全国建模竞赛一等奖高校硕士研究生招生指标分配问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

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2. 刘小均

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日期： 2012年 9 月 10 日

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高校硕士研究生招生指标分配问题

摘要

在研究生教育规模化趋势下，各高校对研究生的指标分配也呈现出多元化，高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。作为全日制硕士研究生招生工作的首要环节，招生指标分配的合理性和科学性对我国教育制度的完善具有重要意义。本文基于统计中的相关分析理论，针对学科情况、科研情况、国家政策等因素对招生指标分配方案进行了调整，希望为研究生指标分配提供科学的参考依据。

针对问题一，主要是缺失数据的补充，利用已知数据选取合理的方法，建立理想的数学模型。根据对数据的细致分析，选择了距离判别分析法，建立模型将

级别的相关关系，本文通过Excel作图，直观地反映了招生人数和科研经费等各因素在不同年份的数值与岗位级别之间的关系，得出申请专利数和获奖数与岗位级别相关性较小，其余因素与岗位级别有较大相关性。

针对问题三，首先要确定2012年硕士研究生招生总人数，根据2007-2011前五年的数据，建立灰色预测模型，预测出总人数。通过层次分析法确立的数学模型确定各岗位级别的权重，根据权重得出相应总人数。引入相对权重的概念，将各学科各岗位的权重确定，得到2012年招生名额分配的具体分配方案表。

针对问题四，结合各学科从2007到2011研究生指标分配名额趋势，从学科的特点和学科发展的需要出发，分析出A,E,I,J,K学科是重点建设和发展的学科，B,C,D,F,G学科属于基础保持学科，而学科H虽然指标虽增长量很大，但波动性很大，因此在2012年各学科在分配指标的权重上有所差异。分别采取了线性拟合和时间序列不同的分析法，得出了调整方案。

针对问题五，前面的分配方案中，对研究生指标分配的因素还不够充分，仍具有一定的局限性，为使分配方案更科学、更合理。通过招生计划的探讨，以及分配现状的分析，提出了从学校的学科特色、硕士研究生生源数量出发，提出采用基于加速遗传算法(AGA)的PP法，提取评价指标样本集的分类信息来确定各评价指标的分类权重，解决硕士研究生招生计划编制中名额分配问题，实现研究生招生计划的科学分配以及研究生资源的优化配置。

关键词：判别分析层次分析主成分分析 GM(1,1)模型

一、问题重述

1.1问题的背景

高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。研究生指标分配是指招生单位的教育部门或有关工作人员采取适当的手段，对各院系及其学科招生人数进行合理配置、协调和控制等活动。在招生及分配过程中，必须对招生单位培养能力、师资力量、科研水平等各影响因素总和均衡，由于主观因素发挥较大作用，因此在指标分配过程中具有很好的可操作性，显然这种方法过于片面，缺乏科学、合理的判断依据，很难保证招生指标分配和人才培养的之类的协调发展。特别在2011年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为学术型和专业型两类。这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。而我国在研究生招生指标分配方面至今还没有一套科学、合理的分配方法。因此，通过根据数据建立数学模型对研究生招生指标进行分类，得出各指标之间的统计规律，并结合更多参考因素提出更加合理的分配方案，具有更加强烈的社会需求，成为各高校分配指标面临的一个实际问题。

1.2问题的提出

1. 由于统计数据的缺失，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的数据不完整，请你用数学模型的方法将这些缺失的数据补充完整。

2. 以前的硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配。请你以岗位级别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释。

3. 根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到岗位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对2012年的名额进行预分配。

4. 如果在研究生招生指标分配当中，考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差异分配，请你设计调整方案，并用你的方案给出2012年的调整方案。

5. 如果想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以完成你的方案？请阐述你的思想。

二、模型假设

（一）模型的假设

1、所有指标准确反映了该高校各个学科的真实招生能力；

2、每位专家给出的评价权重是客观的；

3、分配给各个学科的招生名额方案只与所计算出来的权重有关

三、符号说明

四、问题分析

4.1问题一的分析

标，选取了判别分析法，通过已知样本的岗位级别判断缺失数据的样本的岗位级别，由考虑量纲，引入马氏距离。经主成分分析降维，减少指标数量，编程求解出缺失数据。

4.2问题二的分析

由于历年硕士研究生名额都是以导师岗位级别进行分配，由影响分配的有招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量等因素，因此可以通过Excel 作曲线图，分析各因素在不同年份的数值与各岗位级别之间的关系。从而得出各岗位与各因素之间的统计规律，并结合相关统计规律的知识对得出的统计规律进行解释和分析。

4.3问题三的分析

运用灰色预测理论中的(1,1)GM 模型预测出2012招生名额，而研究生招生名额分配的新方案需要既兼顾到岗位又能兼顾到其他因素，属于多因素影响的决策问题，因此可利用层次分析法建立模型，求解出各个因素对最终名额分配的权重，进而根据权重来决定招生名额分配的新方案。通过综合权重来确定各学科各岗位的研究生分配名额。

