苏科版八年级上册数学 第一章全等三角形 小结与思考 教案

全等三角形的复习课

——“一线三等角”专题

【教学目标】

知识与能力：

（1）探索“一线三等角”几何模型并掌握其特征；

（2）能熟练运用“一线三等角”几何模型证明三角形全等；

（3）能构造和提炼出“一线三等角”几何模型，提高解决问题的能力．

过程与方法：经历探究模型的演变过程，体会“从特殊到一般”、“化归”的数学思想方法，发展自己观察、分析和推理能力．

情感态度与价值观：鼓励学生自主探究，培养学生思考、合作学习习惯．

【教学重点、难点】

教学重点：能熟练运用“一线三等角”几何模型证明三角形全等并解决问题．

教学难点：能构造和提炼出“一线三等角”几何模型解决问题．

【教学方法与手段】

教学方法：教师引导学生探究法．

教学手段：借助PPT和几何画板直观演示，鼓励学生独立思考，抽象出“一线三等角”的基本模型，体会模型思想，培养学生几何直观素养．

【教学过程】

一、温故思新，梳理知识

1．如图，要使△ABC≌△ADC，还需要增加什么条件？依据是什么？

2．如上图，若∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还需要增加什么条件？依据是什么？

（设计意图：通过2个练习引导学生复习全等三角形的判定方法，为学生进行本节课探究做好铺垫．）

二、问题探究，抽象模型

问题1：如图，已知AB=AD，∠C=∠BAD=∠E=90°，点C、A、E共线．

（1）图中有哪几对锐角相等？（2）图中△ABC与△DAE全等吗？

问题2:如图，AB=AD，∠C=∠BAD=∠E= 60°，点C、A、E共

线．

请思考图中哪几对角相等？有三角形全等吗？

问题3:如图，AB=AD，∠C=∠BAD=∠E=α，点C、A、E共线．

请思考图中哪几对角相等？有三角形全等吗？

追问：三个图形有什么共同点？（引入“一线三等角”的概括性名称）

（设计意图：通过三个问题从特殊到一般抽象出“一线三等角”模型，让学生在大胆猜想的基础上，说出每一个问题的证明过程，使学生的思维由“量”变产生“质“变．从问题和模型引入本专题，使学生从感性上认识模型，为下一环节抽象模型做好铺垫．）

三、运用新知，变式提升

【例1】在ABC

ACB，BC

AC=，直线l经过点C，且l

AE⊥于点E，

∠90

=

Rt?中，?

BF⊥于点F．当直线l绕点C旋转到如图1的位置时，

l

①求证：AEC

?；

?≌CFB

②试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由．

变式1．当直线l绕点C旋转到如图2的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由．

变式2．当直线l绕点C旋转到如图3的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由．

（设计意图：例1提炼出“一线三等角”模型证明全等三角形，并通过变式训练进一步感知“一线三等角”模型，提高学生分析理解能力，加深对几何模型的理解，提高学生运用“一线三等角”的几何模型解决问题的能力．）

【例2】CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，请问BE与CF相等吗？

②如图2，若∠BCA+∠α=180°，请思考①中的结论仍然成立吗？并说明理由．

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，请添加一个关于∠α与∠BCA数量关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由．

（设计意图：例2的设计了三个问题让学生在解决问题中继续感知“一线三等角”的基本模型，同时打破学生对“一线三等角”认识上的封闭性，进一步丰富这种“基本图形”的“外延”，是本节课的亮点，也是难点！）

四、拓展提升，突破难点

如图，已知l1‖l2‖l3‖l4，且平行线之间的距离为1，求正方形ABCD的面积．

（设计意图:让学生构造“一线三等角”的基本模型解决问题，在动手操作和合作交流中发散思维，在思考和作图中领会几何图形的动态美，也让学生在交流互动中养成探索创新的求知精神．．）

六、自主小结，悟出方法

（设计意图: 通过回顾本节课所学内容，让学生悟到几何学习中的基本图形和相关应用，从学习的方法来进行总结．）

1．如图，AB =AC ，DE 过直角顶点A ，?=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ）①AE CD =；②21∠=∠；③?=∠+∠9043；④BE AD =．

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（第1题图） （第2题图） （第3题图）

2．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE =8，BF =5，则EF 的长为 ． 3．如图，四边形ABCD 是正方形，90CEA ABF ∠=∠=?且点E ，A ，B 三点共线，AB =4，则阴影部分的面积是 ．

4．如图1，图2，AC ⊥BC ，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为C ，D ，E ，C ，D ，E 三点共线，AC =BC ．

（1）在图1中，若AD =2，BE =5，则DE =_________． （2）在图2中，若AD =5，BE =2，则DE =_________．

（第4题图）

432

1E D C A

5．（选做题）如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC，垂足为点H，交EG于点M．求证：EM=MG．

（设计意图:针对学生的差异性，作业设计体现难度梯度，第1-4题是必做题以基础为主，重在检查整体学生的掌握情况；第5题是选做题是考察学生的应用能力的题型，重在培养学生的知识迁移能力，重在因材施教．）

【教学设计说明】

本节课采用“温故思新——探究归纳——运用新知——变式拓展”的教学模式．本节课是在学习全等三角形的基础上，进一步探索“一线三等角”模型并掌握其特征．从已有知识着手生成新的结论，以观察、发现、概括的探究式学习方式，让学生能构造和提炼出“一线三等角”几何模型，提高解决问题的能力．在探究新知中经历探究模型的演变过程，体会“从特殊到一般”、“化归”的数学思想方法，发展自己观察、分析和推理能力，鼓励学生自主探究，培养学生思考、合作学习习惯，使学生会学、乐学、善学数学．