山东省滨州市博兴县第三中学2020届高三上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

数学试题

（满分：150分，考试时间：120分钟）

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2

|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =

A.}

{43x x -<<

B.}

42{x x -<<-

C.}

{22x x -<<

D.}{23x x <<

2.若复数z 满足(1+i)z=2－i(i 为虚数单位)，则=z

A ．

2

1

B ．210

C ．2

D ．223

3.已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是

A ．sin sin a b >

B ．a b c c >

C ．c c a b <

D ．

11

c c b a

--<

4.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos2θ

A ．35

-

B ．

35 C ．45- D ．4

5

5.设,l m 是两 条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是

A ．若//l α，//m α，则//l m

B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥

C ．若//l α，m α?，则//l m

D ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥

6.在2=33

ABC AB AC BAC π

?=∠=

中，，，，

BD =若2

3BC ，则AD BD ?= A ．229

B ．229-

C ．169

D ．89-

7.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A 、B 、C 三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为

A ． 8

B ．7

C ．6

D ．5

8. 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为 A ．

93

2

B ．63

C ．18

D ．27

二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.若022<--x x 是a x <<-2的充分不必要条件，则实数a 的值可以是 A.1 B.2 C.3 D. 4

10.某学校在调查学生在一周生活方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本， 其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人， 则下列说法正确的是

A.样本中支出在[50，60)元的频率为0.03

B.样本中支出不少于40元的人数为132

C.样本容量n 的值为200

D.若该校由2000名学生，则一定有600人支出在[50，60)元 11.把函数x y 2sin =的图象沿x 轴向左平移

6

π

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数)(x f y =的图象，对于函数)(x f y =有以下四个判断，其中不正确的判断 A.该函数的解析式为)6

2sin(2π

+

=x y

B.该函数的图象关于点)0 , 3

(π

对称

C.该函数在]6

, 0[π

上是增函数

D.若函数a x f y +=)(在]6

, 0[π

上的最小值为3，则32=a

12. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且

122PF PF =，若12sin F PF ∠=,,,a b c e 的有关结论正确的是

A ．e =

B ．2e =

C ．b =

D ．b =

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.设(

)

5

2

24100125321

x a a x a x a x a +=+++???+，则的值为_________．

14.设随机变量ξ服从正态分布()()()2,9,11,N P c P c c ξξ>+=<-=若则_____. 15.已知函数()f x 是定义在

R 上的奇函数，且)

(1

)2(x f x f =+，则T=____,当

01x <≤时()=(+1)f x x x ，则(4)(5)f f +等于

16.圆1C ：2

2

2

290x y ax a +++-=和圆2C ：2

2

2

4140x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则

2

241

a b

+的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中N n *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设23n

n n a b n n

=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .

18.（12分）已知函数()2

22cos 1,f x x x x R =--∈．

(1)求函数()f x 的最小正周期和最小值；

(2)在ABC ?中，A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()0,sin 2sin c f C B A ==，求a ，

b 的值．

19.(12分) 如图，三棱柱ABC-A 1B 1C l 中，M ，N 分别为CC 1，A 1B 1的中点． (I)证明：直线MN//平面CAB 1；

(II)BA=BC=BB 1，CA=CB 1，CA ⊥CB 1，∠ABB 1=60°，求平面AB 1C 和平面A 1B 1C 1所成的角(锐角)的

20.（12分）为推行“新课堂”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果．期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

分数[50，59)[60，69)[70，79)[80，89)[90，100]

甲班频数5644 1

乙班频数1365 5

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

甲班乙班总计

成绩优良

成绩不优良

总计

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

21.（12分）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M(-a ,b )、

N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形. （1）求椭圆的方程;

（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求?F 2AB 面积的最大值.

22. (12分)已知函数2

1()2ln (2)2

f x x a x a x =

+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数3

4()()9

g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

C

B

B

D

D

A

B

D

BCD

BC

ACD ABCD

13. 80 14. 2 15. 4 2 16.4

17. （1）∵31

(N )22n n S a n *=-∈，① 当11311,22n S a ==-，∴11a =，当2n ≥，∵1131

22n n S a --=-，②

①﹣②133

22

n n n a a a -=-，即13(2)n n a a n -=≥

又∵11a =，∴

1

3n n

a a +=对N n *∈都成立，所以{}n a 是等比数列，∴13(N )n n a n -*=∈ （2）∵23n n n a

b n n =+，∴23n b n n =+，∴111

11

3(1)223

1

n T n n =-+-+

+

--， ∴133(1)311n T n n =-

=-

++=31

n

n + 18.(1)2()322cos 132(cos 21)1f x x x x x =

--=-+-

32cos 222sin(2)26x x x π

=--=--

所以()f x 的最小正周期22

T π

==π,最小值为4-. (2)因为()2sin(2)20,6f C C π=--=所以sin(2)16

C π-=. 又ππ11π(0,π),2(,),666C C ∈-

∈-所以262C ππ-=，得3

C π= 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=， 又3c =1,2a b ==.

