2013年高中数学联赛四川预赛试题

2013年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 2 页)

2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.

2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.

3、计算器、通讯工具不准带入考场.

4、解题书写不要超过密封线.

一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、函数()f x 对于任意实数x 满足：()()

13f x f x +=-，若(0)2f =，则(2013)f = A 、12- B 、12

C 、2

D 、2013 2、设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足：11550a b a b <=<=，则下述四个结论：

① 33a b < ； ②33a b >； ③66a b >； ④66a b <中正确的个数是 【 】

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

3、已知二面角l αβ--的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A 、B 为垂足，5PA ，4PB ，设A 、

B 到二面角的棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(,)x y 的轨迹为下列图形中的

A 、

B 、

C 、

D 、

4、从[0,10]上任取一个数x ，从[0,6]上任取一个数y ，则使得|5||3|4x y -+-≤的概率是

A 、15

B 、13

C 、12

D 、34

5、当平面上的点(,)x y 的坐标x 、y 都为有理数时，该点称为有理点，设r

是给定的正实数，则圆

222(1)(x y r -+-=上的有理点 【 】

A 、最多有一个

B 、最多有两个

C 、最多有四个

D 、可以有无穷多个

6、△ABC 中，90C ∠=，30B ∠=,2AC ，M 是AB 的中点，将△ACM 沿CM 翻折，使A 、B 两点

间的距离为A BCM -的体积等于 【 】

A

、3 B 、23 C

、3 D

、3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、已知函数x x

x f ++=13)(，记m f f f f =++++)1024()4()2()1( ，

n f f f f =++++)1024

1()81()41()21( ，则=+n m ． 8、已知i 是虚数单位， 23420131z i i i i i =++++++，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z ?=

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9、实数y x ,满足1162

2

=+y x ，则22y x +的最大值是 ． 10、关于曲线C ：421x y +=的下列命题：

① 曲线C 关于原点对称； ② 曲线C 关于直线y x 对称；

③ 曲线C 所围成的面积小于π； ④ 曲线C 所围成的面积大于π，

其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）

11、设n 是小于100的正整数，且满足211(1)35

n n -+为整数， 则符合条件的所有正整数n 的和为 ．

12、已知函数x x

a x f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ?-≥恒成立， 则实数a 的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设实数0ω>

，已知函数2π

()sin sin()2f x x x x ωωω=?+的最小正周期是π2

．求()f x 在ππ[,]84

上的最大值与最小值．

14、已知函数323()31

x x f x x +=+，数列{}n x 满足：12x =，*1()()n n x f x n N +=∈，记1311log ()1n n n x b x ++-=+ *()n N ∈．

( I ) 求证：数列{}n b 成等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；

（II ）记n n c nb =-*()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．

15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2

214

x y 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥． （I ）若点B 在线段PQ 上的射影为点M ，求M 的轨迹方程；

（II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．

16、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b

为常数．

（Ｉ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；

（II ）若0a =，存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值点．求实数b 值； （III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．