71172弯曲和弯曲内力
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(1) 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
9
(2) 载荷简化 作用于梁上的载荷(包括支座约束)可简化为三种类型:
集中载荷、分布载荷和集中力偶。
F — 集中载荷
q(x)— 分布载荷
M — 集中力偶
10
(3) 支座简化
固定铰链支座
滚动支座
XA
MA
YA 固定端支座 两支座之间的距离称为梁的跨度。
11
(4) 梁的三种基本形式 ① 简支梁
FS(x) qx (0xl)
M(x)qx1x1qx2 (0xl) 22
(2)作剪力图和弯矩图 剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
19
[例7-3] 作出如图(a)所示均布载荷下简支梁的内力图。
并求 FS m ax 和 M m ax 。
解:(1)求支座反力
FA
FB
1 2
ql
(2)写出内力方程
对称弯曲—— 有纵向对称面的平面弯曲。 非对称弯曲——若梁不具有纵向对称面,或梁虽具有纵向 对称面但外力并不作用在对称面内。
本章将只对对称弯曲进行讨论。
8
2、计算简图与梁的种类
梁的实际结构、载荷情况与支承方式一般都比较复杂, 为了便于分析计算,应进行必要的简化,抽象出计算简图。
简化原则: ①尽可能反映结构的真实受力情况; ②尽可能使计算简化。
Fy 0 FS3 qa
MO3
0
M3
1qa2 2 16
由外力直接计算梁任一截面上内力的规则: ①“左上右下,剪力为正”,否则产生负剪力。 ② “左顺右逆,弯矩为正”,否则产生负弯矩。 或者换种说法“所有向上的外力产生正的弯矩,反之产生 负的弯矩”,外力偶引起的弯矩“下凸为正,反之为负”。 ③某截面上剪力FS的大小等于该截面左边(或右边)梁段 上所有横向外力的代数和。 ④某截面上弯矩M的大小等于该截面左边(或右边)梁段 上所有外力对该截面形心之矩的代数和。
F
B
a
ml
FB
FS M
C
FS MC
F FB 13
2、剪力、弯矩的正负号规定:
(1)剪力: 绕研究对象顺时针转为正剪力;反之为负。
FS(+)
FS(–)
(2)弯矩:使梁变成凹形为正弯矩;使梁变成凸形为负弯矩。
M(+)
M(–)
14
[例7-1]计算图(a)所示外伸梁中2-2截面及无限接近支座A与 支座B的1--1、3-3截面上的剪力与弯矩。
31
(2)根据微分关系绘制剪力图和弯矩图 [例7-6] 作出如图(a)所示外伸梁的内力图。 解:(1)求支座反力
MB 0
FA
1 qa 2
MA 0
FB
3 qa 2
(2)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
32
(2)根据微分关系绘制剪力图和弯矩图 [例7-6] 作出如图(a)所示外伸梁的内力图。 解:(1)求支座反力
MB 0
FA
1 qa 2
MA 0
FB
3 qa 2
(2)作剪力图和弯矩图
弯矩图如图(c)所示:
33
dF dx
q
29
剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
FS
FS
FS
FS
FS1
FS
特
征
x
x
x
x
FS>0 FS<0 增函数 减函数
C
FS2
x
FS1–FS2=F
C x
M 图
M
斜直线
M x
x
M
特
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xl)
22
[例7-4] 作出如图(a)所示集中载荷下简支梁的内力图。 (3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
23
主要点的剪力FS(x)、弯矩M(x)
x
FS
0
A截面右侧
Fb
l
Fb
左侧
a
C截面
l
右侧 F a
l
l
B截面左侧
Fa l
M 0
Fab l
0
24
事实上集中力不可能作用在一 个点上,而是作用在一个微段上。
(4)
FSmax Me /l a<b时:
M max
Meb/l
27
5.剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及其应用
(1)剪力、弯矩与分布载荷集度间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析,有:
Fy 0
x
dx
q
F S q d x (F S d F S ) 0
dFS q dx
M
O M+dM
FS dx FS+dFS
解:(1)计算支座反力
MB 0
