金融衍生品定价中英文对照外文翻译文献

金融衍生品定价中英文对照外文翻译文献(文档含英文原文和中文翻译)

金融衍生品定价的精算风险措施

1. 引言

无论是直接或间接由一个公理来描述，风险措施的精算定价通常都是合理的。金融衍生产品定价通常依赖于无套利原则。本文建立了一个新的关系。

本文的关系基于历史悠久的Esscher转换。Esscher转换是十分有用的保险和金融产品的定价的工具。Buhlmann (1980)，在溢价原则的基础上指出Esscher 变换是在一个一般均衡派生模型中，决策者必须服从负指数效用函数;Iwaki （2001）以多段设置延伸了该模型。 Gerber和Goovaerts（1981）建立了递增法的溢价原则其涉及到了Esscher的混合变换。

在金融环境，Gerber和Shiu（1994，1996）使用Esscher变换构造等价鞅措施为了L′evy过程（带独立和固定增量）。受此启发，Buhlmann（1996）更多在一般条件下使用Esscher变换来构造等价鞅测度类半鞅。

在本文中，建立风险评估机制的方法是由一个公理化特性用来描述一个可以生成无套利金融衍生品价格近似值的价格机制。特别地，本文提出一个价格的表示定理。价格表示衍生涉及概率测度变换，它是密切相关的Esscher变换，我们称之为 Esscher-Girsanov变换。我们证明了在金融市场，其中，由主资产价格被表示关于布朗运动的随机微分方程，近似值无套利金融衍生品价格一致随着价格的代表性得出。

建立表示定理的步骤可以制定如下:

1、有序Esscher-Girsanov变换意味着有序价格。如果价格措施适用于正态分布随机变量，则这个公理是等价于“遵守二阶随机支配”。

2、价格措施是适当地标准化，使得的C非随机的单位价格等于C非随机的单位。

3、Esscher-Girsanov转换金额的可加性。如果价格措施适用于正态分布的随机变量，这公理等价于“超可加性和单调可加性价格措施“，从而掌握多样化的好处。

4、连续性条件，对于建立定理是必要的数学证明。

这篇文章的要点如下：在第2章中，源于它和我们讨论的公理化混合Esscher 原则，我们考虑Esscher 变换，我们研究了一些随机序列关系。在第3章中，我们将介绍Esscher-Girsanov 变换和公理化的价格措施由它引起的。第4章涉及的金融定价衍生工具由Esscher-Girsanov 变换手段。

2. 随机排序和Esscher 转换

我们修复一个概率空间()P Ω,,F ，在本文中，除非另有说明，一个随机变量（RV ）代表净收入或利润在未来某个时间。自始至终，我们假设对于任何R.V.在概率空间中定义的，它的瞬间生成函数存在，对于任何的R.V.有X ：R →Ω。

[]

R h e E hX ∈+∞<, （1） 累积分布函数()?X F 对应于给定r.v.X,我们定义：

()()()[]

R h e E x dF e x dF hX X hx h X ∈=, （2） 其Esscher 变换含有参数h 。Esscher （1932）使用变换中的（2）代替了原来的建议累积分布函数，以众所周知的渐近近似适用于; 见格柏（1979）。其原因是，埃奇沃思近似的预期附近表现良好，但在执行的结尾效果十分差。注意当h=0时，原始微分出现，且()?X F 和Esscher 转换

()()?h X F 是等效分布的且它们有相同的空集。不难确认一个正常的cdf 期望μ和变量2σ， 其Esscher 转换是一种正

常的cdf 与期望μ+h 2σ和变量2σ。

其次,对于一个给定的r.v.X,我们定义实值函数()?x ψ如下：

()()()[]

[]hX hX

h X e E Xe E x xdF h x ==?∞+∞-ψ （3） 其中，()h x ψ 被称为Esscher 溢价，其中h 为参数。注意()h x ψ在参数h 中是非递减的。这可以证明容易使用Holder 不等式，并将于稍后使用;同时，观察到在（3）中最后一个表达式的衍生物可以是解释为方差。

在下文中，我们用函数[]

?π表示一个风险测量或——因子X 被解释为净收入或利润而分配一个实数的任何RV 的价格措施或它的累积分布函数。

A1、若()()0,≤≤h h h x Y ψψ，则[][]Y X ππ≤

A2、[]c c =π，对于全部的c

A3、[][][]Y X Y X πππ+=+,其中，X,Y 是独立的

A4、若n X 弱收敛于X,[][]X X n min min →，则

[]

