《圆》知识点归纳及相关题型整理[1]1

圆

一、和圆有关的基本概念

1.圆：

把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

4.直径：经过圆心的弦。

5.弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。劣弧：小于半圆的弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

6.弦：连接圆上任意两点的线段。

7.弦心距——圆心到直线的距离

8.弓形——弧与所对的弦所组成得图形

9.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

10.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）

11.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

12.圆心角：顶点在圆心的角。

13.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。

14.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。

15.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

16.圆内角、圆外角及性质：

顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

17.正多边形：①定义：各边相等、各角也相等的多边形

②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。

18.圆锥：

①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。

20.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的

内接三角形。

三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。

三角形的内心的性质：三角形的内心到各个边的距离相等

21.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

二、圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；

垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

依据垂径定理及其推论①②③可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。

1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 推论——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中

有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 2、圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 3、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的 弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边 的一半的逆定理。

4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠

B

D

B

A

B

A

O

三、确定圆的条件

1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

2.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

3.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

4.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

5.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，它到三角形三边距离相等

四、和圆有关的位置关系

1.点和圆：

如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么

2.直线和圆：

①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。

②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 ③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么

圆的切线垂直于经过切点的半径。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.圆和圆：

①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。

②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。

③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。

④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。 （两个圆外切和内切统称为两个圆相切。）

⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 （两圆同心是两圆内含的一种特例。）

如果两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么

点P 在圆内 点P 在圆上 点P 在圆外

dr 直线l 与⊙O 相交

直线l 与⊙O 相切

直线l 与⊙O 相离

dr 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切

两圆内含

d>R+r d=R+r R-rr) 0≤dr)

五、一些重要的圆的相关定理

圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ?=?

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2

CE AE BE =?

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线

段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线

∴ 2

PA PC PB =?

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点

∴12O O 垂直平分AB

圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ?

中，221AB CO == （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和

D

B

B

A

六、和圆有关的计算

1. 多边形和圆

每个内角的度数：

每个外角的度数： （等于中心角）

正多边形和圆的关系定理：

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 2. 扇形：

面积公式： 或

3. 弧长： 弧长公式：

4. 圆锥：

（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。） 圆锥的侧面积=S 侧＝×2πr ×a ＝πra

（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。） 2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

① 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

②圆柱的体积：2

V r h π=

（2）圆锥侧面展开图

360

2

r n S π=lr S 21=180

2360r

n r n l ππ=?=母线长

底面圆周长

C 1

D 1D

C

B1

O