qa2FA2a12qa20
1 FA 4 qa
Fy 0 FBqaFA34qa
15
(2)计算1-1截面上的内力
Fy 0 FS1 0
MO1 0 M1qa2
(3)计算2-2截面上的内力
Fy 0
FS2
FA
1qa 4
MO2 0 M 2FAaqa23 4qa2
(4)计算3-3截面上的内力
“红领巾”真好
厦门市松柏第二小学 吴小蔚
目录
7.1 平面弯曲的概念 7.2 梁的内力 内力图 7.3 梁横截面上的应力及强度条件 7.4 梁的弯曲变形及刚度条件 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例 7.6 简单超静定梁的解法
2
§7.1 平面弯曲的概念 1、弯曲变形与平面弯曲
3
4
5
Biblioteka Baidu
受力特点: 杆受外力偶或垂直于轴线的外力作用
1 FS(x)FAqx2qlqx
(0xl)
M (x)F A x1 2qx21 2qlx1 2qx2 (0xl)
20
[例7-3] 作出如图(a)所示均布载荷下简支梁的内力图。
并求 FS m ax 和 M m ax 。
(3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
(4)
FS
max
1 ql 2
FS(x)
FA
Me l
(0xl)
AC段: M(x)FAxMle x
(0xa)
CB段: M (x ) F B (l x ) M le(l x ) M lex M e (axl)
[例7-5] 作出如图(a)所示集中力偶作用下简支梁的内力图。 (3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示: 弯矩图如图(c)所示:
剪力和弯矩的变化在微段上是 逐渐变化的。
在集中力作用截面处,剪力方 程为开区间。
同样,对集中力偶作用截面 处,弯矩方程为开区间。
25
[例7-5] 作出如图(a)所示集中力偶作用下简支梁的内力图。
并确定 FS m ax 和 M m ax 。
解:(1)求支座反力
MB
0
FA
Me l
MA
0FB
Me l
(2)写出内力方程
变形特点: 原为直线的轴线变成了曲线 这种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。
6
绝大部分受弯杆件的横截面都有一根对称轴:
纵向对称面——对称轴与轴线组成的纵向平面。
F1
q
F2
M 纵向对称面
7
平面弯曲——如果外力位于纵向对称面内,杆发生弯曲 变形后,轴线仍然和外力在同一平面内。
17
3、剪力方程和弯矩方程:
剪力和弯矩与截面位置坐标(x)间的函数关系式。 FS= FS(x)——剪力方程 M= M(x) ——弯矩方程 剪力图——FS= FS(x)的图线表示 弯矩图——M= M(x)的图线表示
18
[例7-2] 作出如图(a)所示均布载荷下悬臂梁的内力图。 解:(1)写出内力方程
梁的一端为固定铰链支座,另一端为滚动支座。 ②外伸梁
梁的一端或两端都外伸出支座。 ③悬臂梁
梁的一端为固定端,另一端为自由端。
12
§7.2 梁的内力 内力图
1、截面法求内力:
A
已知 F,a,l。
求m-m截面上内力。 FA
解: Fy 0 FS FA
A
MC 0 MFAa
弯曲梁内力
剪力FS FA
弯矩M
m
剪力图上某点的切线斜率等于梁 上该点处分布荷载集度的大小。
28
MO 0 M F S d x 1 2 q (d x )2 (M d M ) 0
dM dx FS
弯矩图上某点的切线斜率等于梁上该点对应截面剪力的大小。
q
M
O M+dM
FS dx FS+dFS
弯矩与荷载集度的关系是:
d2M dx2
M 1 ql2 max 8
21
[例7-4] 作出如图(a)所示集中载荷下简支梁的内力图。
解:(1)求支座反力
MB 0
FA
Fb l
MA 0
FB
Fa l
(2)写出内力方程
AC段:FS ( x)
Fb l
(0xa)
M (x) Fb x (0xa) l
CB段:
FS(x)FB
Fa l
(axl)
M (x ) F B (l x ) F la (l x ) F a F la x(a
M x
x 与M
M1 x
m
征
反
M2
增函数 减函数 下凸 上凸 折向与F反向 M1M2m
q,FS,M图的线型依次递增一次,若q为水平线,则FS图 将为斜线,而M图则为二次曲线;若q等于零,则FS图将 为水平线,而M图则为斜线。 M图的凹向同q指向,当q指向上方时,q值为正,M对x的 二阶导数大于零,弯矩图将凹曲线,反之M图将凸曲线。 当FS等于零时,M取极值。 集中力作用的截面, FS图有突变,突变值等于集中力的值。 M图上有折点;集中力偶作用的截面,M图有突变,突变 值等于集中力偶的值。
