比较实数大小的方法教案
§2.1.1比较实数大小的方法
【教学目标】
知识目标：
1、教学目的：
（1）.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
（2）.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．
2、教学重点：比较两实数大小．
3、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号
4、授课类型：新授课
能力目标：
通过不等关系的学习与探究，培养数学思维能力.
情感目标：
（1）经历比较实数大小及证明不等关系的过程，关注逻辑判断与推理；
（2）感受生活中的不等关系模型，体会数学知识的应用.
【教学设计】
（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；
（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；
（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．(45分钟) 【教学过程】
【教学板书】
2.1.1比较实数大小的方法
1、数轴对应点位置比较法：
实数和数轴上的点一一对应；
数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。
2、作差比较法：
对于两个任意的实数a和b，有：
a b a b
->?>；
-=?=；
a b a b
-
a b a b
【教学反思】
本节课授课对象为17级汽修1班，该班级普遍数学水平比较薄弱，因此，在课堂上应多结合生活中的有趣现象、实例，通过游戏等方式引导学生学习，把抽象的数学概念和理论演变成通俗易懂的生活实例，这样学生比较容易理解和接受新的知识，课堂气氛也会比较活跃。同时，要重视讲练结合与强化练习，在练习的过程中多走到学生去查看他们的答题情况，多引导和鼓励。课堂上多提问学生，从而能发现学生在学习新知识中碰到的问题，并引导学生一起解决问题，培养学生学习数学的兴趣。
实数比较大小的基本方法与技巧
实数比较大小的基本方法与技巧 山西耿京娟 在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。怎样比较实数与实数之间的大小呢?比较两个实数的大小通常有以下几种方法: 一、求差法 求差法——设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a 112004,20032005,2004?<,?>. 2004,20032005,2004 四、估算法 估算法——设a，b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较. 13,31例4(比较大小:(1)与 ;(2) ,23+3与4,47 88 13,311313解:(1)?3<<4, ?-3<1, ?<. 88 (2) ?-4<,23<-5, ?-1<,23+3<-2; 又?-6<,47<-7, ?-2<4,47<-3. ,23,47?+3>4. 五、平方法 平方法——比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a,0，b,0 22时，可由a,b得到a,b”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。 3553例5.比较与的大小. 2235533553解:?()=45 ，()=75 , 又?45<75, ?<. 六、移动因式法 abcd移动因式法——当a>0, b>0时，若要比较形如与的两数的大小，可先把根号外的正因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 3553例6.比较与的大小. 22354553753553解:?==，== , 又?45<75,?<. 3，55，3 七、近似值法 初中数学中实数的知识教案 2018-12-05 一、内容特点 在知识与方法上类似于数系的第一次扩张。也是后继内容学习的基础。 内容定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不要求分母有理化）。 二、设计思路 整体设计思路：无理数的引入----无理数的表示----实数及其相关概念（包括实数运算），实数的应用贯穿于内容的始终。 学习对象----实数概念及其运算；学习过程----通过拼图活动引进无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。 具体过程：首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。最后教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。 第一节：数怎么又不够用了：通过拼图活动，让学生感受无理数产生的'实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会判断一个数是有理数还是无理数。 第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。 第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此这一节内容介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。 第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。 第六节：实数。总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。 三、一些建议 实数的性质及运算 教学目标 知识与技能： 掌握实数的相反数和绝对值； 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观： 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 教学重点 1、会求实数的相反数和绝对值； 2、会进行实数的加减法运算； 3、会进行实数的近似计算. 教学难点 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 教学过程 一、导入新课： 1、回顾有理数中的相反数、绝对值、倒数的概念 相反数：有理数a的相反数是a -. 绝对值：当a≥0时， a a= ，当a≤0时， a a- = 倒数：如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 2、思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 二、实数的性质：有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用. 三、练一练 1. 3的相反数是， π的相反数是 ， 5-1的相反数是 . 2. -π的绝对值是 ， 3-的绝对值 = ， 0的绝对值 = ， 总结归纳： 1. a 是一个实数，实数a 的相反数为-a. 2、①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 典例例精析： 1、写出下列各数的相反数和绝对值： 3.14.-π 2、（1）求 327的相反数， （2）已知3a = ，求a. 实数的运算： 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 实数的运算顺序： (1)先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加减; (3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 典例精析： 例3 计算下列各式的值： ,0,,a a a ??=??-?000.a a a 当时；当时；当时>=< 比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设， 第一章 实数与中考 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5.会用多种方法进行实数的大小比较。 2007年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 第一讲 实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 实数 第一课时 教学目标： 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。 教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。 教学过程 一、导入新课： 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3 5- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ， 47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课： 1、 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数；有理数和无理数统称为实数 ??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。 ，π 是正无理数， ，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分， 实数也可以这样分类： ???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，5π-，0，32，π－3 （2） 一个数的绝对值是3，求这个数。 公开课教案 上课内容：6.3实数 上课时间： 上课地点：学术报告厅 授课老师：陈凤友 【教学目标】 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。 3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 【教学重点】理解实数的概念。 【教学难点】正确理解实数的概念。 【教学过程】 预习案 自学指导 1、自学课本49—51页内容，完成以下内容： 有理数有理数 2、归纳：任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数 观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________ π=也是无理数 小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265 结论： _______和_______统称 为实数 你能举出一些无理数吗？ 3、试一试把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负 之分。例如2，33，π是____ 无理数，2-，33-，π-是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 实数 3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ （1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 从图中可以看出OO ′的长时这个圆的周长______，点O ′的坐标是_______ 这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来 （2） 总结 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的 实数______ 4、讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？ 第六章实数复习课教案 魏邱乡初级中学中学赵凤杰 一、内容和内容解析 1．内容 平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析 本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算． 本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构． 二、目标和目标解析 1．学习目标： 1.知识与技能 了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义掌握平方根的定义，会求一个数的平方根。 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 2.过程与方法 经历有关归纳过程，归纳有关平方根，立方根的结论. 3.情感态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别． 达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，会进行实数的大小比较． 三、教学问题诊断分析 学生对正数开平方会有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆．对于负数没有平方根，学生接受起来也有一定的难度．平方根和立方根虽都是开方运算，但它们的表示方法和性质及运用是学生在练习中经常出错的地方；无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其定义比较抽象，学生没有任何感性认识，真正理解这个概念也有一定的困难．学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．基于以上分析，本课的教学难点是：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构． 四、教学过程设计 (一) 热身游戏 明七暗七 设计意图：用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的联系，梳理知识，构建体系． 头脑风暴 议一议思考：平方根和立方根之间的联系与区别： 师生活动：学生独立解答后，小组交流、全班展示.教师关注：学生对平方根及立方根 §2.1.1比较实数大小的方法 【教学目标】 知识目标： 1、教学目的： （1）.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； （2）.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 2、教学重点：比较两实数大小． 3、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 4、授课类型：新授课 能力目标： 通过不等关系的学习与探究，培养数学思维能力. 情感目标： （1）经历比较实数大小及证明不等关系的过程，关注逻辑判断与推理； （2）感受生活中的不等关系模型，体会数学知识的应用. 【教学设计】 （1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲； （2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合； （3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 1 课时．(45 分钟) 【教学过程】 教学过程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 *知识回顾揭示课题 问题： 实数与数轴上的点是如何对应的？质疑思考 在数轴上表示出与实数－2、－1、0、2、4 对应的点. 解答 直观 1 2 【教学板书】 2.1.1 比较实数大小的方法 1、数轴对应点位置比较法： 实数和数轴上的点一一对应； 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。 2、作差比较法： 对于两个任意的实数a 和b，有： a - b > 0 ?a >b ； a - b = 0 ?a =b ； a - b < 0 ?a 【教学反思】 本节课授课对象为17 级汽修1 班，该班级普遍数学水平比较薄弱，因此，在课堂上应多结合生活中的有趣现象、实例，通过游戏等方式引导学生学习，把抽象的数学概念和理论演变成通俗易懂的生活实例，这样学生比较容易理解和接受新的知识，课堂气氛也会比较活跃。同时，要重视讲练结合与强化练习，在练习的过程中多走到学生去查看他们的答题情况，多引导和鼓励。课堂上多提问学生，从而能发现学生在学习新知识中碰到的问题，并引导学生一起解决问题，培养学生学习数学的兴趣。 4 6.3实数的运算——教学设计 教学目标： 知识与能力：了解实数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然 成立，能熟练地进行实数计算。 过程与方法：在实数运算时，根据根据问题的要求，取其近似值，转化为有理数 进行计算。 情感态度与价值观：在知识的学习过程中，感受事物之间的相互联系。 教学重点：实数的运算律。 教学难点：实数的混合运算。 教学方法：讲授法 教学准备：多媒体 教学过程： 一、创设情境，导入新课 复习导入： 1、实数的分类： 按照定义分类如下： 实数????????数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数 按照正负分类如下： 实数???? ???????????负无理数负有理数负实数零 负无理数正有理数正实数 2、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3、用字母表示有理数的加法交换律和结合律。 4、有理数的混合运算顺序。 二、合作交流，解读探究 自主探索 独立阅读，自习教材． 提出问题 在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝 对值的意义是否完全一样？ 总结 （1）、实数的相反数：数a 的相反数是a -。 （2）、一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相 反数，0的绝对值是0. （3）、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非 负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、 结合律、分配律等运算性质也适用。 从数系的扩充，进一步引导学生对于实数的相反数、绝对值以及实数的运算 的认识与学习。 三、例题精讲，拓展新知 例1： （1）分别写出14.3-6-π，的相反数； （2）指出331,5--分别是什么数的相反数； （3）求364-的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是3，求这个数。 