4.4问题四的分析

与问题三不同，问题四从学科的特点和学科发展的需要入手，需要进行差异分配。因此要对前五年的各学科各岗位的数据进行分析与预测，分析出重点建设和发展

符号 定义

ij a

CR

层次总排序随机一致性比率 CI 一致性指标

RI 随机一致性指标

λ 判断矩阵的最大特征根

n 判断矩阵的阶数

ω

权向量 ij P

第i 各学科j 等级的教师在整个研究生名额分配中的权重 i a

i 学科在研究生名额分配中的权重 ij x 第i 学科j 等级教师的人数

j ω

j 等级教师所占权重

的学科和基础保持学科，以及这几年的发展趋势。运用线性拟合与时间序列等不同预测方法，综合给出2012年的调整方案

4.5问题五的分析

问题三、四中对对研究生指标分配的因素还不够充分，得出的分配方案具有一定的局限性，因此要加入了一些其他影响研究生指标分配的因素，使分配方案更科学、更合理，采用更合理的方法提高硕士研究生的生源质量，适应社会主义市场经济对各种高素质人才的需求。

五、模型的建立与求解

5.1问题一

5.1.1概念的引入

判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行分类．

准则的不同，判别方法又分为距离判别法，Ｆisher 判别法，Ｂayes 判别法和逐步判别法．

距离判别分析方法是判别样品所属类别的一应用性很强的多因素决策方法，根据已掌握的、历史上每个类别的若干样本数据信息，总结出客观事物分类的规律性，建立判别准则，当遇到新的样本点，只需根据总结得出的判别公式和判别准则，就能判别该样本点所属的类别。

距离判别分析的基本思想是：样本和哪个总体的距离最近，就判它属于哪个总体。利用已知类别的样本培训模型，为未知样本判别一种统计方法。

马氏距离是由印度学家马哈拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的，即独立于测量尺度。

设12(,,,)'m x x x x =L 和12(,,,)'m y y y y =L 从期望12(,,)m μμμμ=L 和方差阵()0ij m m δ?=>∑的总体G 抽得的两个观测值，则称x 与y 之间的马氏距离

21(,)()'()d x y x y x y -==--∑

样本x 和G 类之间的马氏距离定义为x 与G 类重心间的距离：

21(,)()'()i i i d x G x x μμ-=--∑1,2,,i k =L

马氏距离有如下的特点：

1、马氏距离不受计量单位的影响;

2、马氏距离是标准化后的变量的欧式距离

3、若变量之间是相互无关的，则协方差矩阵为对角矩阵

多总体的距离判别法

随着计算机计算能力的增强和计算机的普及，距离判别法的判别函数也在逐步改进，一种等价的距离判别为：

有个K 总体，分别有均值向量μi (i=1,2,…,k)和协方差阵Σi = Σ，各总体

出现的先验概率相等。又设Y 是一个待判样品。则与的距离为（即判别函数）

21(,)()'()i i i d y G y y μμ-==--∑

111'2''i i i y y y μμμ---=-+∑∑∑

上式中的第一项Y ’ Σ-1Y 与i 无关，则舍去，得一个等价的函数

11()2'''i i i i g Y y μμμ--=-+∑∑

将上式中提-2，得

11()2('0.5'')i i i i g Y y μμμ--=-+∑∑

则距离判别法的判别函数为：

令11()('0.5'')i i i i f Y y μμμ--=+∑∑

判别规则为1()max ()l i i k

f Y f x ≤≤=，则l y G ∈ 从概率论的角度看，可把判别问题归结为如下模型。设共有n 个总体：

1,2n ξξξL

其中i ξ是m 维随机变量，其分布函数为

1(,,),1,2,,i m F x x i n =L L

而1(,,)m x x L 是表征总体特性的m 个随机变量的取值。在判别分析中称这m 个变量为判别因子。现有一个新的样本点1(,,)T m x x x =L ，要判断此样本点属于哪一个总体。

Matlab 的统计工具箱提供了判别函数classify 。

函数的调用格式为：

[CLASS,ERR] = CLASSIFY(SAMPLE,TRAINING,GROUP, TYPE)

其中SAMPLE 为未知待分类的样本矩阵，TRAINING 为已知分类的样本矩阵，它们有相同的列数m ，设待分类的样本点的个数，即SAMPLE 的行数为s ，已知样本点的个数，即TRAINING 的行数为t ，则GROUP 为t 维列向量，若TRAINING 的第i 行属于总体i ξ，则GROUP 对应位置的元素可以记为i ，TYPE 为分类方法，缺省值为'linear'，即线性分类，

TYPE 还可取值'quadratic'，'mahalanobis'（mahalanobis 距离）。返回值CLASS 为s 维列向量，给出了SAMPLE 中样本的分类，ERR 给出了分类误判率的估计值。

