物理奥赛第一讲数学基础

全国物理奥赛与自主招生培训课程

第一讲——数学基础知识

主讲人：姚桂元

内部资料

1、数学近似：

（1）当0→θ，即θ很小时，（θ取弧度单位）

①0sin ≈≈θθ ②1cos ≈θ ③0sin tan ≈≈≈θθθ。 （2）泰勒级数展开

+?--±-+

±=±3

22

3)2)(1(2)1(1)1(x n n n x n n nx x n 其中，n 取任意实数。 特别地，当1<

nx x n ±≈±1)1(

例题：2

/3)(x a k

y +=

，a x <<。

解：)231()1()1(2/32/32/32

/32

/3a

x a k a x a k a

x a

k y -≈+=

+=

-

2、矢量的合成

矢量和21F F F +=?矢量差12F F F -=?021=--F F F

，如下图所示：

进一步推广，例题：

解：0=+-++-f e d c b a

巡行方向

a

b

c

d

e f

1

2

?

3、求和表示法

（1）∑=

++++n

i

n a

a a a a 1

321

（2）∑∑=++++==

++++n

i n n

i

n a k a a a a

k ka ka ka ka ka 1

321

1

321)(

（3）∑∑∑-=-=++++-++++n

i i

n i

n i

n n b a

b a b b b b a a a a 1

1

1

321321)()(

4、数列求和n S （1）基本数列求和 ①等差数列：

n a a a a ，，，，?321 其中：n 为项数，d a a i i =-+1定值——公差，则

2

)

(1321n n n a a n a a a a S +=+?+++= 若11

1==d a ，，则 2

)

1(321+=

+?+++=n n n S n

②等比数列：

n a a a a ，，，，?321 其中：n 为项数，

q a a i

i =+1

定值——公比，则 q

q a a a a a S n n n --=+?+++=1)

1(1321

若1

q

a a a a a S n n -=

+?+++=11

321

（2）特殊数列求和n S

①)1(2

1

321+=

+?+++n n n ②)12)(1(61

3212222++=+?+++n n n n

③223333)1(4

1

321+=+?+++n n n

5、三角函数关系、正余弦定理