Hojoo Lee数论问题集A 1-57

A1: x、y、z都是正整数，证明：(xy+1)(yz+1)(zx+1)是完全平方数，当且仅当(xy+1)、(yz+1)、(zx+1)都是完全平方数。
A2：证明存在无穷多个正整数三元组(a,b,c)，使得a、b、c是等差数列，并且ab+1、bc+1、ca+1都是完全平方数。
A3：设正整数a、b使得(ab+1)整除(a^2+b^2)，证明：(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方数。
A4：正整数a、b、c满足0＜a^2+b^2-abc≤c，证明：a^2+b^2-abc是一个完全平方数。
A5：设正整数x、y使得(x^2+y^2+1)是xy的倍数，证明：(x^2+y^2+1)/xy=3。
A6：a）请找出无穷多对正整数1＜a＜b，使得ab正好是(a^2+b^2-1)的因子；b）请问上面的问题中(a^2+b^2-1)/(ab)可以等于哪些整数？
A7: n是一个正整数，且2+2√（28n^2+1)也是正整数。证明：2+2√（28n^2+1)也是一个完全平方数。
A8：整数a、b具有以下的性质：对于所有的非负整数n，(2^n)a+b都是完全平方数，证明必有a=0。
A9：证明任意连续10个正整数中都可以找到一个整数，它与其余9个数的乘积互素。

A11：任给四个整数abcd，都有(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)都是12的倍数。
A12：已知k、m、n是正整数，m+k+1是大于n+1的素数，记Cs=s(s+1)，证明：(C(m+1)-Ck)(C(m+2)-Ck)...(C(m+n)-Ck)能被整除https://www.360docs.net/doc/ea16331175.html,整除。

A14：n是一个大于1的正整数，证明：n不可能整除2^n-1。
A15：k≥2，正整数n_1,n_2,...,n_k满足下列性质，n_(k+1)︱2^n_k-1,证明：n_1=n_2=...=n_k=1。
A16：是否存在满足下列条件的正整数n，n恰好能够被2000个互不相同的素数整除，且2n+1能够被n整除。
A17：正整数m、n使得A=[(m+3)^n+1]/3m是整数，证明：A是一个奇数。
A18：假设整数m、n使得mn+1是24的倍数，证明：m+n也是24的倍数。
A19：设f(x)=x^3+17，证明：对于每一个自然数n≥2，都存在一个自然数x使得f(x)可以被3n整除，但是不能被3n+1整除。

A21：n是一个正整数，证明：任意连续n个正整数的乘积都能被n！整除。
A22：对于任意整数n≥0，下列式子Σ(C(2k+1,2n+1),k=0,n)×2^(3n)都不能被5整除。
A23：(Wolstenholme定理)p是大于3的素数，将1+1/2+1/3+...+1/(p-1)表示成为分数的形式，则它的分子是p^2的倍数。
A24：p是一个大于3的素数，且k=[2p/3]，证明下列式子Σ(C(i,p),i=1,k)能被p^2整除。
A25：n是一个正整数，证明：1,2,3,...,2n的最小公倍数一定是二项系数(2n)!/n!n!的整数倍。
A26：m、n是两个任意非负整数，证明下列式子((2m)!(2n)!)/((n+m)!m!n!)是整数。
A27：n是一个正整数，证明：当且仅当n可以写为2k-1形式的时候，(a+b)^n展开式的各项系数都是奇数。
A28：n≥m≥1，证明下式(n,m)/n×C(m,n)是整数。
A29：对于哪些正整数k，存在无穷多对正整数(m,n)使得(m+n-k)!/(m!n!)是整数。
A30：证明对于任意大于5的合数n，n都是(n-1)!的因子。
A31：证明存在无穷