解析： （1）因为ππ-=-=14.3)14.3-(6)6(--，，所以14.3-6-π，的相反数分别为π-14.36，。 （2）因为3331)13(,5-)5(--=--=，所以，331,5--分别是13,53-的相 反数。 （3）因为4646433-=-=-，所以44643=-=-。 （4）因为33,33=-=，所以绝对值为3的数是3或3-。 例2：计算下列各式的值： （1）2)23(-+； （2）3233+。 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c 表示的点画出来，容易得到结论： 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设， 则 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有： 例7 比较与的大小。 析解：设， ，则 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。 例8 比较与198的大小。 析解：由于 所以 取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得： 即 所以 两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。 6.3 实数 第一课时 【教学目标】 知识与技能： ① 了解无理数和实数的概念以及实数的分类； ② 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法： 在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。 情感态度与价值观： ① 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用； ② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 教学重点： ① 了解无理数和实数的概念； ② 对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。 【教学过程】 一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数9 5,119,847,53,3-写成小数的形式，它们有什么特征？ 发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：5.09 5,18.0119,875.5847,6.053,0.33&&&===-=-= 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。 比如33,5,2-等都是无理数。14159265.3=π…也是无理数。 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类： 按照定义分类如下： 实数????????数） 无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数 整数有理数 按照正负分类如下： 实数???? ???????????负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数 3、实数与数轴上点的关系： 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？ 活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。 活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就是2-。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。 归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 ②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 三、应用： 例1、下列实数中，无理数有哪些？ 2，17 2，37.0&&-，14.3，35，0，???11121211211121.10，π，2)4(-。 《6.3 实数》教学设计 教材分析： 本节在引入无理数后，数的范围从有理数扩充到实数，这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化． 教学目标： 【知识与技能目标】 会求实数的相反数与绝对值； 【过程与方法目标】 会对实数进行简单的运算. 【情感态度与价值观目标】 通过立方根的学习，体会数学的内在美感。 教学重难点： 【教学重点】 知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算. 【教学难点】 （1）体会数轴上的点与实数是一一对应的； （2）准确地进行实数范围内的运算． 课前准备： 多媒体：PPT 课件、电子白板 教学过程： 第一课时 一、观察探究： (1).观察下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？ 9 5 ,9011 ,119 ,847 ,53 ,3 归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数 （2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？ 观察: 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无 理数 结论： _______和_______统称为实数 你能举出一些无理数吗？ 试一试把实数分类 、 像有理数一样，无理数也有正负之分。 π是____无理数，π-是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也 可以这样分类： 二、实数与数轴 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ （1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 235 实数的运算 【教学目标】 一、知识目标 1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。 2．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算。 3．正确运用公式： );0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a 。 4．了解二次根式和最简二次根式的概念。 二、能力目标 1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的研究精神和创新能力。 2．能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。 三、情感目标 通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。 时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题。其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养。 这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务。 【教学重难点】 1．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算。 2．发现规律：);0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a ，并能用规律进行计算。 【教学过程】 一、师生互动 （一）二次根式的理解 (0a ≥)的式子叫做二次根式。 说明： 1．被开方数大于0； 2(0a ≥)具有非负数的特性。 3．性质：一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根，于是有)0()(2≥=a a a 。 练习： 1．若x 23-有意义，则=x ______； 2．要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（ ） A ．x ≥1； B ．x ≤1； C ．x>1； D ．x<1 3．计算： （1）2)5 3(； （2）2)32(； 答案： 1．2 3≤x ； 2．A ； 3．解： （1）5 3)53(2=； （2）1234)3(2)32(222=?=?=。 （二）师生共析 在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。 关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。 比较实数大小的八种方法 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画 出来,容易得到结论: 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b 有: 例6 比较与的大小。 