专题08 一元一次方程及其应用(解析版)

专题08 一元一次方程及其应用

一、方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

整式：单项式和多项式统称整式。

等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

二、一元一次方程的概念

1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．

三、一元一次方程的解法

1.方程的同解原理（等式的基本性质）

性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

注意：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

2.解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。

（2）去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。

（3）移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。

（4）合并同类项。把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。（5）系数化为1。在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

说明：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

四、列一元一次方程解应用题

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 （4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系

（1）行程问题：距离=速度·时间 （2）工程问题：工作量=工效·工时 （3）比率问题：部分=全体·比率

（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 （5）商品价格问题：售价=定价·折·

10

1

，利润=售价-成本，%100?-=成本成本售价利润率

（6）周长、面积、体积问题： C 圆=2πR ，C 长方形=2(a+b)，C 正方形=4a ，

S 圆=πR 2

，S 长方形=ab ， S 正方形=a 2

，S 环形=π(R 2

-r 2

),

V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3

1πR 2

h.

【例题1】（2020?重庆）解一元一次方程1

2（x +1）＝1?1

3x 时，去分母正确的是（ ）

A ．3（x +1）＝1﹣2x

B ．2（x +1）＝1﹣3x

C ．2（x +1）＝6﹣3x

D ．3（x +1）＝6﹣2x

【答案】D

【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【解析】方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ， 【对点练习】解方程： （1）4﹣x=3（2﹣x ）； （2）

．

【答案】见解析。

【解析】（1）去括号得：4﹣x=6﹣3x ， 移项得：﹣x+3x=6﹣4， 合并得：2x=2， 系数化为1得：x=1．

（2）去分母得：5（x ﹣1）﹣2（x+1）=2， 去括号得：5x ﹣5﹣2x ﹣2=2， 移项得：5x ﹣2x=2+5+2， 合并得：3x=9， 系数化1得：x=3．

【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以，注意移项时正负号的变化。

【例题2】（2020?杭州）以下是圆圆解方程x+12

?x?33

=1的解答过程．

解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1． 去括号，得3x +1﹣2x +3＝1． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【答案】见解析。

【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下：

去分母，得：3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6． 去括号，得3x +3﹣2x +6＝6． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．

【对点练习】（2019湖南湘西）若关于x 的方程3x ﹣kx +2＝0的解为2，则k 的值为 ． 【答案】4

【解析】考查一元一次方程的解 ∵关于x 的方程3x ﹣kx +2＝0的解为2， ∴3×2﹣2k +2＝0， 解得：k ＝4．

【点拨】将解带入方程，得到含有k 的方程，再解这个方程即可。

【例题3】（2020?内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程 是（ ）

A ．12

x ＝（x ﹣5）﹣5 B ．12

x ＝（x +5）+5 C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5 D ．2x ＝（x +5）+5

【答案】A

【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，

依题意，得：12

x ＝（x ﹣5）﹣5．

【对点练习】（2019?襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（ ） A ．5x ﹣45＝7x ﹣3

B ．5x +45＝7x +3

C ．

＝

D ．

＝

【答案】B

【解析】设合伙人数为x 人， 依题意，得：5x +45＝7x +3．

【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。

【例题4】（2019?湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【答案】（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步． （2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。

由题意得

x：600＝100：60

∴x＝1000

∴1000﹣600﹣100＝300

所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

由题意得

y＝200+y

∴y＝500

所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【对点练习】（2019?湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

【答案】见解析。

【解析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；

由题意，得x+（600+x）＝1200,解得x＝300．

则600+x＝900．

所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。

（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答．

由题意，得y≤（300﹣y）．

解得y≤75．

故休闲小广场总面积最多为75亩．

所以休闲小广场总面积最多为75亩．

【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答是正确思路。

一、选择题

1．（2020?金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（）

A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2

C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2

【答案】D

【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．

【解析】设“□”内数字为x，根据题意可得：

3×（20+x）+5＝10x+2．

2.（2019?贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

【答案】A

【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．

根据题意可得：2m﹣1＝m+1，

解得：m＝2

3.（2019?杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）

A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72

【答案】D．

【解析】设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

4．（2020湖南长沙模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）

A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x

【答案】C

【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得

1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确。

5．（2020?衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝．

【答案】1

【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．

【解答】解；将方程移项得，

2x＝2，

系数化为1得，

x＝1．

6．（2020?株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝．

【答案】4

【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．

【解析】方程3x﹣8＝x，

移项，得3x﹣x＝8，

合并同类项，得2x＝8．

解得x＝4．

7．（2020?武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．

原价：元

暑假八折优惠，现价：160元

【答案】200

【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可

【解析】设广告牌上的原价为x元，

依题意，得：0.8x＝160，

解得：x＝200．

8.（2019?张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步．

【答案】12

【解析】设长为x步，宽为（60﹣x）步，

x（60﹣x）＝864，

解得，x1＝36，x2＝24（舍去），

∴当x＝36时，60﹣x＝24，

∴长比宽多：36﹣24＝12（步）

9.方程﹣（1﹣2x）=（3x+1）的解为___________.

【答案】x=﹣．

【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解

﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）

﹣7+14x=18x+6

﹣4x=13

x=﹣．

10.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．

【答案】2000

【解析】一元一次方程的应用。

设这种商品的进价是x元，

由题意，得（1+40%）x×0.8＝2240．

解得x＝2000

11.（2019?贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．

【答案】2000

【解析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．

由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．

解得：x＝2000

12.（2019?湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为．

【答案】4

【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，

∴3×2﹣2k+2＝0，

解得：k＝4．

三、解答题

13.解方程：

【答案】x=

【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解

左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），

化简可得：3x+3=8x﹣8，

移项可得：5x=11，

解可得x=．

故原方程的解为x=

14．解方程

（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；

（2）x﹣=2﹣．

【答案】见解析。

【解析】（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10

移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10

合并得：2x=54

系数化为1得：x=27；

（2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）

去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4

移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3

合并得：5x=5

系数化为1得：x=1．

15．（2020?攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 【答案】见解析。

【分析】设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．

【解析】设这些学生共有x 人， 根据题意得x

6?

x 8

=2，

解得x ＝48．

答：这些学生共有48人．

16．（2020?凉山州）解方程：x ?x?22=1+2x?1

3

． 【答案】见解析。

【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x ﹣3（x ﹣2）＝6+2（2x ﹣1）， 去括号，得：6x ﹣3x +6＝6+4x ﹣2， 移项，得：6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x ＝﹣2， 系数化为1，得：x ＝2．

17.（2019?甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

【答案】共有39人，15辆车．

【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

根据题意得：+2＝，

去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，

∴＝15，

则共有39人，15辆车．

18.(2019安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．

由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

所以甲乙两个工程队还需联合工作10天．

．