2020版新高考二轮复习理科数学专项小测18 “17～19题”+“二选一”+Word版含解析

专项小测(十八) “17～19题”＋“二选一”

时间：45分钟 满分：46分

17．(12分)

已知数列{a n }满足a n ≠0，且3a n －3a n ＋1＝a n a n ＋1，等比数列{b n }中，b 2＝a 1，b 4＝3，b 6＝9.

(1)证明：数列????

??

1a n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式．

(2)求数列{a n a n ＋1}的前n 项和S n .

解：(1)因为a n ≠0，且3a n －3a n ＋1＝a n a n ＋1，所以等号两边同时除

以3a n a n ＋1，得1

a n ＋1－1a n

＝13，所以数列??????1a n 是公差为13的等差数列．

(2分)

因为{b n }是等比数列，所以b 2b 6＝b 24， 又b 4＝3，b 6＝9，所以9b 2＝9，所以b 2＝1，

(4分)

所以a 1＝b 2＝1，故1a n ＝1a 1＋13(n －1)＝1＋13(n －1)＝n ＋23，a n ＝3

n ＋2.

(6分) (2)由(1)知a n a n ＋1＝9(n ＋2)(n ＋3)＝9? ?????1n ＋2－1n ＋3， (8分)

所以S n ＝9? ?????

13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3 ＝9? ?????13－1n ＋3＝3n

n ＋3

. (12分)

18．(12分)

如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43

3的菱形，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，

FB ＝FC ，EF ＝23

3.

(1)求证：OE ⊥平面ABCD ；

(2)若△FBC 为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q －BC －A 的余弦值．

解：(1)证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE . 因为FB ＝FC ，所以FH ⊥BC .

因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，FH ?平面FBC ，

所以FH ⊥平面ABCD .

(2分)

因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点， 所以OH ∥AB 且OH ＝12AB ＝23

3.

(4分) 又因为EF ∥AB ，EF ＝23

3，所以EF 綊OH ， 所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以OE ∥FH ，所以OE ⊥平面ABCD .

(6分) (2)因为菱形ABCD ，所以OA ＝OC ＝OE ＝FH ＝2，

所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．

则A (2,0,0)，B ? ??

??

0，233，0，C (－2,0,0)，E (0,0,2)， 所以Q (1,0,1)，

BC →＝?

????－2，－

233，0， CQ

→＝(3,0,1)． (8分)

设平面BCQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由??? BC →·m ＝0

CQ →·m ＝0得?????

－2x －233y ＝0，

3x ＋z ＝0，

取x ＝1，则y ＝－3，z ＝

－3

可得m ＝(1，－3，－3)，

平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)．

(10分)

设二面角Q －BC －A 的平面角为θ，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n

|m ||n |＝

－3

1×1＋3＋9

＝－31313.

因为二面角Q －BC －A 的平面角为锐角，所以cos θ＝313

13， 所以二面角Q －BC －A 的余弦值为313

13. (12分)

19．(12分)

某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：

年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长多少？(结果保留两位小数)

(2)现从2012年—2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2(万元)的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．

参考公式：

b ^＝∑n

i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1

(x i －x )2＝∑n

i ＝1x i y i －nx —y

—

∑n

i ＝

1

x 2i －n x 2

，a ^＝y －b ^

x ， 参考数据：∑7

i ＝1

x i y i ＝359.6，∑7

i ＝

1

x 2

i ＝259. 解：(1)x ＝1

7×(4.5＋5.5＋5＋6＋6.5＋7＋7.5)＝6， y ＝1

7×(6＋7＋7.4＋8.1＋8.9＋9.6＋11.1)＝8.3， 7x y ＝348.6， b ^＝∑7

i ＝1x i y i －7x —y

—

∑7

i ＝1x 2i －7x 2＝359.6－348.6259－7×36

＝117≈1.571，

a

^＝y －b ^x ＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13， 那么回归直线方程为y ^＝1.57x －1.13， (2分) 将x ＝8代入方程得y ^＝1.57×8－1.13＝11.43，

(4分)

即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. (6分)

(2)由题意可知，

ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 2C 5C 37＝17，P (ξ＝2)＝C 2C 5

C 37

＝47，P (ξ

＝3)＝C 3

5C 37

＝2

7，(8分)

则分布列为

(10分)

E (ξ)＝1×17＋2×47＋3×27＝15

7.(12分)

(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为???

??

x ＝2＋2cos α，

y ＝2sin α

(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB ＝π

3，求ΔOAB 面积的最大值．

解：(1)消去参数α，得到曲线C 的普通方程为 (x －2)2＋y 2＝4，

故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (5分)

(2)在极坐标系中，不妨设A (ρ1，θ0) ，

B ? ????ρ2，θ0＋π3，其中ρ1＞0，ρ2＞0，－π2<θ0<π

2. 由(1)知ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos ?

?

?

??θ0＋π3，

所以△OAB 面积

S ＝12ρ1ρ2sin π

3＝43cos θ0cos ? ??

??θ0＋π3，

所以S ＝23cos 2θ0－6sin θ0cos θ0＝3(1＋cos2θ0)－3sin2θ0＝23cos ?

?

?

??2θ0＋π3＋ 3.

当2θ0＋π3＝0时，即θ0＝－π

6，cos ?

??

??2θ0＋π3 有最大值1，此时S max

＝33，

故△OAB 面积的最大值为3 3. (10分)

23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2. (1)求证：2a ＋1＋2b ＋1≤23；

(2)若对任意正实数a ，b ，不等式|x ＋1|－|x －3|≥ab 恒成立，求实数x 的取值范围．

解：(1)(

2a ＋1＋2b ＋1)2＝2(a ＋b )＋2＋2

2a ＋1·2b ＋1≤6

＋2(a ＋b )＋2＝12，

所以

2a ＋1＋

2b ＋1≤2 3.

(5分)

(2)对正实数a ，b 有a ＋b ≥2ab ，所以2ab ≤2，解得ab ≤1，当且仅当a ＝b 时等号成立．

因为对任意正实数a ，b ，|x ＋1|－|x －3|≥ab 恒成立， 所以|x ＋1|－|x －3|≥1恒成立．

当x ≤－1时，不等式化为－x －1－(3－x )≥1，

整理得－4≥1，不等式无解；

当－1

2≤x <3；

当x ≥3时，不等式化为x ＋1－(x －3)≥1，整理得4≥1，不等式恒成立．

综上可得x 的取值范围是????

??

32，＋∞.

(10分)