四边形的判定和性质
平行四边
形
矩形
(所特有)
菱形
(所特有)
边
角对角线图形的对称性对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且
四条边相等
对角相等
四个角都
是直角
四个角都
是直角
对角线互
相平分
对角线
相等
对角线互相垂
直，每条对角
线平分一组对
角
对角线相等且互
相垂直平分，每
条对角线平分一
组对角
中心对称图形
既是中心对
称图形又是
轴对称图形
既是中心对
称图形又是
轴对称图形
既是中心对
称图形又是
轴对称图形
图形
性质
分类
正方形
平行四边
形
矩形(所特有)菱形(所特有)
边角
对角线
图形的对称性
对边平行且相等
四条边相等
对边平行且四条边相等对角相等
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对
称图形又是轴对称图形
既是中心对
称图形又是轴对称图形
图形
性质分类
正方形
平行四边形性质和判定习题(答案详细)
平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足 分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系， 并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四 边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
(完整版)平行四边形的性质和判定练习题
初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定 班级： 姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）； ，_________（对角相等）；…（邻角互补）； ， （对角线互相平分）。 平行四边形的判定： 判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 几何语言 判定1., 判定2.， 判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长 为 cm ． 4.如图，在□中，已知， 平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D
平行四边形性质及判定练习题
A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm
(完整word版)特殊四边形的性质与判定练习题
P M N A B C D R 特殊四边形的性质与判定练习题 1． 若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 （ ） A ．22 B ．26 C ．22或26 D ．28 2．已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是 （ ） A ．24cm 2 B ．32cm 2 C ．48cm 2 D ．128cm 2 3．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对 角线的夹角为（ ） A 、22.5° B 、45° C 、30° D 、60° 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE= ∠CDE,那么∠BDC 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．22.5° 5．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMRP 的面积S 1，与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是 ( ) A. S 1> S 2 B. S 1= S 2 C. S 1< S 2 D. 不能确定 6.平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（） A.4cm 和6cm B.6cm 和8cm C.8cm 和10cm D.10cm 和12cm 7.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CD B.AD //BC ，∠A ＝∠C C.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 8．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形 9.平行四边形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、平行四边形 C 、菱形 D 、正方形
(1)平行四边形性质和判定复习课教学设计
课题：18.1平行四边形（第6课时） ——平行四边形的性质与判定（复习课） 十堰市郧阳区城关一中王平利 学情分析：该班约有三分之一的学生成绩优良，基础扎实；三分之一的学生成绩一般，有些基础比较欠缺，需要通过复习来巩固；还有三分之一的学生成绩不稳定，基础不扎实，约有四分之一的学生成绩介于合格与不合格之间。本节是节复习课，在之前，学生已经学习了平行四边形的性质与判定定理，只是在应用方面还不灵活；学生有一定的分析问题和逻辑推理的能力，有一定的语言表达和概括的能力，有一定的自主学习和合作探究的能力。 教学目标： 1、知识技能：熟练掌握平行四边形的定义、性质、判定定理及面积公式，并运用它们进行有关的论证和计算。 2、过程与方法：通过归纳、整理平行四边形的性质及判定，感受数学思考过程的条理性，发展学生的收集、整理、小结、概括的能力。 3、情感态度：在整理知识点的过程中，发展学生的独立思考习惯，提高学生的动手操作能力。 教学重点：熟练运用平行四边形的性质与判定解答。 教学难点：平行四边形的性质与判定的综合运用。 教学方法：自主学习合作探究 教学过程： 一、巩固复习：
（一）知识回顾： 1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 2、平行四边形的性质 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形 3、平行四边形的判定： ??? ? ?? ???对角线互相平分两组对角分别相等两组对边分别相等两组对边分别平行一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4、三角形中位性定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 5、两平行线间的距离性质：两平行线间的距离处处相等． （二）巩固练习： 1、平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ） A 、不稳定性 B 、对角线互相平分 C 、内角的和为360度D 、外角和为360度 2、 已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6,那么它的周长为( ). A. 16 B. 60 C.32 D. 30 3、平行四边形ABCD 中, ∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是( ). A. 4:3:3:4 B. 7:5:5:7 C. 4:3:2:1 D. 7:5:7:5
平行四边形的性质及判定测试题
平行四边形的性质及判定测试题 班级_______学号_______姓名_______成绩_______ 1、填空：（每空4分，共52分） 1、平行四边形的周长为36cm ，相邻两边的比为1:2，则它的两邻边长分别是____________ 2、在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 。 3、如图，在平行四边形ABCD 中，GH EF AB GH AD EF 、,//,//相交于点O ，则图中共有________个平行四边形． 4、平行四边形ABCD 中，∠A ＝45°，BC ＝2 ，则AB 与CD 之间的距离是 ；若AB ＝3，四边形ABCD 的面积是 ， ΔABD 的面积是 ． 5、在平行四边形ABCD 中，ABC BC AB ∠==,3,1与BCD ∠的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF 的长为_____． 6、平行四边形的两个邻角的平分线相交所成的角是_________° 7、若□ABCD 与□ABEF 有公共边AB ，那么四边形DCEF 是________ 8、在四边形ABCD 中，AC 是对角线，若BAC DCA BCA DAC ∠=∠∠=∠,，且 ?=∠62D ，则____=∠B ． 9、在△ABC 中，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，D 、E 、F 分别是各边中点，则△DEF 的周长= ，△DEF 的面积是 ． 10、A,B,C,D 在同一个平面内，从①CD AB //② AB=CD ③AD BC //④BC=AD 这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有_____种 二、解答题：（共48分） 2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证：四边形AECF 是平行四边形。 3、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点，求证：BM ∥DN ，且BM=DN 。 4、如图,四边形ABCD 是平行四边形,AB=10，AD=8，AC ⊥ BC,求AC 、OA 以及平行四边形ABCD 的面积 5、如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形． 6、叙述并证明三角形中位线定理。
特殊平行四边形性质和判定归纳表