多个正整数n，使得(n^2+1)是n!的因子。
A32：m、n都是正整数，且满足下列m/n=1-1/2+1/3-1/4+…-1/1318+1/1319等式，证明：m可被1979整除。
A33：a、b、n都是正整数，b＞1且bn-1是a的因子，证明：如果把a表示为b进制，则其中至少有n位数字不是0。
A34：设p_1，p_2，...，p_n是大于3且互不相同的素数，证明下面这个数2^（p1p2…pn）+1至少有4n个不同的因子。
A35：设p≥5是一个素数，证明：存在一个整数a满足1≤a≤p-2，并且a^(p-1)-1和(a+1)^(p-1)-1都不能被p^2整除。
A36：n≥5，2≤q≤n都是正整数，证明下式（q-1）[（n-1）！/q]成立

A38：p是大于5的素数，S={p-n^2∣n∈N,n^2＜p}，证明：S中存在两个大于1的整数a,b，使得b是a的倍数。
A39：n是一个正整数，证明：“n不能被4整除”等价于“存在整数a,b使得a^2+b^2+1是n的倍数”。
A40：n是整数，求所有(n^13-n)的最大公因数。
A41：证明存在无穷多个合数n使得3^(n-1)-2^(n-1)是n的倍数。
A42：n是一个正整数，如果2^n+1是素数，证明：n一定是2的方幂。
A43：p是一个大于3的素数，证明：7^p-6^p-1是43的倍数。
A44：对于正整数n，如果4^n+2^n+1是一个素数，则n是3的方幂。
45：b、m、n都是正整数，且b＞1，m≠n，如果(b^m-1)和(b^n-1)的素因数的集合相同，则b+1肯定是2的方幂。
A46：a、b是两个整数，证明：a、b同奇偶当且仅当存在整数c、d使得a^2+b^2+c^2+1=d^2
A47：n是大于1的整数，证明：1+1/2+1/3+...+1/n不是整数。
A48：n是一个正整数，则1/3+1/5+...+1/(2n+1)不是整数。
A49：证明不存在正整数n，使得对于k=1,2,...,9，(n+k)!的十进制最左边的数字都等于k。
A50：证明对于任意大于1的正整数k，都有一个正整数t＜k3使得tk的十进制表示中最多只用了4个不同的数字。
A51：a,b,c,d是奇数，0＜a＜b＜c＜d，且ad=bc。证明：如果存在整数k、m使得a+d=2^k，b+c=2^m，则a=1。
A52：d是任意一个不同于2,5,13的正整数，证明：肯定能从{2,5,13,d}中找到两个不同的整数a、b，使得ab-1不是一个完全平方数。
A54：如果一个自然数n满足以下条件，我们就称n是好数：“对任意整数a，当n∣a^n-1时，必然有n^2∣a^n-1。”①证明所有素数都是好数；②证明有无穷多个合数是好数。
A55：证明对于任意一个正整数n，(4-2/1)(4-2/2)(4-2/3)...(4-2/n)是一个整数。
A56：a、b、c是三个整数，并且满足(a+b+c)∣(a^2+b^2+c^2)。证明：存在无穷多个正整数n，使得(a+b+c)∣(a^n+b^n+c^n)。
A57：对于任意正整数n，证明：7∣3^n+n^3等价于7∣3^nn^3+1。
A58：整数k≥14，pk是小于k的最大素数，我们可以假设p_k≥3k/4。设n是一个合数，证明：a)如果n=2p_k，则n不是(n-k)!的因子；b)如果n＞2p_k，则n是(n-k)!的因子。
A59：假设n可以用两种完全不

同的方式表示成为两个整数的平方和，也就是说n=s^2+t^2=u^2+v^2，s≥t≥0，u≥v≥0，且s＞u。证明：(n,su-tv)是n的真因子。
A60：证明存在无穷多对整数(a,b)使得：对于每一个正整数t，at+b是三角形数当且仅当t也是三角形数。 a是三角形数是指：存在正整数n使得a=(n+1)n/2
A61：对于任意大于1的正整数n，p(n)表示n的最大素因子。证明存在无穷多个正整数n使得p(n)＜p(n+1)＜p(n+2)。