离散数学第二版答案(6-7章)

离散数学第二版答案(6-7章)

第六章 代数系统

6.1第129页

1． 证明：

任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，

(,(,))*(*)*()

()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz

==+-=++--+-=++---+

((,),)(*)*()*()(,(,))

g g x y z x y z x y xy z

x y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=

因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2．

(*

,

x,

)

*

的最小公倍数

=

*=

y

)

y

（z

z

的最小公倍数

x

和

y

x

z

因此对于任意的z，

x，都有)*

，y

z

y

）

（=，即二

x（

x

*

y

*

*z

元运算*是可结合的。

③设幺元为e

=

=的最小公倍数

和

*

*，则1=e，即幺元为1.

x=

e

x

x

x

e

e

④对于所有的元素I

*，所以所有元

x∈，都有x

x=

x

素都是等幂的。

4．解：设n

X=

①设f是X上的二元运算，则f是一个从X

2的

X→

映射。

求X上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。

由于2

2n

X=，映射f的个数为2n n，即X上有2n n个二元运算。

②可交换即>

y

x

f

f,

,

<

>=

y

设集合}4,3,2,1{=X，要求X上可交换的二元运算的个

数，即相当于求映射f的个数，X

:，其中：

f→

A

><

><

>

><

><

><

<

=

A

><

<

>

<

><

4,4

1,1

,

2,2

3,3

}

4,3

4,2

,

2,1

{>

3,1

4,1

3,2

具体如下图所示：

A

><><><><><><><><><><><><><><><><4,43,32,21,13,4,4,32,4,4,22,3,3,21,4,4,12,3,3,11,2,2,1 X

432

1

此时映射f 的个数4

4

64244

4

++==C N

推广到X 有n 个元素时，映射f 的个数n

C n n n N +=2

③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合}4,3,2,1{=X ，若幺元为1，则有

4

1,4,4,131,3,3,121,2,2,11

1,1>→<><>→<><>→<><>→<

此时的二元运算的个数相当于求映射X A f →:的个数，其中：

>

<><><><><><><><><3,44,32,44,22,33,24,43,32,2A

4

321

X

映射X A f →:的个数为2

)14(9

4

4

-==N

幺元为2，3，4时同理，2

)14(14

9

44

44-?=?=C N

因此集合}4,3,2,1{=X 上有2

)14(14

9

44

44-?=?=C N 个有单位

元素的二元运算。

推广到X 有n 个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为2

)1(1-?=n n

n n

C N 。

5．解：任取R

a

a a ∈3

2

1

,,

①

2

121*a a a a -=

21211212**a a a a a a a a =-=-=

对于任意的R

a

a ∈2

1

,都有2

112

**a a a a

=，故二元运算*是

可交换的。

()()3

21321321***a a a a a a a a a --=-= 3

21321321)(*)*(*a a a a a a a a a --=-=

若2,3,1321-=-==a a a

()6**321=a a a ，0)*(*321=a a a ，此时())*(***321321a a a a a a ≠

故二元运算*是不可结合的。

不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x e x =-=*， 因此，二元运算*不含幺元。 ②()2/*2121a a a a +=

()()21211212*2/2/*a a a a a a a a =+=+= 对于任意的R

a

a ∈2

1

,都有2

112

**a a a a

=，故二元运算*是

可交换的。

()()()4

222*2/**3213

2

1321321a a a a a a a a a a a a ++=

++=+=

()()4

242222/*)*(*3

213213

21321321a a a a a a a a a a a a a a a ++≠++=++

=

+=故二元运算*是不可结合的。

不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x e x =+=2/)(*， 因此，二元运算*不含幺元。 ③

2121/*a a a a = 211212*/*a a a a a a ≠=

因此，二元运算*是不可交换的。

()()321

321321321/*/**a a a a a a a a a a a a === 3

21231321321321/)/(*)*(*a a a

a a a a a a a a a a a a ≠==

= 故二元运算*是不可结合的。

由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x x e e x ===/**， 因此，二元运算*不含幺元。

6．设x 是X 中的任意元素。 由于二元运算*是可结合的，