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类 别 性质判定对称性 平行四边形①对边平行 ②对边相等 ③对角相等 ④对角线互相平分 (⑤邻角互补) ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 中 心 对 称 矩形①具有平行四边形的 一切性质 ②四个角都是直角 ③对角线相等 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 中轴 心对 对称 称 菱形①具有平行四边形的 一切性质 ②四条边都相等 ③对角线互相垂直 (平分每组对角) ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 (④对角线垂直且平分的四边形) 中轴 心对 对称 称 正方形①具有平行四边形、矩 形、菱形的一切性质 (②对角线与边的夹角 为450) ①有一个角是直角且有一组邻边 相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 （④对角线垂直且相等的平行四 边形） 中轴 心对 对称 称 四种特殊四边形的性质 边角对角线对称性 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等互相平分中心对称 矩形对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分 且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四条边相等 对角相等互相垂直平分（且 每条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四条边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，（每 条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 四种特殊四边形常用的判定方法： 平行 四边形 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形 ①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形 ③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形
关于一些特殊的四边形的定义、性质和判定
关于一些特殊的四边形的定义、性质定理、判定定理 一、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等 平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分 平行四边形性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 二、有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角 矩形性质定理2：矩形的两条对角线相等 矩形判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形 矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 三、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形性质定理1：菱形的四条边都相等 菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四、有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形 正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每一条对角线平分一组对角 五、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等 等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形
最新18.1-18.2平行四边形的性质与判定练习题
E D C O F B A 18.1~18.2平行四边形的性质与判定 一、选择题 1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 2、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 5、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 6、 四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 7、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 8、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、A B ＝CD ，AD ＝B C B 、AB ∥C D ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 9题图 10题图 11题图 12题图 10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l 1∥l 2，则a=b B ．若l 1∥l 2，则a=c C ．若a∥b，则a=b D ．若l 1∥l 2，且a∥b，则a=b A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm 14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下列各组数据可能是x 与y 的值的是（ ） A 、8与14 B 、10与14 C 、18与20 D 、10与36 15 、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，则∠A 和∠B 的度数分别为（ ） A ．80° ，100° B ．130°，50° C ．160°，20° D ．60°，120° 16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 17、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，则( ) A.AM=ME B.AM=DF C.AM=NC D.AM ⊥MD
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
各种四边形性质与判定
1平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质：(1) 平行四边形对边平行且相等； (2) 平行四边形两条对角线互相平分；（菱形和正方形） (3) 平行四边形的对角相等，两邻角互补； (4) 连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形；(推论） (5) 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 判定：(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形； (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (5) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (6) 一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形； (7) 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。 2菱形：在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。 性质：（1）具有平行四边形的性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。 判定：（1）四边都相等的四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 3矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 性质：（1）矩形对边平行且相等； （2）矩形四个角都是直角； （3）矩形对角线互相平分且相等； （4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形。
初中数学各种四边形的定义、性质、判定
初中数学各种四边形的定义、性质、判定(一)、平行四边形的定义、性质及判定. 1：两组对边平行的四边形是平行四边形. 2.性质： (1)平行四边形的对边相等且平行; (2)平行四边形的对角相等，邻角互补; (3)平行四边形的对角线互相平分. 3.判定： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形： (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4·对称性：平行四边形是中心对称图形. (二)、矩形的定义、性质及判定. 1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3.判定： (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形： (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形. 4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.
