2019年济南市槐荫区一模真题(有答案)

A C D

B α β

α β α

β

α

β

B

D

C

y

E

C D

F

1

2

2019年学业水平阶段性调研测试

数 学 试 题

第I 卷（选择题 共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．(－3) 2

的值为

A ．－9

B ．9

C ．－6

D ．6 2．下面几何体中，主视图为矩形的是

A B C D 3． 下列计算正确的是

A ．a ＋a ＝a 2

B ．a 3÷a ＝a 2

C ．(a －1)2＝a 2－1

D ．(2a )3＝6a 3

4． 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是

5． 如图，直线AB ∥CD ，则下列结论正确的是

A ．∠1＝∠2

B ．∠3＋∠4＝180°

C ．∠1＋∠3＝180°

D ．∠3＝∠4

6． 分式方程311(1)(2)

x x x x -=--+的解为

A ．x ＝1

B ．＝－1

C ．无解

D ．x ＝－2

7． 不等式组37

2291x x +??-?

≥＜整数解的个数是

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8． 已知直线y ＝ax ＋b （a ≠0）经过第一、二、四象限，则直线y ＝bx －a 一定不经过

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9． 如图，用四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针

一次，则针扎在小正方形EFGH 内的概率是

A ．14

B ．16

C ．

124 D ．1

25

4

32

1A

B

C D

F

A

D

E

G

H

A

O

C

B

16题图

y A

C

D

E

P 1

P 2

P 3 F x

O

B

17题图

10．如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，OB ?AC ＝160． 双曲线y

＝

x

k

（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ， 则过点E 的双曲线表达式为 A ．x y 20=

B ．x y 24=

C ．x y 28=

D ．x

y 32= 11．如图，矩形ABCD 长与宽的比为3∶2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，tan ∠1＝

21，tan ∠2＝3

1

，则cos(∠1＋∠2)的值为 A ．

2

3 B ．

2

2 C ．

3

2

D ． 1 12．如图，抛物线34

15432+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，点M 在线段BC 上，且使△BQM 为直角三角形的同时△CQM 为等腰三角形，

则此时点Q 的横坐标为

A ．920或73

B ． 23或7

20

C ． 23或73

D ．720或9

20 第Ⅱ卷（非选择题 共102分）

注意事项：

所有答案必须用0．5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求做答，答案无效．

二、填空题(本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．) 13． 3月7日～3月12日，“2019槐荫区数学文化年”标志评选活动在“勾股数学”微信公众号上进行，最终该评选页面的点击量为11000次，11000用科学记数法表示为____________． 14． 在－2，1，4，－3，0这5个数中，任取一个数是负数的概率是____________．

15． 计算：[(x ＋y )2－(x －y )2

]÷2xy ＝____________．

16．如图，点B 、C 在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC 的度数为____________．

x

y

A B C

O Q 12题图

F

E M G D C B A

18题图 E

C B A

D 21题图

17．如图，以正六边形ABCDEF 的中心O 为原点建立平面直角坐标系，过点A 作AP 1⊥OB 于点P 1，再过P 1作P 1P 2⊥OC 于点P 2，再过P 2作P 2P 3⊥OD 于点P 3，依次进行……若正六边形的边长为1，则点P 2019的横坐标为__________．

18．如图，线段AB ＝4，点C 为线段AB 上任意一点(与端点不重合)，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，分别连接BF 、EG 交于点M ，连接CM ，设AC ＝x ，S 四边形ACME ＝y ，则y 与x 的函数表达式为y ＝____________．

三、解答题(本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 19．(本小题满分6分)

分解因式：2233b a -

20．(本小题满分6分)

计算：21

4

22---a a a

21．(本小题满分6分)

如图，点C 是线段AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，分别连接AE 、B D ．

求证：AE ＝B D ．

22．(本小题满分8分)

有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．

(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；

(2)现有31吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆把全部货物一次运完．求至少需要安排几

辆大货车

P

D

C

O

B A

23题图

23．(本小题满分8分)

如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接B C．

求证：(1)∠PBC＝∠CBD；

(2)BC2＝AB?B D．

24．(本小题满分10分)

