质点运动微分方程

第3篇 动力学

第10章 质点运动微分方程

一、目的要求

1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。

2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。

3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容

1．基本概念：

动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式：

（1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a

。） （2）质点运动微分方程

1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F

2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt

z

d m 22

3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt

τυ

=∑，∑

=

b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。

三、重点和难点

1．重点：

（1）建立质点运动微分方程。

（2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点：

在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。

四、教学提示

1．建议

（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。

（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。

（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。

2.建议学时

课内（2学时）课外（3学时） 3．作业

10-5，10-12，10-14

第11章 质心运动定理 动量定理

一、目的要求

1．使学生认识到质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的两类问题

2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量。

3．能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。

二、基本内容

1．基本概念

（1）质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量的概念及计算。 （2）质点系的动量定理（质心运动定理）。 2．主要公式

（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算

1）矢径形式 M r m r i i c ∑= 或 M

r m r ic

i c

∑=

2）直角坐标形式

M x m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i

i c ∑=

其中 k z j y i x r i i i i

++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。

k z j y i x r c c c c

++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。 ic r

为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。

m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。 （2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算

1）矢径形式 c i i v M v m P

=∑= 2）投影形式

ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=，

222z y x P P P P ++=

注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。 （3）动量定理（质心运动定理）

∑==n i (e)

i F dt p d 1 )(1

∑==n i (e)i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1

，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1

)

( 是质点系所受外力的主矢量。c a 为

质点系心的加速度。 三、重点和难点

1．重点：

（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。 （2）质点系动量定理、质心运动定理。 2．难点：

质点系动量定理、质心运动定理的应用。 1．建议

（1）强调动量中所用到的速度为绝对速度。

（2）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。

（3）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。

2.建议学时

课内（4学时）课外（6学时） 3．作业

11-3，11-4，11-12，11-13，11-4

第12章 动量矩定理

一、目的要求

1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。

2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。

3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 二、基本内容

1．基本概念

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。 （2）质点系的动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程。

2．主要公式

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）及质心的动量矩的计算 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 c c c i i i i i L v m r v m r v m m L

+⨯=⨯∑=∑=)(00 ir i c i i i c v m r v m r L

⨯'∑=⨯'∑= 为质点系对质心C 的动量矩。

z z i i i i z z L v m m v m m L ][)]([)(00

=∑=∑=，z 是过定点O 的轴。 2）平动刚体对某定点O 的动量矩

c c v r M L ⨯=0

3）绕定轴转动刚体对转轴z 的动量矩

ωωz i i z J r m L =∑=)(2

4）平面运动刚体对运动平面内定点O 的动量矩

ωϕc c c J v Mr L +=sin 0

ir i v v ,分别为第i 个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的速度，c v

为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，c z J J 、分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量，ϕ为定点O 到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，ω为刚体转动的角速度。

（2）转动惯量

1）定义 dm r r m J m

i i z ⎰

=

∑=22