9
(2) 载荷简化 作用于梁上的载荷(包括支座约束)可简化为三种类型:
集中载荷、分布载荷和集中力偶。
F — 集中载荷
q(x)— 分布载荷
M — 集中力偶
10
(3) 支座简化
固定铰链支座
滚动支座
XA
MA
YA 固定端支座 两支座之间的距离称为梁的跨度。
11
(4) 梁的三种基本形式 ① 简支梁
FS(x) qx (0xl)
M(x)qx1x1qx2 (0xl) 22
(2)作剪力图和弯矩图 剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
19
[例7-3] 作出如图(a)所示均布载荷下简支梁的内力图。
并求 FS m ax 和 M m ax 。
解:(1)求支座反力
FA
FB
1 2
ql
(2)写出内力方程
对称弯曲—— 有纵向对称面的平面弯曲。 非对称弯曲——若梁不具有纵向对称面,或梁虽具有纵向 对称面但外力并不作用在对称面内。
本章将只对对称弯曲进行讨论。
8
2、计算简图与梁的种类
梁的实际结构、载荷情况与支承方式一般都比较复杂, 为了便于分析计算,应进行必要的简化,抽象出计算简图。
简化原则: ①尽可能反映结构的真实受力情况; ②尽可能使计算简化。
Fy 0 FS3 qa
MO3
0
M3
1qa2 2 16
由外力直接计算梁任一截面上内力的规则: ①“左上右下,剪力为正”,否则产生负剪力。 ② “左顺右逆,弯矩为正”,否则产生负弯矩。 或者换种说法“所有向上的外力产生正的弯矩,反之产生 负的弯矩”,外力偶引起的弯矩“下凸为正,反之为负”。 ③某截面上剪力FS的大小等于该截面左边(或右边)梁段 上所有横向外力的代数和。 ④某截面上弯矩M的大小等于该截面左边(或右边)梁段 上所有外力对该截面形心之矩的代数和。
F
B
a
ml
FB
FS M
C
FS MC
F FB 13
2、剪力、弯矩的正负号规定:
(1)剪力: 绕研究对象顺时针转为正剪力;反之为负。
FS(+)
FS(–)
(2)弯矩:使梁变成凹形为正弯矩;使梁变成凸形为负弯矩。
M(+)
M(–)
14
[例7-1]计算图(a)所示外伸梁中2-2截面及无限接近支座A与 支座B的1--1、3-3截面上的剪力与弯矩。
31
(2)根据微分关系绘制剪力图和弯矩图 [例7-6] 作出如图(a)所示外伸梁的内力图。 解:(1)求支座反力
MB 0
FA
1 qa 2
MA 0
FB
3 qa 2
(2)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
32
(2)根据微分关系绘制剪力图和弯矩图 [例7-6] 作出如图(a)所示外伸梁的内力图。 解:(1)求支座反力
MB 0
FA
1 qa 2
MA 0
FB
3 qa 2
(2)作剪力图和弯矩图
弯矩图如图(c)所示:
33
dF dx
q
29
剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
FS
FS
FS
FS
FS1
FS
特
征
x
x
x
x
FS>0 FS<0 增函数 减函数
C
FS2
x
FS1–FS2=F
C x
M 图
M
斜直线
M x
x
M
特
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xl)
22
[例7-4] 作出如图(a)所示集中载荷下简支梁的内力图。 (3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
23
主要点的剪力FS(x)、弯矩M(x)
x
FS
0
A截面右侧
Fb
l
Fb
左侧
a
C截面
l
右侧 F a
l
l
B截面左侧
Fa l
M 0
Fab l
0
24
事实上集中力不可能作用在一 个点上,而是作用在一个微段上。
(4)
FSmax Me /l a<b时:
M max
Meb/l
27
5.剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及其应用
(1)剪力、弯矩与分布载荷集度间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析,有:
Fy 0
x
dx
q
F S q d x (F S d F S ) 0
dFS q dx
M
O M+dM
FS dx FS+dFS
解:(1)计算支座反力
MB 0
qa2FA2a12qa20
1 FA 4 qa
Fy 0 FBqaFA34qa
15
(2)计算1-1截面上的内力
Fy 0 FS1 0
MO1 0 M1qa2
(3)计算2-2截面上的内力
Fy 0
FS2