某校为激发学生学习数学的兴趣，开设了“数独、速算、魔方、七巧板、华容道”五门校本课程，规定每位学生只能选一门．该校共有学生1600人．

为了解学生的报名意向，学校随机调查了一些学生，并制成如下统计图表：

课程频数频率

数独8a

速算m0．2

魔方27b

七巧板n0．3

华容道15c

(1)在这次活动中，学校采取的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）

(2)求出扇形统计图中“速算”所对应的扇形圆心角的度数；

(3)a＋b＋c＝，m＝；（答案直接填写在横线上）

(4)请你估算，全校选择“数独”和“魔方”的学生共有多少人?

A

B

O

25题图1

y

x

A B

O 25题图2

E F

D

y

x

25． (本小题满分10分) 如图1，点A （m ，6），B （6，1）在反比例函数图象上，作直线AB ，连接OA 、O B ． (1)求反比例函数的表达式和m 的值； (2)求△AOB 的面积；

(3)如图2，E 是线段AB 上一点，作AD ⊥x 轴于点D ，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图象于点F ，若

EF ＝13

AD ，求出点E 的坐标．

P B A

C x y O

B′

26题图1

P B A

C x

y O

B′

26题图2

C′

Q 26．(本小题满分12分)

已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A (4，0)，点B (0，3)，点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP ＝t ． (1)如图1，当∠BOP ＝30°时，求点P 的坐标；

(2)如图2，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，设AQ ＝m ，试用含有t 的式子表示m ；

(3)在(2)的条件下，连接OQ ，当OQ 取得最小值时，求点Q 的坐标；

(4)在(2)的条件下，点C ′能否落在边OA 上?如果能，直接写出点P 的坐标；如果不能，请说明理由．

27．(本小题满分12分)

O C A D

B y

x 27题图 如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3与x 轴交于A (－1，0)和B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点，分别连接AC 、CD 、A D ．

(1)求抛物线的函数表达式以及顶点D 的坐标； (2)在抛物线上取一点P （不与点C 重合），并分别连接PA 、PD ，当△PAD 的面积与△ACD 的面积相等时，求点P 的坐标；

(3)将(1)中所求得的抛物线沿A 、D 所在的直线平移，平移后点A 的对应点为A ′，点C 的对应点为C ′，点D 的对应点为D ′，当四边形AA ′C ′C 是菱形时，求此时平移后的抛物线的解析式．

数学试题参考答案与评分标准

一、选择题

二、填空题

13．1．1×104 ；

14．25 ；15．2 ；16．15；17．；18．2x

三、解答题

19．解：3a 2－3b 2

＝3(a 2－b 2

) ···························· 3分 ＝3(a ＋b )(a －b ) ·························· 6分

20．解：

＝2a (a ＋2)(a －2)－1

a －2 ···················· 1分

＝2a (a ＋2)(a －2)－a ＋2

(a ＋2)(a －2) ················ 2分

＝ ·························· 3分

＝ ·························· 4分

＝ ·························· 5分

＝

······························ 6分 21．解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，

∴AC ＝DC ，EC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°． ·············· 2分 ∴∠ACD ＋∠DCE ＝∠BCE ＋∠DCE ． ·················· 3分 ∴∠ACE ＝∠BC D ． ························· 4分 ∴△ACE ≌△DC B ． ························· 5分 ∴AE ＝B D ． ···························· 6分 22．解：(1)设1辆大货车一次运货x 吨，1辆小货车一次运货y 吨， ··· 1分

······················· 4分 ①×2－②×3，得 －10y ＝－15． ∴y ＝1．5．

把y ＝1．5代入①，得 x ＝4， ∴??

?x ＝4y ＝1.5

····························· 5分

(2)设货物公司安排大货车m 辆，则小货车需要安排(10－m )辆，

4m ＋1．5(10－m )≥31． ··················· 6分 解得m ≥6．4． ······················· 7分 ∵m 为正整数， ∴m 最小可以取7． ························· 8分

20202

1－21

422---a a a )2)(2()

2(2-++-a a a a )2)(2(2

2-+-a a a a －)2)(2(2

-+a a a －2

1

+a 34182617x y x y +=??+=?

