高中数学-导数的综合应用练习题

高中数学-导数的综合应用测试题

一、填空题

1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为________cm. 解析设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，

则V＝1

3

π(400－h2)h＝

1

3

π(400 h－h3)，

∴V′＝1

3

π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝

203

3

.

所以当h＝203

3

cm时，V最大．

答案203 3

2．设m∈R，若函数y＝e x＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析因为函数y＝e x＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝e x＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝e x，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得

－2m>1，即m<－1

2 .

答案m<－1 2

3．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的________．答案必要不充分条件

4．已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

显然a>0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，

由已知条件0

答案(0,1)

5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．

解析结合二次函数图象知，

当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1

答案 (－1,0)

6．有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.

解析 设矩形的长为x m ，则宽为：16－2x

2＝8－x (m)

∴S 矩形＝x (8－x )＝8x －x 2＝－(x －4)2＋16≤16. 答案 16

7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．

解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为

f (1)＝－2，如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点．

答案 (－2,2)

8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．

解析 S ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝S ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了S (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)． 答案 30 405

9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则

a 2＋

b 2的取值范围是________．

解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1,0)上恒成立， ∴??

?

2a －b －3≥0，b ≤0，

∴a ，b 所满足的可行域如图中的

阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离 d ＝35

，∴a 2＋b 2≥d 2

＝95，

∴a 2＋b 2

的取值范围为??????95，＋∞.

答案 ????

??

95，＋∞

10．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2 当x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0. ∴当x ＝0时，f (x )取得极大值， 即f (x )极大值＝f (0)＝－a ； 当x ＝2时，f (x )取得极小值， 即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a . ∴??

?

－a ＞0－4－a ＜0

，解得：－4＜a ＜0.

答案 (－4,0)

11．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝

梯形的周长

2

梯形的面积

，则s 的最小值是________．

解析 如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)， 又S △ADE ＝

34

x 2(m 2

)， ∴梯形的面积为

34－3

4

x 2(m 2)， ∴s ＝433×x 2－6x ＋9

1－x 2(0＜x ＜1)，

∴s ′＝

－83

3

×3x －1x －3

1－x 22

，令s ′＝0得

x ＝13

或3(舍去)，当x ∈? ??

??0，13时，s ′＜0，s 递减；

当x ∈? ????

13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.

答案

323

3

12．已有函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )＜0的解集是________．

解析 在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数

f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x ＞0时，f (x )＜0，∴0＜x ＜1；当x ＜0时，图象关于y 轴对称，f (x )＞0，∴x ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(0,1)

13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．

解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；

当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3

－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1

x

3.

设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝

31－2x

x 4

，

所以g (x )在区间? ????0，12上单调递增，在区间??????

12，1上单调递减，

因此g (x )max ＝g ? ??

??

12＝4，从而a ≥4.

当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1

x

3.

g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4. 答案 4 二、解答题

14. 已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值

2-.

(I)求()f x 的单调区间和极大值；

(II)证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. 解析 (I)由奇函数定义，应有()(),f x f x x R -=-∈.

即 33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴= 因此， 3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+

由条件 (1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故

2

30

a c a c +=-??+=?

解得 1, 3.a c ==-

因此， 32()3,

'()333(1)(1),'(1)'(1)0.

f x x x f x x x x f f =-=-=+--==

当 (,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当 (1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= (II)由(I)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且

()f x 在[1,1]-上的最大值(1)2,M f =-= ()f x 在[1,1]-上的最小值(1) 2.m f ==-

所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有 12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=

15．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光

大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)? ?

???A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]

时的图象，图象的最高点为B ? ????

5，

833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；

(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？

解析 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象知A ＝833，ω＝2π

T ＝

2π

48－5

＝π6.将B ? ??

??

5，833代入到y ＝833·

sin ? ????

π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．

又|φ|＜

π2，所以φ＝－π3.故y ＝833sin ? ????π

6

x －π3.

(2)在y ＝

833sin ? ????π

6

x －π3中，令x ＝4，得D (4,4)，所以曲线OD 的方程为y 2

＝4x (0≤x ≤4)．

设点P ? ????t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积为S ＝? ?

???4－t 2

4t (0≤x ≤4)．因为S ′

＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝43

3

，

且当t ∈? ????

0，

433时，S ′＞0，则S 单调递增， 当t ∈? ????

433，4时，S ′＜0，则S 单调递减；

所以当t ＝

43

3时，S 最大，此时点P 的坐标为? ??

??43，

433.

16．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与 [1，＋∞)上是减函数，且f ′? ????12＝3

2.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．

解析 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数， 可知x ＝0和x ＝1是f ′(x )＝0的解， ∴???

f ′0＝0，

f ′

1＝0，

即??

?

c ＝0，

3a ＋2b ＋c ＝0，

解得?

??

c ＝0，b ＝－3

2a .

∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′? ????12＝32，得f ′? ????12＝3a 4－3a 2＝3

2，∴a ＝－2，即f (x )

＝－2x 3＋3x 2.

(2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ，即x (2x －1)(x －1)≥0， ∴0≤x ≤1

2

或x ≥1.

又f (x )≤x 在区间[0，m ](m ＞0)上恒成立，∴0＜m ≤1

2.

故m 的取值范围是?

?

???0，12.

17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，

D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，

E ，

F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解析 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x

2

＝2(30－x )，0＜x ＜30.

(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800. 所以当x ＝15 cm 时，S 取得最大值．

(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.

当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，

此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.

18．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3

＋x 2

?

???

??

f ′

x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求

m 的取值范围．

解析 (1)根据题意知，f ′(x )＝

a 1－x

x

(x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数． (2)∵f ′(2)＝－a

2＝1，∴a ＝－2，

∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3. ∴g (x )＝x 3＋? ??

??

m 2＋2x 2－2x ，

∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.

∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴???

g ′t ＜0，g ′

3＞0.

由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，

∴???

g ′1＜0，g ′2＜0，g ′

3

＞0，

∴－

37

3

＜m ＜－9. 【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；,第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )；,第三步：求方程f ′(x )＝0的根；,第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；,第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性；,第六步：明确规范表述结论.