数系的扩充

数系的扩充

2003级数学系（1）班雷春富学号：2003020102 数，是数学的最基本的概念，对数的研究始终是数学的基本内容，初等数学尤其如此。在人类对数的认识和研究过程中，数的范围逐步扩大，数的内涵不断丰富。然而，对于数的系统作全面的、理论上的总结，还只是近一百多年前的事。

一、数的两种扩充：

数的扩充，有两种不同的体系。一种是自然的、历史的体系，它反映了人类认识数的历史过程。一种是理论的、逻辑的体系，是数学家人为的构造。它反映了现代数学思想和数学方法。

1．数的自然扩充表

二、自然数集N 的半群构造：

我们利用自然数“后继”但是概念，在N 中定义两个代数运算：加法和乘法。

自然数加法“+”归纳定义如下：设m 是任一自然数，10 m +0=m ；20假如对任一自然数n ，m+n 已经定义，那么规定'()'m n m n +=+ˊ。显然 1'm m +=。

N 中的乘法“⨯”（或“∙”）归纳定义如下：对任意自然数m ，n ，

00;'.m m n m n m ⨯=⨯=⨯+显然有1m m

⨯=.

三、数系的扩充原则和方法 （一）原则：

1．新数系较有原数系在保证运算通行方面，功能更完备；

2．新数系的元素，是以原数系的原始为基础，以某钟方式构作而成； 3．原有数系整个地“嵌入”新数系，作为子系统。 （二）方法：

1．从理论上提出对扩充后数系的功能要求，新数系具备这种功能的最小数系； 2．用原数系元素为基础，构作新数，建立新数系； 3．将原数系“嵌入”新数系。

4．证明新数西满足所提出的各项扩充要求。 四、整数环和有理数域 1．整数：

定义 含有半群N 的最小环（Z ；+，∙）称为整数环．即（Z ；+，∙）满足条件： （1）（N ；+，∙） 是（Z ；+，∙）的子系统； （2）（Z ；+，∙）是环；

（3）若(';,)z +∙满足上述（1）（2），则（Z ；+，∙）是(';,)z +∙的子系统． 整数环Ｚ中的元素称为整数．

如果这样的环（Z ；+，∙）存在，Ｚ应由全部自然数之差组成． 设{}(,)|,M a b a b N =∈，在Ｍ中的定义加法“＋”和乘法“

∙

”：对任意

(,),(,),a b c d M ∈

(,)(,)(,)(,)(,)(,)

a b a b a c b d a b c d ac bd ad bc +=++∙=++

２．有理数域：

定义 含有整数环（Z ；+，∙）的最小域（Ｑ；+，∙）称为有理数域。即满足条件： （１）（Z ；+，∙）是（Ｑ；+，∙）的子环； （２）（Ｑ；+，∙）是一个域； （３）若(';,)Q +∙满足上述（１）与（２），则（Ｑ；+，∙）是(';,)Q +∙的子域。 有理数域Ｑ中的元素叫做有理数。

设{}(,)|,,0M a b a b Z b =∈≠，在Ｍ中的定义加法“＋”和乘法“∙”：对任意

(,),(,),a b c d M ∈

(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a b a c b d M a b c d ac bd ad bc M

+=++∈∙=++∈

其中因0,0b d ≠≠，故0.bd ≠ 作商群0/M Q ~=。

设（Ｑ；+，∙）是由所有Ｚ中整数之商组成的域：

|,,0a Q a b Z b b ⎧⎫

=∈≠⎨⎬⎩⎭

五、实数域和复数域

１．实数和实数域 （１）定义 含有有理数域为子域的连续域Ｒ称为实数域，Ｒ的元素颤巍巍实数。 （２）构造 设Ｍ是所有有理数基本数列的集合，在Ｍ中定义等价关系、加法、乘法及序如下：

对任意{}{},n n a b M ∈。

{}{}1

o

n n a b 当且仅当lim ()0n n a b -=； {}{}{}2o

n n n n a b a b +=+； {}{}{}3o

n n n n a b a b ∙=∙；

{}{}4

o

n n a b <当且仅当存在有理数0

ε

>及0n N ∈，使当0n n >时，n n b a ε->．

作商集：0/M R = ，在Ｒ０中定义等价类的加法、乘法及序如下：

{}{}{}{}{}{}01,2n n n n n n n n R a b a b a b a b αβαβγαβγραβραβ∈∈∈+∈+=∙∈∙。

。

。

对任意，，，，若则规定；

若,则规定=;

３若<,则规定<.

（３）嵌入：

设Ｒ１是Ｒ０中所有有理数常数列{}n a 所代表的类的集合，2R 是0R 中的其余的类所组成的集合，则12.R R = 0R

２．复数域

（１）定义 含有实数域Ｒ和ｉ（ｉ具有性质ｉ２＝－１）的最小域Ｃ，称为复

数域．即

{}2

12|1i i C =-⊆∙∙；

。

。域（R ；+，）是（C ；+，）的子域；

{}{}{}

2

3';,2,(;,)';,..

|,,1C C C C a bi a b R i +∙+∙+∙+∈=-若域满足上述1与则是的子域 域中的元素叫做复数如果复数域C 存在,则C 具有形式C=。。。

（２）构造 作集合

{}0(,)|,C a b a b R

=∈ 在C 0中定义加法“＋”和乘法“∙”如下：对任意实数对0,(,),(,)a b c d C ∈规定

(,)(,)

(,)

(,)(,)(,)a b c d a c b

d a b c d a c

b d a d

b c

+

=++=-+

（3）嵌入

012,C C C = 令其中

{}1(,0)|C a a

R =∈ 20.C C 由中其余元素组成

在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有的性质。例如，N 扩充到Z ，失去了良序性，当复数域扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远。因此，通常所说的数，都是指实数或复数。