2015年高考新课标全国二卷数学理科(word版)(已排版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 （1）已知集合{}21012A =--，，，，，{}|(1)(2)0B x x x =-+<，则A B =

（A ）{-1，0} （B ）{0，1} （C ）{-1，0，1} （D ）{0，1，2} （2）若a 为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i ，则a= （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是

（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B ）2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效 （C ）2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势

（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（4）已知等比数列{}n a 满足13a =，12321a a a ++=，则357a a a ++= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84

（5）设函数21

1log (2),1,()2,1x x x f x x -+-

则2(2)(log 12)f f -+= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A

）18（

B

）17（C ）16（D ）15

（7）过三点A （1，3），B （4，2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=

（A ） （B ）8 （C ） （D ）10 （8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著

《九章算法》中德“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b ，分别为14，18，则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）14

（9）已知A ，B 是O 的球面上两点，90AOB ∠= ，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC

体积的最大值为36，则球O 的表面积为

（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π

（10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=。将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)的图像大致为

（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ?为等腰三角形，且顶角为120 ，则E 的离心率为

（A

（B ）2 （C

） （D

（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)()R x ∈的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf’(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是

（A ）(1)(01)-∞- ，，（B ）(-10)(1)+∞ ，， （C ）(1)(-10)-∞- ，，（D ）(01)(1)+∞ ，，

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和旋考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、 填空题：本大题共4小题。每小题5分

（13）设向量a ，b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ=________.

（14）若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

则z=x+y 的最大值为_________.

（15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_______. （16）设n S 的数列{}n a 的前n 项和，且1+1n n n a S S +=，则n S =_________.

三、解答题：解答应写出文字部分解题过程和演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍， （Ⅰ）求sin sin B C ∠∠； （Ⅱ）若AD=1，

BD 和AC 的长。

（18）（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平绝值机分散成都（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

的评价结果相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求

C 的概率。

（19）（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD-1111A B C D 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，11A E D F ==4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方体。 （Ⅰ）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值。 20．（本小题满分12分）

已知椭圆C ：222

9(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个

交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（2）若l 过点(,)

3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？

若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

（21）（本小题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-

（Ⅰ）证明：f(x)在(0)-∞，单调递减，在(0)+∞，单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12[11]x x ∈-，，，都有12(()1f x f x e ≤-)-，求m 的取值范围。

D

D 1

C 1

A 1 E

F

A B

C

B 1

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，O 与ABC ?的底边BC 交与点M ，N 两点，与底边上的高AD 交与点G ，且与AB ，AC 分别相切于点E ，F 两点。 （Ⅰ）证明：EF//BC ；

（Ⅱ）若AG 等于O

的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x0y 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=??=?，

，（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<.在意O

为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，设曲线2:2sin C ρθ=

，3:C ρθ=。 （Ⅰ）求C 1与C 2交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： （Ⅰ）若ab>cd

>

>|a-b|<|c-d|的充要条件。

G

A

E

F

O

N

D

B C M

参考答案

一、选择题 1——5ABDBC,6-----10DCBCB,11D,12A

二、填空题13：12 14：32 15：3 16：1

n

-

三、解答题 17.

(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ??=

，所以BD =ABD ?和ADC ?中，由余弦定理得

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠，222

2cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．

18.（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

2B C 表示事件：

“B 地区用户满意度等级为满意”． 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．

1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．

由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为

1620，420，1020，820．故1()A P C 16

=20

， 2()=

A P C 420，1()=

B P

C 1020，2()B P C 8=20，故101684

()=+0.4820202020

P C ??=． 19. （Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．

于是6MH ==，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA

的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，

(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =

， (0,6,8)HE =- ．设(,,)n x y z =

是平面EHGF

的法向量，则0,0,n FE n HE ??=???=??

即100,

680,

x y z =??-+=? 所以可取(0,4,3)n = ．又(10,4,8)AF =-

，

故cos ,15n AF n AF n AF

?<>==

? ． 所以直线AF 与平面α

所成角的正弦值为

15

．

A 地区

B 地区

4

5 6 7 8 9

6 8

1 3 6 4 3

2 4 5 5 6 4 2

3 3

4 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 6

5 1

1 3

7 5 5 2

20. (Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．

将y kx b =+代入2229x y m +=得2222

(9)20k x kbx b m +++-=，故12229

M x x kb

x k +=

=-+， 2

99M M b y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9

M OM M y k x k

==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(

,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,

y x k x y m ?=-???+=?

得222

2

981P k m x k =+，

即P x =

．将点(

,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)

3m k b -=，因此2(3)3(9)

M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =

=

2

(3)

23(9)

mk k k -?

+

．解得14k =

24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率

为4

4OAPB 为平行四边形．

22. （Ⅰ）由于ABC ?是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分

别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以

030OAE ∠=．所以ABC ?和AEF ?都是等边三角形．

因为AE =所以4AO =，2OE =． 因为2OM OE ==

，12DM MN ==1OD =．于是5AD =

，3

AB =．所以四边

形EBCF

的面积

221122?-?= 21.

23. （Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程

为

22

0x y +-=．

联立222

2

20,0,

x y y x y ?+-=??+-=??解得0,0,x y =??=?

或23,2

x y ?

=????=??

所以2C 与1

C 交点的直角

坐标为(0,0)

和3

(

)22

．

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B

的极坐标为,)αα

．所以2sin AB αα

=-4in()3

s π

α=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．