19证明：（1）设1AB 与B A 1交于点O ，连接ON CO ,，

因为四边形11A ABB 是平行四边形，所以是O 是1AB 的中点，

N 是11B A 的中点，所以112

1

,//AA ON AA ON =

. 又因为M 是1CC 的中点，所以112

1

,//AA CM AA CM =

.

所以ON CM //=，所以四边形CMNO 是平行四边形，

所以CO MN //.又因为?MN 平面1CAB ，?CO 平面1CAB ， 所以直线//MN 平面1CAB .

(2)因为1BB AB =，所以平行四边形11A ABB 是菱形，所以11AB BA ⊥. 又因为1CB CA =，所以1AB CO ⊥.

又,1CB CA ⊥且O 是1AB 的中点，所以CO AO =.又因为BC BA =， 所以BOC ?≌BOA ?，

所以BOA BOC ∠=∠，故OB OC ⊥，从而OC OB OA ,,两两垂直.

以O 为坐标原点，OC OB OB ,,1所在直线分别为z y x ,,轴建立如图空间直角坐标系

xyz O -，设1=OB ，因为 601=∠ABB ，1

BB BA =，

所以1ABB ?是等边三角形，所以)3

3

,0,0(),0,33,0(),0,33,0(1C B A -

，)0,0,1(B ，)33,33,

0(11==C A ，)3

3

,0,1(11-==B C . 因为OC OB OA ,,两两垂直，所以⊥OB 平面C AB 1， 所以）

（0,0,1=是平面C AB 1的一个法向量； 设m ),,z y x （=是平面111C B A 的一个法向量，则?????=?=?001111B C C A m m ，即???

????=-=+033033

33z x z y ，令

3=z ,得3,1-==y x ，

所以m )3,3,1(-=，所以.77

7

1,cos ==??m 所以平面C AB 1和平面111C B A 所成的角（锐角）的余弦值为.

77

20. 解：(1)由统计数据得2×2列联表：

根据2×2列联表中的数据，得K 2

的观测值为k ＝40（9×4－16×11）

2

25×15×20×20

≈5.227>5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为15

40×8＝3，则X 的可能取值为0，1，2，3.

P (X ＝0)＝C 3

11C 315＝3391；P (X ＝1)＝C 2

11C 1

4C 315＝4491；P (X ＝2)＝C 1

11C 2

4C 315＝66455；P (X ＝3)＝C 3

4C 315＝4

455.

所以X 的分布列为：

所以E (X )＝0×3391＋1×4491＋2×66455＋3×4455＝364

455.

21. 解：（1）由条件，得b=3，且

3332

22=+c

a ，所以a+c=3. 又32

2

=-c a ，解得a=2，c=1 所以椭圆的方程13

42

2=+y x . （2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).

联立方程 22

143

1x y x my ?+=???=-?

，消去x 得, 096)43(2

2=--+my y m ， 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交.

.4

39

,4362

21221+-=+=

+∴m y y m m y y AB F S 2?=

2121212

1

y y y y F F -=- 2222

22212

21)3

11(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y ,)1(913211

422++

++=m m

令112≥+=m t ,设t t y 91+

=,易知)31,0(∈t 时,函数单调递减, ),3

1

(+∞∈t 函数单调递增所以当t=12+m =1即m=0时，910

min =y ,AB F S 2?取最大值3.

22. （1）当1a =时，2

1()2ln 3(0)2

f x x x x x =+->．

所以2()3f x x x '=+-=2

32(2)(1)

x x x x x x

-+--=

.

令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(0,1)和(2,)+∞，单调递减区间为()1,2. （2）因为函数34()()9g x f x ax x =++=2314

2ln 229

x a x x x +-+， 所以224

()23

a g x x x x '=+

-+， 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224

()20,(0,)3

a g x x x x x '=+

-≥+∈+∞， 即3

2

43660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞?324366x x x

a +-≥-，(0,)x ∈+∞.

令32436()6

x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2

()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，

所以当10,

2x ??∈ ???时，()0h x '<，()h x 在10,2??

???

上单调递减，

当1,2x ??∈+∞ ???时，

()0h x '>，()h x 在1,2??

+∞ ???

上单调递增， 所以12x =

是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ??

=- ???

，

∴324366

x x x

+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．