5.1.2问题的求解

由于本问需要确定第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的岗位级别，必须一个数学模型将这些缺失的数据补充完整。而针对将教师岗位划分为七个级别，分别为一级岗至七级岗，且其中一级岗为教师的最高级，七级岗为具备硕士招生资格的最低级。又因为各位教师的学科方向，2007-2011年的招生数，科研经费，发表中、英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量与教师岗位有一定的联系。了解这点后，决定采用判别分析的方法。

考虑到2007-2011年的五年里各年的发表中、英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量与岗位级别的关系，可以被五年里的总数目所代替，因此在判别过程中可以只考虑总数目和其他指标于岗位级别的影响即可。

对筛选出各个教师的指标运用主成分分析，得出对岗位级别影响最大的八个主成分，它们对岗位级别的贡献率达到85%以上。编程将得到的数据按照一级岗至七级岗的顺序带入程序中，再将未知的岗位级别的数据带入得出缺失的数据的岗位级别，得到如下表1。

编号

岗位级别 3

6 7 7 1 2 6 6 7 4

分析：本题主要是利用现有的数据进行分析，将未知的数据的岗位级别指标确定，针对这类题目，其实方法很多。主要是选取合理的分析方法，将误差降到最低，由于本体属于首先知道一些样本的岗位级别数据信息，还有少数未知的需要补充，根据此特点，合理选择了判别分析中的距离分析法，利用已知类别的样本培训模型，为未知样本进行判别的一种统计方法。又由于数据指标较多，我们对数据进行分析，去除了对岗位级别影响很小的指标，并且对指标进行主成分分析达到降维，运用MATLAB 编程，将未知数据代入，解出了缺失的岗位级别。

5.2问题二

5.2.1问题的求解

取每个岗位的5年招生总人数、5年科研总经费、5年发表中英文论文总数、5年申请专利总数、5年获奖总数、获得优秀论文总数量的平均值为指标，作岗位级别与其的相关性分析，得到Pearson 相关系数并且做出岗位级别和各招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量项目五年合计的统计图：

图

1

图2

3

图

5.2.2结果的分析与解释

由表2中的相关系数分析易知招生人数和发表中英文论文篇数与岗位级别

有很大的相关性，即这二者与岗位级别的联系十分紧密。到账经费和获得优秀论文篇数也与岗位级别有一定的联系，对于岗位级别有较大的影响。而获得奖励个数与岗位级别没有明显的联系，申请专利个数与岗位级别呈负相关，即申请专利与岗位级别是反比例关系。

由图1可以看出中英文论文发表数与岗位级别成正相关关系，论文发表数与岗位级别的也有较大关系。基本上岗位级别越高，论文发表数越多，各岗位级别下的论文发表数不具有一定的变化规律。岗位越高，导师能力较强，在高校强烈的论文发表数量的竞争下，写论文的积极性越高，论文的水平也越高，发表的论文数就会越多。故得出的统计规律也符合事实。

结合图4也可以看出，各年平均申请专利数、各年平均论文获奖数与岗位级别没有特别明显的关系，但是各岗位级别总体专利获奖数都有下降的趋势，而部分岗位级别的获奖数有突增的现象，这些主要与该单位的教育资源，导师和学生的科研积极性以及国家和学校的政策有关。申请的专利数和论文获奖数直接反应了导师的科研成果。

基本上可以看出岗位级别与获奖励个数成正相关关系，即级别越高，获奖数越多。获奖励数能够体现导师的综合能力，而综合能力也决定了其岗位级别。

由图2可以看出各年招生人数跟岗位级别成正相关关系，招生人数与岗位级别关系较大。级别岗位越高，对于的招生人数越多，而各级别的招生人数在一定范围内波动。由于岗位级别越高，导师的能力就较强，就能分配更多的研究生指标。这统计规律也符合事实规律。

图3中到账经费与岗位级别有一定的相关性，总体来说，级别高对应的经费相对多一点，但这并不能说明能力水平就高，因为这与相应的研究生类型以及导师的个人意愿和学院的经费下拨有关系，例如三级岗和六级岗的经费水平明显比其他级别高出不少。这也应证了前面的解释。

5.3问题三

5.3.1 2012 年硕士研究生招生人数的预测

1概念的引入

GM （1，1）预测模型

假设对某变形体的沉降监测中的某一观测点有n 期观测数据，组成时间序列为：

(0)(0)(0)(0)(1)(2)(){,,,}n x x x K x = （1）

式中，n 为序列长度。对(0)x 作一次累加生成处理（1-AGO ），以增强数据序列的规律性，得到生成序列：

{}(1)(1)(1)(1)(1)(2)(),,,n x x x K x = （2）

其中，(1)

(0)(1)()1,1,2,,t

k k x x t n ===∑K 。对此生成序列建立一阶微分方程，即GM(1,1)

模型的白化方程：

(1)

(1)dx ax u dt

+= （3） 式中,a,u 为待识别参数即灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能值）为