三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

三角形五心定理（三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理，垂心定理,内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)

重心的性质：

１、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的３个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形３个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+Ｘ3)/３，（Ｙ1＋Ｙ２＋Ｙ３）/３。

二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ＡBC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角）或∠BＯＣ=３60°-2∠Ａ（∠A为钝角)。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d２,d３分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d３，c2=d１d３，c３=ｄ1ｄ２；c=c1+c2＋ｃ3。重心坐标:( (c2+c3）/2c，(c1+c3)／2ｃ，(c1+c2)／2c )。

５、外心到三顶点的距离相等

三、三角形垂心定理

三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质:

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心Ｏ、重心Ｇ和垂心H三点共线，且ＯG∶ＧＨ=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知:ΔＡBC中,AD、BＥ是两条高，AD、BE交于点O,连接CO并延长交A Ｂ于点F ，求证:CF⊥AB

证明:

连接DE ∵∠AＤB＝∠AＥB=９0度∴A、B、Ｄ、E四点共圆∴∠AD Ｅ=∠ABE

∵∠ＥAO=∠DAC∠ＡEO＝∠ADＣ∴ΔAEO∽ΔADＣ

∴AE/AＯ=ＡD/ＡC∴ΔＥAＤ∽ΔＯAＣ∴∠AＣF＝∠ADE=∠AＢE

又∵∠ＡＢE+∠ＢAC＝90度∴∠ACＦ+∠BＡC=90度∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

四、三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质:

１、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔＡBC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量ＰA+b×向量PB+c×向量ＰＣ)/(ａ+b＋ｃ).

4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长ＡＯ交BC边于Ｎ，则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AＢ＋AC）:BＣ

五、三角形旁心定理

三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

１、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

３、旁心到三边的距离相等。

如图,点M就是△ＡBＣ的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附:三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心,内心,外心，垂心,四心合一。

有关三角形五心的诗歌三角形五心歌(重外垂内旁）

三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混．

重心

三条中线定相交，交点位置真奇巧,交点命名为“重心”,重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好.

外心

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点.

此点定义为外心,用它可作外接圆．内心外心莫记混,内切外接是关键.

垂心

三角形上作三高,三高必于垂心交．高线分割三角形,出现直角三对整，直角三角形有十二,构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心

三角对应三顶点，角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源;

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．