FA
1qa 4
MO2 0 M 2FAaqa23 4qa2
(4)计算3-3截面上的内力
“红领巾”真好
厦门市松柏第二小学 吴小蔚
目录
7.1 平面弯曲的概念 7.2 梁的内力 内力图 7.3 梁横截面上的应力及强度条件 7.4 梁的弯曲变形及刚度条件 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例 7.6 简单超静定梁的解法
2
§7.1 平面弯曲的概念 1、弯曲变形与平面弯曲
3
4
5
Biblioteka Baidu
受力特点: 杆受外力偶或垂直于轴线的外力作用
1 FS(x)FAqx2qlqx
(0xl)
M (x)F A x1 2qx21 2qlx1 2qx2 (0xl)
20
[例7-3] 作出如图(a)所示均布载荷下简支梁的内力图。
并求 FS m ax 和 M m ax 。
(3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示:
弯矩图如图(c)所示:
(4)
FS
max
1 ql 2
FS(x)
FA
Me l
(0xl)
AC段: M(x)FAxMle x
(0xa)
CB段: M (x ) F B (l x ) M le(l x ) M lex M e (axl)
[例7-5] 作出如图(a)所示集中力偶作用下简支梁的内力图。 (3)作剪力图和弯矩图
剪力图如图(b)所示: 弯矩图如图(c)所示:
剪力和弯矩的变化在微段上是 逐渐变化的。
在集中力作用截面处,剪力方 程为开区间。
同样,对集中力偶作用截面 处,弯矩方程为开区间。
25
[例7-5] 作出如图(a)所示集中力偶作用下简支梁的内力图。
并确定 FS m ax 和 M m ax 。
解:(1)求支座反力
MB
0
FA
Me l
MA
0FB
Me l
(2)写出内力方程
变形特点: 原为直线的轴线变成了曲线 这种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。
6
绝大部分受弯杆件的横截面都有一根对称轴:
纵向对称面——对称轴与轴线组成的纵向平面。
F1
q
F2
M 纵向对称面
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平面弯曲——如果外力位于纵向对称面内,杆发生弯曲 变形后,轴线仍然和外力在同一平面内。
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3、剪力方程和弯矩方程:
剪力和弯矩与截面位置坐标(x)间的函数关系式。 FS= FS(x)——剪力方程 M= M(x) ——弯矩方程 剪力图——FS= FS(x)的图线表示 弯矩图——M= M(x)的图线表示
18
[例7-2] 作出如图(a)所示均布载荷下悬臂梁的内力图。 解:(1)写出内力方程
梁的一端为固定铰链支座,另一端为滚动支座。 ②外伸梁
梁的一端或两端都外伸出支座。 ③悬臂梁
梁的一端为固定端,另一端为自由端。
12
§7.2 梁的内力 内力图
1、截面法求内力:
A
已知 F,a,l。
求m-m截面上内力。 FA
解: Fy 0 FS FA
A
MC 0 MFAa
弯曲梁内力
剪力FS FA
弯矩M
m
剪力图上某点的切线斜率等于梁 上该点处分布荷载集度的大小。
28
MO 0 M F S d x 1 2 q (d x )2 (M d M ) 0
dM dx FS
弯矩图上某点的切线斜率等于梁上该点对应截面剪力的大小。
q
M
O M+dM
FS dx FS+dFS
弯矩与荷载集度的关系是:
d2M dx2
M 1 ql2 max 8
21
[例7-4] 作出如图(a)所示集中载荷下简支梁的内力图。
解:(1)求支座反力
MB 0
FA
Fb l
MA 0
FB
Fa l
(2)写出内力方程
AC段:FS ( x)
Fb l
(0xa)
M (x) Fb x (0xa) l
CB段:
FS(x)FB
Fa l
(axl)
M (x ) F B (l x ) F la (l x ) F a F la x(a
M x
x 与M
M1 x
m
征
反
M2
增函数 减函数 下凸 上凸 折向与F反向 M1M2m
q,FS,M图的线型依次递增一次,若q为水平线,则FS图 将为斜线,而M图则为二次曲线;若q等于零,则FS图将 为水平线,而M图则为斜线。 M图的凹向同q指向,当q指向上方时,q值为正,M对x的 二阶导数大于零,弯矩图将凹曲线,反之M图将凸曲线。 当FS等于零时,M取极值。 集中力作用的截面, FS图有突变,突变值等于集中力的值。 M图上有折点;集中力偶作用的截面,M图有突变,突变 值等于集中力偶的值。