[]X X n n ππ=+∞→lim

在一般的环境下，公理A1可以成立。格柏（1981） 已经指出，Esscher 溢价不单调。如果X 是Y 的一阶随机导数,它不成立。表示为Y X St ≤,然后，()()h h x Y ψψ≤。

因此,公理 A1不保证函数的单调性。

Goovaerts (2004)取代公理A1的更多限制性遵守拉普拉斯变换顺序公理保

障功能的单调性。若[][]

0,≤≥h e E e E hY hX ，则从拉普拉斯变换顺序来看X 比Y 更小。写作Y X Lt ≤。在期望效用模型，拉普拉斯变换顺序表示与决策者的偏好由下式给出负指数效用函数：

()()

0,11<--=h e h x U hx （4） 在这里，-h 是Arrow –Pratt 措施的绝对风险厌恶。

在下面的章节中，正态分布随机变量r.v.是主要介绍额。假设X 和Y 是正太分布。则条件是

()()0,≤≤h h h Y X ψψ （5） 当于条件Y X Y X σσμμ≥≤,,为了验证上述公式，注意正太分布r.v.满足：

()2X X X h h σμψ+= （6）

此外,不难验证,如果X 和Y 正态分布，当且仅当条件（5）成立，Y X Lt ≤。 更为普遍的是,如果X 和Y 正态分布，且Y X Y X σσμμ≥≤,，那么X 是二阶随机以Y 为主，所以Y 是优先于X 的任何风险规避的期望效用决策制造者。特别的，当且仅当Y X Y X σσμμ≥≤,，r.v.是正态分布的且Y X Lt ≤。

在经济学文献中，公理A2有时被称为确定性等价条件。请注意，C 扮演着两个在公理A2角色：一个退化的r.v.位于c 上的左手侧和在右手侧的实数。公理A3指出价格相加为独立随机变量的的可取性。公理A4是在价格上衡量一个连续性条件 []?π。我们给出如下引理：

引理 2.1 价格测量[]?π满足条件A1到A4，当且仅当存在非负函数H ：[][]1,0→∞-，因此

[]()[]()h dH h X X ?∞-=0,ψπ （7）

注2.1 Gerber 和Goovaerts （1981）建立了一个的混合Esscher 原则公理化刻画。Goovaerts （2004）提出了公理化的混合指数原则。它是直接验证为常分布随机变量的任何混合Esscher 保费是一个混合指数溢价，反之亦然。在一般情况

下，它仅认为任何混合指数溢价是一个混合Esscher 溢价。

注2.2 可以将混合函数H （·）视为一个累积分布函数，支撑在（-∞，0]和可能的故障与转折点在-∞。它可以作为一个先验分布为Arrow –Pratt 度量绝对风险厌恶。要知道为什么参数-H 参与在Esscher 变换可以被解读为箭，普拉特Arrow –Pratt 衡量绝对风险厌恶相应的决定制造商与负指数效用函数。

注2.3 引理2.1中的价格测量[]?π可以表示为[][]x E x =π，其中期望计算使用微分。

3. Esscher-Girsanov 转换

在上一节中，我们提出了一个代表性定理对于那些添加剂的独立价格措施R.V.的。得到的价格表示可以被视为一个（混）Esscher 变换概率预期下测量。在本节中，我们将介绍一个密切相关的概率测度变换和公理化的价格措施由它引起的。

对于一个给定的r.v 。X,我们定义扩展实值函数()?X φ:

()()()x F x X X 1-=φφ （8） 1-φ表示逆的分布函数的标准正态分布。众所周知的，如果函数FX 是连续的，那么，R.V. ()x X φ是正态分布的，且均值为0，方差为1，在本节的其余部分，除非另有说明者外，我们限制RV 与连续CDF 。我们有如下定义：

定义3.1 (Esscher ——Girsanov 转换)。对于累积分布函数()?X F 且由其微分d ()?X F 对应于给定r.v.X,和一个给定的实数v,我们定义如下：