① ②

23题答案图

答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货1．5吨，该货物公司至少安排7辆大货车． 23．解：证明：（1）连接O C ． ∵PC 与⊙O 相切，

∴OC ⊥PC ，即∠OCP ＝90°． ····················· 1分 ∵BD ⊥PD ，

∴∠BDP ＝90°．

∴OC ∥B D ． ···························· 2分 ∴∠BCO ＝∠CB D ． ························· 3分 ∵OB ＝OC ，

∴∠PBC ＝∠BCO ， ························· 4分 ∴∠PBC ＝∠CBD ； ························· 5分 （2）连接A C ．

∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ·························· 6分 ∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°． ∵∠ABC ＝∠CBD ，

∴△ABC ∽△CB D ． ························· 7分 ∴

BC BD ＝AB BC

． ∴BC 2

＝AB ?B D ． ·························· 8分

24．解：(1)抽样调查； ······················· 2分 (2)0．2×360°＝72°； ······················ 4分 (3)0．5，20； ··························· 8分 (4)由(3)可知，这次抽样的人数为20÷0．2＝100，··········· 9分 解法1：选择数独的频率为0．08，选择魔方的频率为0．27，

1600×(0．08＋0．27)＝1600×0．35＝560(人)． ·········· 10分 解法2：1600×(8100＋27

100)＝560（人） ··············· 10分

25．解：（1）设反比例函数的解析式为y ＝k x

， ············· 1分 将B (6，1)的坐标代入y ＝k x

，得k ＝6．

∴反比例函数的解析式为y ＝6

x

． ··················· 2分

将A (m ，6)的坐标代入y ＝6

x

，得m ＝1． ················ 3分

（2）设直线AB 的解析式为y ＝ax ＋b ， 把A (1，6)和B (6，1)代入上式，得

???a ＋b ＝66a ＋b ＝1．解得：???a ＝－1b ＝7

． ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7． ·················· 4分 ∴M (0，7)，N (7，0) ， ······················· 5分 ∴S △AOB ＝S △MON －S △AOM －S △BOV ＝12OM ×ON －12OM ×│x A │－1

2ON ×│y B │

＝12×7×7－12×7×1－1

2

×7×1

＝35

2

． ··························· 6分

（3）设E 点的坐标为（m ，－m ＋7），则F （m ，6

m

）， ··········· 7分

∴EF ＝－m ＋7－6m

．

∵EF ＝1

3

AD ，

∴－m ＋7－6m ＝1

3×6． ························ 8分

解得m 1＝2，m 2＝3，

经检验，m 1＝2，m 2＝3是分式方程的根， ··············· 9分 ∴E 的坐标为（2，5）或（3，4）． ················· 10分 26．解：（1）∵A (4，0)，B (0，3)， ∴OA ＝4，OB ＝3．

在Rt △OBP 中，∵∠BOP ＝30°，

∴PB ＝OB 3＝ 3

3＝3． ······················· 1分

∴点的坐标为(3，3)． ····················· 2分

（2）由题意，得BP ＝t ，PC ＝4－t ，CQ ＝3－m ． 由折叠可知：∠OPB ＝∠OPB ′，∠CPQ ＝∠C ′PQ ． 又∵∠OPB ＋∠OPB ′＋∠CPQ ＋∠C ′PQ ＝180°，