析解:设, 《实数》复习课教案 一、教学目标 1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根； 2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算； 3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义； 4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算． 二、教学重难点 1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 2．算术平方根的意义及实数的性质． 三、教学准备 课件、计算器． 四、教学过程 一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结） 师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点． 生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系． 开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是： ()????????→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算 ________ 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？ 生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的： ???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立 方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结． 生：我们是这样总结的： 1．分类 ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0 2．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的． 师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示． 二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解） 1．求下列各数的平方根： （1）972；（2）25；（3）2 52?? ? ??-． 师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根． 生：（1）是求9 25的平方根； 实数的运算 一、目标： 理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式. 二、 重点、难点： 掌握实数的运算法则及用实数的运算法则进行简单的计算. 三、预学 1．复习 实数的运算法则和运算性质及顺序. 2．讨论 232,323,232?++以上算式有什么特征？计算的结果是什么？ 学习单 1.不用计算器，计算： ;646362)1(-+ ;522225)2(÷?÷ ;)5 25(5) 3(- ;125)13()5)(4(322+- 2.不用计算器，计算： (1))63)(63(-+; (2)2 )223(+; (3);)32()2(2 3?+ (4) ;)10()4 1 (22+-- (5)205)1 31(1?+--; (6) 02)12()23(-+-; (7) 22)15()15(--+ （8）2 222)5()3()3()6(-----+; 实数的运算巩固练习 班级 姓名 评价 1、不用计算器，计算：（5.5分?16=88分） （1）22272523--+ （2）32 5 341345323++- （3）1523356?- （4）3102310÷÷? （5）( )1515265÷-? （6）()( ) 2 2 5210?+ （7）( ) 2 12+ （8） ( )( ) 2 2 1313-- + （9）36001.010*******++-- （10）33233410101010---+- （11）5353 ???? ? ?? （12）( ) () 322122 ++- （13）40×10 （14）5125÷ （15）()( ) 2 2 315315+- （16） ()( ) 2 5252-+- 2、如图，在一个边长为()232+的正方形内部，挖去一个长为( )15+，宽为 ( ) 15-的长方形，求剩 余部分的面积。（10分） 3、请你思考下列计算过程，因为,121112=所以11121=；因为,123211112 =所以11112321=， 由此猜想：____________76543211234567898=（2分） 初中七年级数学“实数”单元教学设计 课题：第六章“实数”单元教学设计 教材版本：人教版数学教科书 教学年级：七年级（下册） 一．教材分析 本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识 一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、 减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行 开立方运算。 在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运 算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。同时，在理论的 运算中也常用开方运算，故务必要学好。 二．学情分析 本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实 数等内容。在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数 的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习 有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信 心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。 三．教学目标 （一）知识与技能 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、 平方根、立方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立 方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数 的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进 行简单的实数运算。 2.6 实数 第一环节：复习引入新课 内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？ （2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。 效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式，也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。 第二环节：实数概念和分类 内容1：把下列各数分别填入相应的集合内： 3 2，41，7， ，25 - ，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773…… （相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 知识整理：有理数和无理数统称为实数。 意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。 效果：学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。 内容 2：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？ 有理数集合 无理数集合 2．0属于正数吗？0属于负数吗？ 知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。 1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即： ?????负实数正实数实数0 2．另外从实数的概念也可以进行如下分类： ?? ?无理数有理数实数 意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。 效果：让学生讨论回答，形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。 第三环节：实数的相关概念 内容1：1．在有理数中，数a 的相反数是什么？绝对值是什么？当a 不为0时，它的倒数是什么？ 2．2的相反数是什么？3 5的倒数是什么？3，0，—π的绝对值 分别是什么？ 意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。 效果：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义。 正数集合 负数集合初中数学中实数的知识教案.
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