（9） 其中Esscher-Girsanov 转换参数为h 、v(绝对的分别为风险规避和惩罚参数)。Igor V Girsanov 的名称被安装在概率上述措施变换定义强调的密切中所用的Radon-Nikodym 导数之间的相似性（9），并在Girsanov 的使用的Radon-Nikodym 导数定理;参见，Karatzas 和Shreve （1988）。

在这个阶段，h 和v 只有产品似乎相关。然而，这两个参数下面将扮演两个不同的角色。按照乌尔曼（1980）中，h 可以被解释为的绝对风险厌恶系数，而V ()x X φ可能把握总体市场风险。凭借CLT ，在通常的的情况下，总体市场风险可

以很好地近似由正常R.V.此外，当只有正常个体风险被视为（如在第4节，至少无穷）总体市场风险是完全正常的。

由此不难验证为具有正常的CDF 期望μ和方差2

σ，其Esscher-Girsanov 变换与期望μ+ HV 正常的CDF 和方差σ2。在特别是，当v=σ，我们平凡发现，对Esscher-Girsanov 变换是一个普通的Esscher 变换。因此，对于一个正常的

CDF 的Esscher-Girsanov 变换，就像普通Esscher 变换，改变了平均同时保留方差。请注意，对于平均值的变化，该值均值是无关紧要的。在下文中，我们令v 是严格正和暂时固定和h 的域限制到h ≤0。

我们介绍了实值函数()?v X ψ定义为：

（10）

此后，函数()h v X ψ被称为Esscher-Girsanov 该R.V.X 的价格。参数h ≤0和

v> 0。鉴于V ，存在X 之间的唯一对应关系其Esscher-Girsanov 价格在某种意义上说，X = Y 在分布成立当且仅当

()()0,≤=h h h v Y v X ψψ （11）

为了验证这种说法,有

（12） 上式可以被视为一个拉普拉斯变换,所以在函数()?v X ψ和

()?-1X F 之间有一一对应且一致的关系。其中，函数()h v X ψ对于给出的h 的导数为：

（13）

其中括号中的表达式可以被视为X 和()X X φ的Esscher-Girsanov 协方差且非负。正如有人指出，在Goovaerts （2004），价格衡量其特征引理2.1有一个

对应的分配一个实数的函数。类似的，用[]

?v ρ表示分配一个实数的任何函数()?v X ψ。我们令价格测量[]?π定义为：

[][]v X v v X ψρπ= （14） 为了能够遵循前面的设定[]

?v ρ需满足： B1、若()()0,≤≤h h h v Y v X ψψ，则

[][]v Y v v X v ψρψρ≤

B2、[]c c v =ρ，对于全部的c

B3、

[][][]v Y v v X v v Y v X v ψρψρψψρ+=+ B4、如果()h v X n ψ弱收敛于()h v X ψ，[]0,∞-∈h 则

[][]v X v v X v n n ψρψρ=+∞→lim

注意公理B2、B4和A2、A4相似。而且，

()()0,≥=c h c h v X v cX

ψψ 我们注意到，对于正态分布随机变量r.v.，公理B1是类似公理A1的，而

且引起的二阶随机占优维护[]

?v π的权益。容易验证，如果X 和Y 是两个正态分布随机变量，则其线性相关系数为ρxy ，则

（15） 因此，对于r.v.的正态分布，公理B3相当于投资组合的条件是价格X + Y 等于价格r.v.正太分布。

定义3.2 （离散时间Esscher-Girsanov 转换）。对于累积分布函数()?n X F ，其微分为()?n X dF ，相似与连续的r.v.n X 。对于一个给定的严格的正函数v(·),

我们定义为：

（16）

其离散时间Esscher-Girsanov 转换参数为h 和罚函数为v(·)。

离散时间Esscher-Girsanov 转换视为一个特定条件Esscher 转换的例子（见Buhlmann （1996））,尽管有一个微妙的区别在于,按照经济解释和公理化,我们使用一个常数Arrow-Pratt 绝对风险规避的措施。

4. 金融衍生品定价的Esscher-Girsanov 转换

在本节中,我们将显示,在金融市场的主要资产是由一个随机表示微分方程(SDE)对于布朗运动, 价格机制基于Esscher-Girsanov 转换可以生成无套利近

似值金融衍生品的价格。

我们考虑一个有限的时间范围+∞

我们考虑一个齐次时间的主要资产的过程，()T t S S t ≤≤=0:，其定义为一个随机微分方程的形式：

（17）

其中，()T t B B R R R R t ≤≤=→→0:,:,:σμ表示一个标准布朗运动。我们指出在一般的情况下S 不需要是正数，因为它代表一个任意的主要资产。然而，如果一个已在考虑应用程序需要积极主要资产的过程，μ（·）和β（·）的附加条件就可以实施。