∴∠OPB ＋∠CPQ ＝90°． ······················ 3分 又∵∠OPB ＋∠BOP ＝90°，

∴∠OPB ＝∠CPQ ． ························· 4分

25题答案图

P

又∵∠OBP ＝∠C ＝90°，

∴△OBP ∽△PCQ ． ························· 5分 ∴OB PC ＝BP CQ

． ∴

34－t ＝t 3－m

． ·························· 6分 ∴m ＝13t 2－4

3t ＋3． ························· 7分

（3）∵OQ 2

＝OA 2

＋AQ 2

＝42

＋ AQ 2

＝16＋ AQ 2

，

∴当AQ 最短时，OQ 最短． ····················· 8分 ∵AQ ＝m ＝13t 2－43t ＋3＝13(t －2)2

＋53，

∴当t ＝2时，AQ 最短，OQ 最短．

此时点Q (4，5

3)． ························· 9分

（4）点C ′不能落在边OA 上． ·················· 10分 理由：假设点C ′能落在边OA 上． 由折叠可得

PB ＝PB ′＝t ，PC ＝PC ′＝4－t ，OB ＝OB ′＝3，∠OPB ＝∠OPC ′，∠OB ′P ＝∠OBP ＝90°． ∵BC ∥OA ，

∴∠BPO ＝∠POC ′． ∴∠OPC ′＝∠POC ′． ∴OC ′＝PC ′＝4－t ．

∴B ′C ＝PC －PB ′＝(4－t )－t ＝4－2t ．

在Rt △OB ′C ′中，∵B ′O 2＋B ′C ′2＝OC ′2

，

∴32＋(4－2t )2＝(4－t )2

． ···················· 11分

整理，得3t 2

－8t ＋9＝0．

∵△＝(－8)2

－4×3×9＜0， ∴该方程无实数解．

∴点C ′不能落在边OA 上． ···················· 12分 27．解：（1）设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，则

－3a ＝3． ·························· 1分 ∴a ＝－1．

∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －3)， ·········· 2分

（即y ＝－x 2

＋2x ＋3）

将x ＝－1＋3

2

＝1代入上式，得

y ＝－(1＋1)(1－3)＝4． ∴顶点D 的坐标为(1，4)． ··················· 3分

（2）将x ＝0代入y ＝－x 2

＋2x ＋3，得 y ＝3． ∴C (0，3)，OC ＝3．

设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋m ,则

???0＝－k ＋m 4＝k ＋m ．解得???k ＝2m ＝2

．

∴直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2． ·················· 4分 设线段AD 交y 轴于点E ,则E (0，2)．

∴CE ＝OC －OE ＝3－2＝1． ······················ 5分

27题答案图1

过点C 作直线l 1∥AD ，则直线l 1的解析式为y ＝2x ＋3． ········· 6分

由－x 2

＋2x ＋3＝2x ＋3，解得x 1＝x 2＝0． 将x ＝0代入y ＝2x ＋3，得y ＝3． ∴直线l 1与抛物线只有一个交点C ．

∴在线段AD 上方的抛物线上不存在使△PAD 的面积与△ACD 的面积相等的点P ． ································· 7分 将直线AD 沿竖直方向向下平移1个单位长度，所得的直线l 2的解析式为y ＝2x ＋1． 直线l 2与抛物线交于点P ，则此时△PAD 的面积与△ACD 的面积相等．

由－x 2

＋2x ＋3＝2x ＋1，

解得x 1＝2，x 2＝－2．

∴y 1＝22＋1，y 2＝－22＋1．

∴点P 的坐标为(2，22＋1)或(－2，－22＋1)． ········· 8分 （3）设A ′的坐标为(t ，2t ＋2)，

则A ′A 2＝(t ＋1)2＋(2t ＋2)2＝5(t ＋1)2．AC 2＝12＋32

＝10． ······· 9分 ∵四边形AA ′C ′C 是菱形， ∴AC ＝AA ′．

∴5(t ＋1)2

＝10．

解得t 1＝2－1，t 2＝－2－1．

∴A ′的坐标为(2－1，22)或(－2－1，－22)． ········· 10分 ①当A ′ 在x 轴上方时，A ′的坐标为(2－1，22)．

将点A 先向右平移2个单位长度，再向上平移22个单位长度就得到点A ′，

∴将点D (1，4)先向右平移2个单位长度，再向上平移22个单位长度就得到点D ′(2＋1，22＋4)．

∴平移后的抛物线为y ＝－(x －2－1) 2

＋4＋22． ········· 11分

②当A ′ 在x 轴下方时，同理可得：平移后的抛物线为y ＝－(x －2＋1) 2

＋4－22． ································ 12分

x

y

l 2

l 1

F

P

2

P 1

E

D C A B O

y D 'C 'A'

D

C

x

y C '

D '

B D

C A

O

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