吉林省第二实验学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

吉林省第二实验学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列各数中，能使√x?5有意义的是()

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

2.在分式a+b

ab

(a,b为正数)中，字母a，b值分别扩大为原来的3倍，则分式的值()

A. 不变

B. 缩小为原来的1

3

C. 扩大为原来的3倍

D. 不确定

3.若√x与√5是同类二次根式，则x可以是()

A. 0.5

B. 50

C. 125

D. 25

4.如图，字母M所代表的正方形的面积是()

A. 4

B. 5

C. 16

D. 34

5.用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用全等三角形来解决的，其中判定全等的方法是()

A. SSS

B. SAS

C. ASA

D. HL

6.如图矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的点是?1，以A点为圆心，对

角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是()

A. √5+1

B. √5?1

C. √5

D. 1?√5

7.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在

格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为()

A. 10

13√13 B. 9

13

√13 C. 8

13

√13 D. 7

13

√13

8.如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向

．．．的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定几个？()

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

二、填空题（本大题共7小题，共25.0分）

9.计算：2√75?3√27+√3=______．

10.如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，若AB=5cm，BD=

4cm，则△ABC的周长是____________．

11.命题“对顶角相等”的逆命题是______ ，这个逆命题是______ 命题．

12.如图，在?ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交

AB、AC于点D、E，连接DE.若BC=10cm，则DE=__________cm．

13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的

垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，

AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是

______．

14.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，

在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是．

15.如图的三角形纸片ABC中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿

过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为______cm．

三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）

16.计算：(√13+√2)(√13?√2)?(√3+2√2)2．

17.(1)计算：2

x2?4?1

2x?4

(2)先化简，再求值a2?8a+16

a2?16

，其中a=5

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）

18.解方程：x

3x?1=2?1

1?3x

．

19.先化简、再求值：(9

x+3+x?3)÷(x

x2?9

)，其中x=?2．

20.在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．

(1)图中格点正方形ABCD的面积为______ ；

(2)若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为______ ；

(3)在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你

所画的正方形面积为______ ．

21.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分

别按下列要求画直角三角形(要求每个直角三角形的顶点都分别标上大写字母)．

(1)在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图2、图3中分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)

22.如图，已知∠B=90°，AB=2√3cm，BC=2cm，CD=3cm，AD=5cm，

求四边形ABCD的面积．

23.如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE//BC，分

别交AB、AC于点D、E.求证：

(1)BD=DF．

(2)△ADE的周长等于AB+AC．

24.已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10．

(1)如图1，若BD平分∠ABC交AC于D，作DE⊥BC于E，则△DEC的周长为___________；

(2)如图2，若P是斜边BC的中点，请以P为顶点，借助三角板进一步探究：

①若∠MPN=90°，M、N分别为∠MPN与AB、AC的交点，求证：AM=CN；

②若∠RPQ=45°，R、Q分别为∠RPQ与AB、AC的交点，连RQ，试确定△ARQ周长的大小．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

