(人教版初中数学)二元一次方程组教案

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第8章-二元一次方程组

1.二元一次方程组：

首先我们来看一下下面这个等式：

x+y＝22

我们已经学过一元一次方程,比如x+5＝46,对于一元一次方程是这样定义的：一个等式中,含有一个未知数,并且未知数的次数为1.

在x+y＝22中,有两个未知数,且未知数的次数都是1,我们把这个等式称为二元一次方程.

二元一次方程的解：

x+y＝22中,x＝1,y＝21；或x＝2,y＝20；或x＝3.1,y＝18.9；或x＝18,y＝4……可见,二元一次方程的解是无数个.

再看另外一个二元一次方程：

2x+y＝40

由上面的推理我们知道,该二元一次方程的解也是无数个,其中的一个解是x＝18,y＝4.

方程x+y＝22和2x+y＝40的解中有公共解x＝18,y＝4,而且,只有这一个公共解.

我们把x+y＝22和2x+y＝40两个方程合在一起,写成

x+y＝22

2x+y＝40

像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

二元一次方程组的解就是其中每个二元一次方程的公共解,如二元一次方程组x+y＝22

2x+y＝40

的解是

x＝18,

y＝4.

2.解二元一次方程组

刚才我们已经讲了二元一次方程组和它的解,那么,如果给你一个二元一次方程组,你如何能够得到它的解呢？难道仍旧像刚才那样列出很多解,然后取公共部分吗？

（1）代入消元法解二元一次方程组

我们来看另一个二元一次方程组,用代入消元法解之： x －y ＝3 ① 3x －8y ＝14 ②

①式中,x －y ＝3,根据等式的性质,可以写成y ＝x-3,我们将它称为③式；将③式代入②式中,就得到了一元一次方程

3x －8（x －3）＝14,化简得到

3x-8x+24＝14

即-5x ＝-10④

解④式得x ＝2

将x ＝2代入①式,得到一元一次方程

2－y ＝3⑤

解得y ＝-1.

所以,这个二元一次方程组的解是

x ＝2,

y ＝-1.

由此我们可以得到这样一种方法解二元一次方程组：

第一步：将二元一次方程组中的一个（系数较简单的）二元一次方程变形后,以其中的一个未知数表示另一个未知数

如上题中将①式：x －y ＝3变成③式：y ＝x-3；

第二步：再将③式代入另一个二元一次方程

如上题中将③式代入②式,就可以得到一个一元一次方程④：-5x ＝-10； 第三步：利用解一元一次方程的知识,解出其中一个未知数

如上题利用④：-5x ＝-10,解得：x ＝2；

第四步：将解出的未知数代入上述过程中任何一个二元一次方程中,就可以解出另一个未知数

如上题中将x ＝2代入①：x －y ＝3,得到另一个一元一次方程,解出另一个未知数y ＝-1；

第五步：将两个答案写到一起,得出方程组答案

x ＝2,

y ＝-1.

第六步：将最后得解代入原先的方程组检验答案是否正确,如果是应用题,还要考虑是否符合实际情况.

例题：（1）用代入消元法解方程组：

124y x x y =-⎧⎨-=⎩

（2）已知10x y =-⎧⎨=⎩和23x y =⎧⎨=⎩

都是方程y a x b =+的解,则a 和b 的值是 （ ） Ａ．11a b =-⎧⎨=-⎩ Ｂ．11a b =⎧⎨=⎩ Ｃ．11a b =-⎧⎨=⎩ Ｄ． 11a b =⎧⎨=-⎩

（2）用加减消元法解二元一次方程组：

看二元一次方程组： x+y ＝22 ①

3x+y ＝40②

第一步：用②－①,得（2x+y ）-（x+y ）＝40-22③；

第二步：2化简③,得一元一次方程2x ＝18④；

第三步：解④得x ＝9⑤；

第四步：将⑤代入①,得一元一次方程9+y ＝22⑥；

第五步：解一元一次方程9+y ＝22⑥,得y ＝13；

第六步：写出方程组得解

x ＝9,

y ＝13.

第七步：将最后得解代入原先的方程组检验答案是否正确,如果是应用题,还要考虑是否符合实际情况.

例题：用加减消元法解方程组：

（1）

（2）

3.列方程组解应用题

例题：某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元,如果35名同学购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张？

列方程组解应用题得关键在于正确地找到应用题种得两个等量关系,并把它们表示成两个方程,这两个方程恰好表达了整个应用题中得全部含义.注意,在这个过程中某些地方需要画图示意,不要在乎自己画的图有多难看,我们不是凡高齐白石,但是一定要多写多画,把题目中得文字语言准确地翻译成数学语言.

例题：学校的篮球数比排球数的两倍少3个,足球数与排球数的比是2：3,三种球共41个.求三种球各多少个？

例题：甲乙两人从A 地出发,向同一方向前进,甲步行先走2.5小时后,乙骑自行车追赶,当乙骑了2个小时候,乙还在甲的后面1.5千米处,再走1小时后,乙在甲的前面2.5千米处.求甲,乙的速度.

练习：

356415x z x z -=⎧⎨+=-⎩ ①②

1.学校文艺部组织观看演出,共够得8张甲票,4张乙票,共计用了112元.已知每张甲票比乙票贵2元,则甲票,乙票的票价分别是（）

A．甲票10元/张,乙票8元/张 B.甲票8元/张,乙票10元/张

C.甲票12元/张,乙票10元/张

D.甲票10元/张,乙票12元/张

3.解方程组

4.某停车场收费标准如下：中型汽车停车费6元/辆,小型汽车停车费4元/辆.现在停车场共有50辆汽车,这些车共缴纳了230元停车费,问中,小型汽车各有多少辆？

5.在等式y＝ax2+bx+c中,当x＝-1时,y＝0；当x＝2时,y＝3；当x＝5时,y＝60,求a,b,c的值.

7.八年级三班召开期末表彰总结会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与销售员的对话：

李小波：阿姨,你好！

售货员：同学你好,想买点什么？÷

李小波：我只有一百元钱,请帮我安排买10支港币和15本笔记本.

售货员：好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,找您5元,请清点好,再见！

根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

b ＝0,则a2-2b＝__________________

8.若|a-2|+3

9.经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下内容：

蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子

批发（元/千克）4 1.2 1.6 1.1

零售（元/千克）5 1.4 2.0 1.3

他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44千克到市场上去卖,当天卖完.请你算出小熊能赚多少钱？