通信原理习题参考答案

《通信原理》习题参考答案

第三章

3-2.设随机过程ξ(t)可表示成

ξ(t)＝2cos(2πt+θ)

式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ

ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴ E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2)

＝(1/2)×2＋0

＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]

＝E[2cosθ×2cosθ]

＝E[4cos2θ]

＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2)

＝(1/2)×4

＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

3-3. 设Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是一个随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求 (1) E[Z(t)]、E[Z 2(t)]

(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3) B(t 1,t 2)与R(t 1,t 2)。

解：(1)∵ E[X 1]＝E[X 2]＝0，且X 1和X 2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X 1cos ω0t －X 2sin ω0t] ＝E[X 1cos ω0t]－E[X 2sin ω0t] ＝E[X 1]×cos ω0t －E[X 2]×sin ω0t ＝0

E[Z 2(t)]＝E[(X 1cos ω0t －X 2sin ω0t)2]

＝E[X 12cos 2ω0t －2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t ＋X 22sin 2ω0t]

＝E[X 12cos 2ω0t]－E[2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t]＋E[X 22sin 2ω0t] ＝cos 2ω0t E[X 12]－2 cos ω0t sin ω0tE[X 1]E[X 2]＋sin 2ω0t E[X 22]

＝cos 2ω0t E[X 12] ＋sin 2ω0t E[X 22]

又∵ E[X 12]＝D[X 1]＋E 2 [X 1]＝D[X 1]＝σ2

E[X 22]＝D[X 2]＋E 2 [X 2]＝D[X 2]＝σ2

∴ E[Z 2(t)]＝σ2 cos 2ω0t ＋σ2 sin 2ω0t ＝σ2 (cos 2ω0t ＋sin 2ω0t) ＝σ2 (2)由于Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是由两个正态随机变量X 1和

X 2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

]2exp[21)(2

2

)(σσπa x Z f --=

其中： E[Z(t)]＝0

D[Z(t)]＝E[Z 2(t)]－E 2 [Z(t)]＝E[Z 2(t)]＝σ2

所以得一维分布密度函数f(Z)为：

(3) B(t 1,t 2)＝R(t 1,t 2)－E [Z(t 1)] E [Z(t 2)] ＝R(t 1,t 2)

＝E [Z(t 1) Z(t 2)]

＝E [(X 1cos ω0t 1－X 2sin ω0t 1)( X 1cos ω0t 2－X 2sin ω0t 2)] ＝E [X 12cos ω0t 1 cos ω0t 2－X 1 X 2cos ω0t 1 sin ω0t 2 －X 1X 2sin ω0t 1cos ω0t 2＋X 22sin ω0t 1 sin ω0t 2]

＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12]－cos ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 1 X 2] －sin ω0t 1cos ω0t 2 E [X 1 X 2]＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12] ＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝σ2 (cos ω0t 1 cos ω0t 2＋sin ω0t 1 sin ω0t 2) ＝σ2 cos ω0(t 1－t 2)

＝σ2 cos ω0τ 其中τ＝∣t 1－t 2∣

3-5. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t ＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数R m (τ)为

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 (1)证明z(t)是宽平稳的；

]

2ex p[21)(22σ

σπx Z f -=??

?

??-+=011)(τ

τ

τR m τττ其它,10,01,<≤<<-

(2)绘出自相关函数R z (τ)的波形； (3)求功率谱密度P z (ω)及功率S 。

解：(1) ∵ E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t ＋θ)] （m(t)和θ彼此独立）

＝E[m(t)] E[cos(ω0t ＋θ)] =0

R Z (τ)＝R Z (t , t+τ) ＝E[z(t) z(t+τ)]

＝E{m(t)cos(ω0t ＋θ) m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

＝E[m(t) m(t+τ)] E{cos(ω0t ＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t 无关，相关函数R Z (τ)只与时间τ有关

∴ z(t)是宽平稳的随机过程

(2)由R Z (τ)可知：R Z (τ)ττω0cos )(21m R =是由)(2

1τm R 和cos ω0τ在时域上相乘的结果，而)(2

1

τm R 和cos ω0τ在时域上的图形分别如下：

θπθωπd t t m E 21)cos()]([200+=?

}cos 2121

]2)2(cos[{21)(200200θτπθπθτωτππ

ωd d t R m ??+++=ττω0cos )(2

1

m R =

所以R Z (τ)的波形如下：

(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t ＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和

cos(ω0t ＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有： P z (ω)＝P m (ω) *P c (ω) ，其中P m (ω)是m(t)的频谱 P c (ω)是cos(ω0t ＋θ)的频谱 又因为 P m (ω)＝)42(212ωs a ＝)2

(212ω

s a

R m

τ

2

1τ

)(2

1

τm R 0 R Z (τ)

2

1 -1 +1 τ

P c (ω)＝]()([

2

1)0

0ωωωω++-δδ

S ＝R Z (0)＝0cos )0(21m R ＝2

1

3-8.将一个均值为零、功率谱密度为n 0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc 、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

(1)求滤波器输出噪声的自相关函数； (2)写出输出噪声的一维概率密度函数。

解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：

∣H(ω)∣

2πB 2πB

－ωc 0 ωc 图 P2-1