θ=

- 4分 极大似然估计 似然函数为：111

1

()()n

n

n

i

i i i L x

x θθθθθ----===

=∏∏ 7分

1

()(1)n

i i LnL nLn Lnx θθθ=∴=+--∑

1

()0n

i i dLnL n Lnx d θθθ==-=∑ 9分 1

?n

i

i n

Lnx

θ

==∑ 10分

六.（本题满分6分） 设{,0}n X n ≥{,0}n X n ≥是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，

一步转移概率矩阵为

.........????

=??????040402040204020404P

初始分布0(0){}1/3,0,1,2.j p P X j j ====试求 (1)02{0,1};P X X == (2) 2{1}P X =；（3）极限分布。 解：先求出二步转移概率矩阵

()2P =P ??

??=??????

0.36 0.32 0.3220.32 0.36 0.320.32 0.32 0.36

(1) 02020{0,1}{0}{1|0}P X X P X P X X ======

0011

(0)(2)0.320.113

p P ==?= …………2分

(2)2001111221{1}(0)(2)(0)(2)(0)(2)P X p P p P p P ==++ (...)=

?++=11

03203603233

…………4分 （3）设平稳分布(,,)πππ123π=，由于ij p >0,平稳分布即极限分布，满足

1123

21233

1230.40.40.20.40.20.40.20.40.4ππππππππππππ

=++??

=++??=++?

解得极限分布为 (,,)(,,)πππ=123111

333

π= ………6分

七．（本题满分6分） 设129,,X X X ，是来自正态总体(10,9)N 的一个简单随机样本，其样本均值为X ，令1Y X X =-，求随机变量Y 的分布密度。

解：由于129,,X X X ，是来自正态总体(10,9)N 的一个简单随机样本，所以 129,,X X X ，相互独立，且 10,9,(1,2,,9)i i EX DX i ===

111291239181

()()999

Y X X X X X X X X X X =-=-++=-++

123981

()099EY EX EX EX EX =-+++= …………2分

221239818

()()()98999

DY EX DX DX DX =++++=?= …………4分

由129,,X X X ，相互独立同分布，所以~(0,8)Y N 得Y 的分布密度为

2

16

()

y f y -

=

…………6分