解：若√x?5有意义，则x?5≥0，

所以x≥5，

故选：D．

2.答案：B

解析：

本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．

根据分式的基本性质即可求出答案．

解：将原式字母a，b值分别扩大为原来的3倍，

分式变为：3a+3b

9ab =a+b

3ab

，则分式缩小为原来的1

3

．

故选B．

3.答案：C

解析：解：A．√0.5=√2

2

，不符合题意；

B.√50=5√2，不符合题意；

C.√125=5√5，符合题意；

D.√25=5，不符合题意；

故选C．

分别将四个选项中x的值代入化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．

本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

4.答案：C

解析：解：由勾股定理得，AC2=AB2?BC2=16，

则字母M所代表的正方形的面积=AC2=16，

故选：C．

根据勾股定理计算即可．

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边

长为c，那么a2+b2=c2．

5.答案：A

解析：解：用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用了SSS定理来判定全等的，

故选：A．

根据作一个角等于已知角的做法可得答案．

此题主要考查了全等三角形的判定，以及作一个角等于已知角的做法，关键是熟练掌握作一个角等于已知角的做法．

6.答案：B

解析：解：如图所示：连接AC，

由题意可得：AC=√5，

则点E表示的实数是：√5?1．

故选：B．

直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出点E表示的实数．

此题主要考查了实数与数轴，正确得出AC的长是解题关键．

7.答案：D

解析：解：由勾股定理得：AC=√22+32=√13，

∵S△ABC=3×3?1

2×1×2?1

2

×1×3?1

2

×2×3=3.5，

∴1

2AC?BD=7

2

，

∴√13?BD=7，

∴BD=7√13

13

，

故选：D．

根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．

本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．

8.答案：C

解析：

本题考查了等腰三角形判定的应用，用了分类讨论思想，分为三种情况：AP=BP，AB=AP，AB=BP，想象图形，即可得出答案．

解：分为三种情况：①作AB的垂直平分线交南北公路于一点P，此时PA=PB；

②以A为圆心，以AB为半径交南北公路于两点，此时AB=AP；

③以B为圆心，以AB为半径交南北公路于两点(A点除外，有一点)，此时AB=BP；

共1+2+1=4点，

故选：C．

9.答案：2√3

解析：解：原式=2×5√3?3×3√3+√3

=(10?9+1)√3

=2√3；

故答案是：2√3．

根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

本题主要考查了二次根式的加减法．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相

同的二次根式进行合并；合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数

不变．

10.答案：18cm

解析：

本题主要考查了等腰三角形的性质的运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．根据等腰三角形的性质，求得CD=4cm，AC=5cm即可得出△ABC的周长．解：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，AB=5cm，BD=4cm，

∴CD=4cm，AC=5cm，

∴△ABC的周长=5+5+4+4=18cm，

故答案为18cm．

11.答案：相等的角是对顶角；假

解析：解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：

相等的角是对顶角，它是假命题．

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

12.答案：5

解析：

本题考查的是线段垂直平分线的性质有关知识，直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．

解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，

∴D为AB的中点，E为AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

BC=5cm．

∴DE=1

2

故答案为5．

13.答案：12cm

解析：

本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC，则可求得答案．

解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12(cm)，

即△ACE的周长是12cm，

故答案为：12cm．

14.答案：2√5

解析：

考查等腰直角三角形的性质和轴对称?最短线路问题及勾股定理等知识的综合应用．要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．解：由题意可得，△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，

所以，CD⊥AB，且AD=BD，

所以PA=PB，

如图，连接BE，

，

则BE就是PA+PE的最小值，

∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，

∴CE=2cm，

∴BE=√20=2√5，

∴PA+PE的最小值是2√5．

故答案为2√5．

15.答案：9

解析：

本题考查了翻折变换的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等，属于基础题．

根据翻折变换的性质可得CE=AC，DE=AD，然后求出BE，再求出△BED的周长=AB+BE．解：∵折叠这个三角形使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，

∴CE=AC，DE=AD，

∴BE=BC?CE=BC?AC=6?5=1cm，

∴△BED的周长=BD+DE+BE，

=BD+AD+BE，

=AB+BE，

=8+1，

=9cm．

故答案为9．

16.答案：解：原式=13?2?(3+4√6+8)

=11?11?4√6

=?4√6．

解析：利用平方差公式和完全平方公式计算．

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，

再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

17.答案：解：(1)2

x2?4?1

2x?4

=

2

(x+2)(x?2)

?

1

2(x?2)

=

4

2(x+2)(x?2)

?

x+2

2(x+2)(x?2)

=

?x+2

2(x+2)(x?2)

=?1

2x+2

；

(2)a2?8a+16 a2?16

=

(a?4)2 (a+4)(a?4)

=a?4

a+4

，

当a=5时，原式=5?4

5+4=1

9

．

解析：本题考查了分式的加减运算和分式的化简求值．解题关键是熟练掌握分式的加减运算法则．

(1)本题考查了分式的加减运算．解题时，先把异分母分式化成同分母分式，再把分子相加，分母不变，然后化简分子，再约分化成最简分式即可．

(2)本题考查了分式的化简求值．解题时，先把分子分母分解因式，再约分，化简后把字母的值代入计算即可．

18.答案：解：两边乘3x?1得到：x=2(3x?1)+1

x=6x?2+1

x=1

5

，

经检验：x=1

5

是分式方程的解．

解析：两边乘3x?1化为整式方程即可解决问题．

本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．

19.答案：解：(9

x+3+x?3)÷(x

x2?9

)

=

9+(x?3)(x+3)

x+3

÷

x

(x+3)(x?3) =

x2

x+3

?