(三)、菱形的定义、性质及判定. 1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质： (1)菱形的四条边都相等;。 (2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形. (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半： 3.判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形. (四)、正方形定义、性质及判定. 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.性质： (1)正方形四个角都是直角，四条边都相等; (2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角; (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形; (4)正方形的对角线与边的夹角是45度; (5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 3.判定：
平行四边形的性质及判定(提升版)
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
《平行四边形》的性质与判定 专题练习题 含答案
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各 点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；
特殊四边形的性质和判定表
①
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）.等腰梯形具有稳定性. 性质：①两腰相等；②同一底上的两角相等；③对角线相等. 判定定理：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形； 梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h÷2；变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：ha=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a. 另一计算梯形的面积公式：中位线×高，用字母表示：L·h 对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2 ⑴四边形中基本图形 （2）梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)
做证明题的一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法； ③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 【经典题目】 1.从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH. 2.平行四边形ABCD的对角线交于O，作OE⊥BC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm,求：平行四边形ABCD的面积. 第1题图第2题图 3.如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x． （1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2 ？ 4. 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：CFGE是菱形。 第3题图第4题图 5.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1) 求证：△ADE≌△CBF；(2) 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论. 6.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积。 7.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？ 2，AE⊥BD于点E，求OE的长？ 8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=3
平行四边形的定义,性质及判定方法
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
平行四边形定义性质以及判定定理
性质 （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为平行四边形的两组对边分别相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为平行四边形的两组对角分别相等”） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。 （简述为平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为平行线间的高距离处处相等”） （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。 （简述为平行四边形的对角线互相平分”） （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论） （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。） （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。 （11 ）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，贝U AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A 的n等分点，则AC和DE互相（n+1）等分。 （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 （13 ）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积 平行四边形的判定方法（共6种） 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5. 所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形； 6. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 辅助线作法 一、连接对角线或平移对角线。 二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。 四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等.
最新平行四边形性质与判定经典例题练习
第十九章 四边形 19.1.1 平行四边形的性质 第一课时 练一练： 1.已知：平行四边形的周长为28cm ，相邻两边的差为4cm ，则相邻两边长为 、 。 2.如图,在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有________对. 2题4题 3.ABCD 中，若∠A ∶∠B =1∶3,那么∠A =_____，∠B =______，∠C =______，∠D =_____. 4.如图，ABCD 的对角线AC 和BD 相较于点O ，如果AC=10，BD=12，AB=m ，那么m 的取值范围是 。 ● 精讲精练 例：如图，E F ，是ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明． 变式：1、已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF . 2、（07日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为 cm. 2题 3题4题 三、用中学习 1.平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______. 2、在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______. 3.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 4、如图，在□ABCD 中，AB =AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少10 cm ，求□ABCD 的一组邻边的长. 第二课时 练一练： 1、如图，在□ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=4cm ，BC=6cm,则BC 边上的高DF 的长为 。 A B C D E F A B C O E
特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理 名称 性质 判定 平行四边形 1、对边平行且相等。 2、对角相等。 3、对角线互相平分。 4、是中心对称图形。 5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高） 推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（定义） 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。 矩形 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质： 1、四个角都是直角。 2、对角线相等。 3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。 4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽） 推论：直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半。 1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形 菱形除了具有平行四边形的所有质外，还有以下性质： 1、四条边都相等。 2、两条对角线互相垂直。并且 每一条对角线平分一组对角。 3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。 4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。） 1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3、边相等到的四边形是菱形。 正方形 除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外，还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45o。 2、S= a2（a 表示两边长。） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个是直角的菱形是正方形。 3、对角线相垂直的矩形是正方形。 4、对角线相等的菱形是正方形。 等腰梯形 1、两腰相等。 2、同一底上的两个角相等。 3、对角线相等。 4、轴对称图形 1、对角线相等的梯形是等腰梯形。 2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 梯形中常见辅助线 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D