(完整版)2020年全国硕士研究生招生考试数一试题

2020年全国硕士研究生招生考试

数学（一）

（科目代码：301）

考生注意事项

1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；

在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。

3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一、选择題(1?8小题，毎小趣4分，共32分,下列毎題给出的四个选项中只有」个选项圧符合要求的?) l.^x “户时，下列无穷小虽屮最高阶的是 2?设函数念)在区间(J 1)冇定义,RUm/(x)=O 则 A ：当Um 翌=0时J(z)在爼=0处可9 一 o VW 3:当lim 埠=()时JS)在z = ()处可导 一()x C:当人①)在为=0处可导时Jim-4^ =0

八。vkl

0:当/(a?)在0 = 0 处可导时= 0

*-?0 x

4?设A 为幕级数f a 占的收敛半径机实数，则

n —1 4：刀发散时,|r| MR H = 1 C:\r\ MR 时,发散

n= 1

5?若矩阵/!经初等列变换化成弘则 4：存在矩阵B 使得PA=B C ：存在矩阵只使得PB = A

6?已知亢线"三二旦=屮=二与血线S ：匸也=￥ a 】

Ci

5 加 Bg 可dlai f a 3线性农示

D:a n a 2?a3线性无关

7.ABC 为*个随机那件H

P(A) = P(B) = P(C) = j,P(A3) = 0,P(4C) = P(BC)=吉，

则A,ti,c 中恰右一个事件发生的概率为

() 4 3 a 2 1 八 5 A ：1 B ：3 C ：

2

P ：

12 8 ?

设x,x 21-,x l00为来门总体x 的简单随?机样木庶中p (x ?o )=P (X = 1)=書e(H)衣示标准止态分布换数，则

A ：

￡(/一1)衣 B: ] S (1 亠 V^)血

广m

C: I sint 2

dt

3?/(陀)在(0,0)可微J(0,0) =0>n= (//，A\ -DI (0.0)非零向Main,则 A: lim 1“ * (:?叮号))存在

(?.y) ?(O,O) y X 2 4- J/2 C: lim 心(駕?/(響)1存在

D go) y 4° y 2

B: Um MX 平汀(严))|存在

5.)? (o.o)

v z 2 + j/2

D:

lim

D UO.O)

存在

()

8

B ：刀％宀收敛时,ki WR n = 1

8

D:|r|令乩刀①丿“收敛

n= 1

()

〃:存在矩阵八使得BP = A D ：方程组4r = 0与Br = O 同解

/1：6可由5,8线性农示 C ：m 可山5,5线性农示

利用中心极限定理可得片壬X 、

W 55的近似值为

/1：1 -0(1)

C:1 -0(0.2)

()

D:C(0?2)

Z

~

C ：i

相交F 一点,记向tta.

二 填空題（9?14小題,每小题4分，共24分） 9?忸任T -詁￡ =—

x = y/t 2 -￥1 j/ = ln(t + \/t 2

4-1)?

12 ?设函数=

三、解答题（15?23小题，共94分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分10分）

求函数/（禺y ）=卅+ 8泸一列/的极值 16 ?（本题满分10分） 计算曲线积分/

+总轸加其中E 是* + "2 = 2,方向为逆时针力向.

=卜+訥,证明:当崗VI 时，慕级数￡获”收敛,并求其和函数

W = ?

18 ?（本題满分10分）

设为为曲面z = 尹7（】w 护斗/ w 4）的下侧为连续函数，计算

I = jj [xf （xy'） +2x — y] dydz 4- [yf （xy ） + 2“ + x]dzdx + [zf （xy ） + z]dxdy

￡

19. （本题满分10分）

设函数/（町在区间[0,2]上具有连续导数?/（0）=/（2）=0,M= max |/（?儿证明：

x? |0.2] ⑴存在凸（0,2）,使得|f （Q| NM;

（2）若对于任意応（0,2）,『（可|W M,则M = 0 20. （本題满分11分）

设二次型/g ）=宀S +如2经过正交变换（；；） =Q’；）化为二次型g&,J/2）=卯+如2 +助2?,其中 a^b. ⑴求aM 的值 （2）求正交矩阵Q 21. (木题満分11分)

设虫为一阶矩阵f = (a,Aa),K 中a 足菲零向虽,II 不足71的特征向St ⑴证明:P 是可逆矩阵;

⑵若才乙+加一6°=0,求PSP,并判断4是否相似丁?对和矩阵.

10 ?设

则制丁

11?若函数/(?)满足厂(切 +af(x) +/(x) =0(a>0),且/(0) =m/(0) =n,

则/ *8

f(x)dx = _______

13彳亍列式

a 0

0 a

-1 1 1 -1

-1 1 a 0 1 -1 0 a

14?设X 服从区间-守迈 壬上的均匀分/u\y=smx,则cw （x,y ）=

17 ?（本题满分10分） 设数列仏｝满足血=1血+叽】

22.(本题満分11分)

设随机变@：X1}X2,X3ffi互独^,K'PX1,J X2均服从标准正态分布的概率分布为P(X3 = O) =P(X3 = 1) = i Y = X3X1-^- (1-X3)X2.

(1)求二维随机变虽(Xi,y)的分布函数，结果用标准正态分你函数?3)衣示

(2)证明:随机变凰Y服从标准正态分布.

23.(木题满分11分)

设某种原件的使用寿命T的分布旳数为

F(￡)= J1-H), t>0

1(), 其他

其屮为参数且大于零.

(1)求槪率P(T>0 与P(T>a + t|T>a),其中s>0,t>0;

(2)任欣n个这种尤件做寿命试脸，测得他们的寿命分别为g,仏…,仁,若mil知,求0的最人似然估计值X