接着，我们考虑一个债券价格的过程()T t t ≤≤=0:ββ，定义SDE 为

（18）

其中，R R r →:足够光滑对于存在的积分

（19） 虽然我们限制自己齐次时间初选资产的过程,一般扩散过程是可行的。然而,

最著名的扩散过程已经包含在公式(17)。

定理4.1 假设S 是一个交易的资产。如果()()()()x x x r x x v σμ-=且

()???≥=否则,01,1h h H 然后，

()()[]T v t S g ?π伴随着近似无套利金融衍生品的价格()T S g 在时间[]T t ,0∈。 证明：在一个完整的金融自由市场，著名的偏微分方程能够描述近似无套利金融衍生品价格，考虑偏微分方程：

在这种情况下，

()()()

()x

x

x

r

x

x

v

σ

μ-

=

且1

-

=

h。证明完毕。

Actuarial risk measures for financial derivative

pricing

1 Introduction

Risk measures for actuarial pricing are usually justified,either directly or indirectly, by means of an axiomatic characterization.Financial derivative pricing usually relies on principles of no arbitrage. Various attempts to connect the two approaches are available in the literature; the interested reader is referred to Embrechts (2000) for a review. This paper establishes a new connection.

The connection is based on the time-honored Esscher transform. The Esscher transform has proven to be a valuable tool for the pricing of insurance and financial products.In Buhlmann (1980), a premium principle based on the Esscher transform is derived within a general equilibrium model in which decision makers have negative exponential utility functions; see Iwaki et al. (2001) for an extension of that model to a multi-period setting. Gerber and Goovaerts (1981) established an axiomatic characterization of an additive premium principle that involves a mixture of Esscher transforms.

In a financial environment, Gerber and Shiu (1994, 1996) use the Esscher transform to construct equivalent martingale measures for L′evy processes (with independent and stationary increments). Inspired by this, Buhlmann et al. (1996) more generally use conditional Esscher transforms to construct equivalent martingale measures for classes of semi-martingales.

In this paper, the approach of establishing risk evaluation mechanisms by means of an axiomatic characterization is used to characterize a price mechanism that can generate approximate-arbitrage-free financial derivative prices. In particular, this paper presents a representation theorem for price measures that are superadditive and comonotonic additive for normally distributed random variables. The price

representation derived involves a probability measure transform that is closely related to the Esscher transform, and which we call the Esscher –Girsanov transform. We demonstrate that in a financial market in which the primary asset price is represented by a stochastic differential equation with respect to Brownian motion, approximate-arbitrage-free financial derivative prices coincide with the price representation derived.

The axioms imposed to establish the representation theorem can be formulated as follows:

1. Ordered Esscher –Girsanov transforms implies ordered prices. If the price measure is applied to normally distributed random variables, this axiom is equivalent to “respect for second-order stochastic dominance ”.

2. The price measure is appropriately normalized such that the price of c non-random units is equal to c non-random units.

3. Additivity for sums of Esscher –Girsanov transforms. If the price measure is applied to normally distributed random variables, this axiom is equivalent to “superadditivity and comonotonic additivity of the price measure ”, thus capturing the benefits of diversification.

4. Continuity conditions, which are necessary for establishing the mathematical proofs.

The outline of this paper is as follows: in Section 2, we consider the Esscher transform, we study some stochastic order relations derived from it and we discuss the axiomatization of the mixed Esscher principle. In Section 3, we introduce the Esscher –Girsanov transform and axiomatize a price measure induced by it. Section 4 addresses the pricing of financial derivatives by means of Esscher –Girsanov transforms.

2 Stochastic ordering and the Esscher transform

We fix a probability space ()P Ω,,F ,In this paper, unless otherwise stated, a random variable (r.v.) represents net income or profit at a future point in time. Throughout, we assume that for any r.v. defined on the probability space, its moment generating function exists, i.e., for any r.v.X ：R →Ω.

[]R h e E hX ∈+∞<, (1)