圆的切线证明题)
C
E
A
B
O
P
细说如何证明圆的切线
1、证切线---------------90°(垂直)
2、有90°------------------证全等
3、有⊥------------------证∥,错过来
4、利用角+角=90°
关注:等腰(等边)三线合一;中位线;直角三角形
1(2011中考).如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,
垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点
E,(1)求证:PB为⊙O的切线;
2 已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。
3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切.
D
4(2008年厦门市)已知:如图,中,,以为直径的交于点,
于点.
(1)求证:是的切线;
5已知:如图⊙O是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且A为劣弧的中点,割线PBD过圆心,交⊙0于另一点D,连结CD.
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系,并证明你的结论.
(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.
6如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求弦BD的长;(3)求图中阴影部分的面积.
7.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、
B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90?。
(1) 求证:直线AC是圆O的切线;
(2) 如果∠ACB=75?,圆O的半径为2,求BD的长。
8、(2011?)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC 的延长线上,且∠CBF=∠CAB.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
9 已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。
10(2013年广东省9分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证:∠BCA=∠BAD;(3)求证:BE是⊙O的切线。
11(7分)(2013?)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)求∠B的度数.
细说如何证明圆的切线
2 已知⊙O 中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。
点悟:要证CD是⊙O的切线,须证CD垂直于过切点D的半径,由此想到连结OD。
证明:连结OD。
∵AD∥OC,
∴∠COB=∠A及∠COD=∠ODA
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD
∴∠COB=∠COD
∵CO为公用边,OD=OB
∴△COB≌△COD,即∠B=∠ODC
∵BC是切线,AB是直径,
∴∠B=90°,∠ODC=90°,
∴CD是⊙O的切线。
点拨:辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质定理,后用判定定理。
3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:DM与⊙O相切.
3(2008年厦门市)已知:如图,中,,以为直径的交于点,
于点.
D
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的值.
(1)证明:,
又,
又于,,
是的切线
4已知:如图⊙O是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且A为劣弧的中点,割线PBD过圆心,交⊙0于另一点D,连结CD.
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系,并证明你的结论.
(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.
如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求弦BD的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
5.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90?。
(1) 求证:直线AC是圆O的切线;
(2) 如果∠ACB=75?,圆O的半径为2,求BD的长。
6、(2011?)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC 的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。
点悟:要证PC=CD,可证它们所对的角等,即证∠P=∠CDP,又OA⊥OB,故可利用同角(或等角)的余角相等证题。
证明:连结OD,则OD⊥CE。
∴∠EDA+∠ODA=90°
∵OA⊥OB
∴∠A+∠P=90°,
又∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A,∠P=∠EDA
∵∠EDA=∠CDP,
∴∠P=∠CDP,∴PC=CD
点拨:在证题时,有切线可连结切点的半径,利用切线性质定理得到垂直关系。
7(2013年广东省9分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证:∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解:(1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA(圆周角定理),
(2)∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理),∠BED=∠CBA=90°,
∴△BED∽△CBA,∴
BD DE
AC AB
=。
∵BD=BA =12,BC=5,∴根据勾股定理得:AC=13。
∴
12DE
1312
=,解得:
144
DE
13
=。
(3)证明:连接OB,OD,
在△ABO和△DBO中,∵
AB DB
BO BO
OA OD
=
?
?
=
?
?=
?
,
∴△ABO≌△DBO(SSS)。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED,∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径,∴BE是⊙O的切线。
8.(7分)(2013?)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A (1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)求∠B的度数.
考点:切线的判定与性质;菱形的性质.3481324
分析:(1)连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO,则∠BOC=∠
OAC=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论;
(2)由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线
平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则
∠BOC=2∠ODC,
由于CB=CD,则∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°
可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可.
解答:(1)证明:连结OA、OB、OC、BD,如图,
∵AB与⊙切于A点,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵四边形ABCD为菱形,
在△ABC和△CBO中
,
∴△ABC≌△CBO,
∴∠BOC=∠OAC=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC为⊙O的切线;
(2)解:∵△ABC≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD平分∠ABC,CB=CD,
∴点O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,
而OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC,
而CB=CD,
∴∠OBC=∠ODC,
∴∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°.
点评:本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质.
(19)(08长春中考试题)在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)A.B.1 C.2 D.