(x+3)(x?3)

x

=x(x?3)，

当x=?2时，原式=?2×(?2?3)=10．

解析：根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x=?2代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

20.答案：(1)5；

(2)10；

(3)17

解析：解：(1)∵AB=√12+22=√5，

∴S

正方形ABCD

=5．

故答案为：5；

(2)∵正方形ABCD的边长为√5，

∴AC=√(√5)2+(√5)2=√10，

∴以AC为一边的正方形的面积=10．

故答案为：10；

(3)如图，S正方形EFGH=(√17)2=17．

故答案为：17．

(1)先根据勾股定理求出AB的长，再由正方形的面积公式即可得出结论；

(2)先根据勾股定理求出AC的长，再由正方形的面积公式即可得出结论；

(3)画出符合条件的正方形，再求出其面积即可．

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长

的平方是解答此题的关键．

21.答案：解：(1)△ABC如图所示；

(2)△DEF，△MNG如图所示；

解析：(1)(2)利用数形结合的思想，画出满足条件的三角形即可．(答案不唯一)

本题考查作图?应用与设计、无理数、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．

22.答案：解：连接AC，

在△ABC中，

∵∠B=90°，AB=2√3cm，BC=2cm，

∴AC=4cm，

在△ACD中，AC2+CD2=42+32=25，AD2=25，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，

∴S

四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=

1

2

×AB×BC+

1

2

×AC×CD

=1

2

×2√3×2+

1

2

×4×3=2√3+6(cm2).

解析：本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形的面积公式.四边形的面积通常整理为易求得面积的两个三角形的面积的和．

连接AC，利用勾股定理可求得AC长，那么利用勾股定理的逆定理易得△ACD是直角三角形，那么四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ABC的面积．

23.答案：证明：(1)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，

∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．

∵DE//BC，

∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，

∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，

∴DB=DF；

(2)由(1)证得DB=DF，同理EC=EF．

∵DE=DF+EF，

∴DE=BD+CE，

∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．

解析：(1)根据角平分线的性质，可得∠ABF与∠FBC的关系，∠ACF与∠FCB的关系，根据平行线的性质，可得∠FBC与∠BFD的关系，∠FCB与∠EFC的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；(2)根据等量代换，可得答案．

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

24.答案：解：(1)∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠BAC=90°

∴AD=DE，

∵AD=DE，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD，

∴AB=BE，

∴AC=BE，

∵AB=AC=10，∠BAC=90°，

∴BC=10√2，

∴DE+CD+CE=AD+CD+CE=AC+CE

=BE+CE=BC=√102+102=10√2;

故答案为10√2；

(2)①如图：连接AP，

∵∠BAC=90°，AB=AC=10，P是斜边BC的中点，

∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，∠APC=90°，

∴∠APN+∠CPN=90°，

∵∠MPN =90°=∠APM +∠APN ，

∴∠APM =∠CPN ，

在△APM 和△CPN 中，

{∠MAP =∠C AP =CP ∠APM =∠CPN

, ∴△APM≌△CPN ，

∴AM =CN ;

②如图：连接AP ，作PH ⊥AC ，垂足为H ，

由①可得△ARP≌△CHP ，则RP =PH ，AR =CH ，

∵∠RPH =90°，∠RPQ =45°，

∴∠QPH =45°，

在△PQR 和△PQH 中，

{PR =PH

∠QPR =∠QPH PQ =PQ

, ∴△PQR≌△PQH ，

∴RQ =QH ，

∴AR +QR +AQ =CH +QH +AQ =AC =10，

∴△ARQ 周长为10．

解析：本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．

(1)由角平分线的性质得出AD =ED ，再证△ABD≌△EBD ，得出BE =AB =AC ，再由勾股定理求出BC ，即可求出△DEC 的周长；

(2)①连接AP ，先证∠APM =∠CPN ，再证△APM≌△CPN ，即可解答；

②连接AP ，作PH ⊥AC ，垂足为H ，由①可得△ARP≌△CHP ，再证△PQR≌△PQH ，即可解答．