湘教版七年级上册数学全册教学设计

湘教版七年级上册数学全册教学设计

1．1 具有相反意义的量

1．能用正、负数表示生活中具有相反意义的量；(重点)

2．理解正负数的意义，会判断一个数是正数还是负数；(重点)

3．理解有理数的意义，会对有理数进行分类．(难点)

一、情境导入

今年年初，一股北方的冷空气大规模地向南侵袭我国，造成大范围急剧降温，部分地区降温幅度超过10℃，南方有的地区的温度达到－1℃，北方有的地区甚至达－25℃，给人们生活带来了极大的不便．

这里出现了一种新数——负数，负数有什么特点？你知道它们表示的实际意义吗？ 二、合作探究

探究点一：正、负数的认识 【类型一】 区分正数和负数

下列各数哪些是正数？哪些是负数？

－1，2.5，＋43，0，－3.14，120，－1.732，－2

7中，正数是______________；负数是

______________．

解析：区分正数和负数要严格按照正、负数的概念，注意0既不是正数也不是负数．在－1，2.5，＋43，0，－3.14，120，－1.732，－27中，负数有－1，－3.14，－1.732，－2

7；

正数有2.5，＋43，120；0既不是正数也不是负数．故答案为2.5，＋4

3，120；－1，－3.14，

－1.732，－2

7

.

方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数．

【类型二】 对数“0”的理解

下列对“0”的说法正确的个数是( )

①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，

如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．0

解析：0除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确．故选A.

方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等．

【类型三】 对正、负数有关的规律探究

观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第

105个数、第2016个数吗？

(1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；

(2)一列数：－1，12，－3，14，－5，1

6

，____，____，____，….

解析：(1)对第n 个数，当n 为奇数时，此数为n ；当n 为偶数时，此数为－n ；(2)对第n 个数，当n 为奇数时，此数为－n ；当n 为偶数时，此数为1

n

.故(1)中应填7，－8，9；

第10个数为－10，第105个数是105，第2016个数是－2016；(2)中应填－7，1

8，－9；第

10个数为110，第105个数是－105，第2016个数是1

2016

.

方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化

规律，发现数字排列的特征．

探究点二：具有相反意义的量

【类型一】 用正、负数表示具有相反意义的量

如果温泉河的水位升高0.8m 时水位变化记作＋0.8m ，那么水位下降0.5m 时水位

变化记作( )

A ．0m

B ．0.5m

C ．－0.8m

D ．－0.5m

解析：由水位升高0.8m 时水位变化记作＋0.8m ，根据相反意义的量的含义，则水位下降0.5m 时水位变化就记作－0.5m ，故选D.

方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负．

【类型二】 用正、负数表示误差的范围

某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问

“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL ，511mL ，489mL ，473mL ，527mL ，问抽查产品的容量是否合格？

解析：＋30mL 表示比标准容量多30mL ，－30mL 表示比标准容量少30mL.则合格范围是指容量在470～530(mL)之间．

解：“500±30(mL)”是500mL 为标准容量，470～530(mL)为合格范围.503mL ，511mL ，489mL ，473mL ，527mL 在合格范围内，抽查产品的容量是合格的．

方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少．

探究点三：有理数的概念及分类

把下列各数填入相应的括号内．－10，8，－7

1

2

，3

3

4

，－10%，

3

101

，2，0，3.14，－67，

3

7

，0.618，－1

正数{ }；

负数{ }；

整数{ }；

分数{ }．

解析：要将各数填入相应的括号里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的括号时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼．

解：正数

?

?

?

?

?

?

8，3

3

4

，

3

101

，2，3.14，

3

7

，0.618，…；

负数

?

?

?

?

?

?

－10，－7

1

2

，－10%，－67，－1；

整数{－10，8，2，0，－67，－1}；

分数

?

?

?

?

?

?

－7

1

2

，3

3

4

，－10%，

3

101

，3.14，

3

7

，0.618.

方法总结：在填数时要注意以下两种方法：

(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一类数；(2)逐个填写相应括号，从给出的数中找出属于这个类型的数，避免出现漏数的现象．

三、板书设计

1．正数和负数

??

?

??

正、负数的定义

具有相反意义的量

0的含义

2．有理数的概念

(1)整数：正整数、零和负整数统称整数．

(2)有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数．

3．有理数的分类

①按定义分类为：②按性质分类为：

有理数

??

?

??整数

??

?

??

正整数

零

负整数

分数

??

?

??正分数

负分数

有理数

??

?

??正有理数?????正整数

正分数

零

负有理数

??

?

??负整数

负分数

本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分．使学生经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知．在有理数分类的教学中，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程，避免教师直接分类带来学习的枯燥性．要有意识地突出“分类讨论”数学思

想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的．1．2数轴、相反数与绝对值

1.2.1数轴

1．掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；(重点)

2．会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数；(难点)

3．会根据数轴上的点读出所表示的有理数；(难点)

4．感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的．

一、情境导入

1．欣欣感冒了，医生用体温计测量了她的体温，并说：“37.8度．”

提出问题：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？

2．我们再一起去看看中秋节祖国各地的自然风光和温度情况(电脑分别显示嘉峪关、长白山、颐和园三个旅游景点的自然风光，温度分别为－3℃，0℃，20℃)

嘉峪关－3℃长白山0℃颐和园20℃

提出问题：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要用到哪些数？

3．请尝试画出你想象中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要提出自己的见解．提出问题：温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？

二、合作探究

探究点一：数轴的概念

下列图形中是数轴的是( )

A.B.

C.D.

解析：A中的没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误．故选C.

方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．

探究点二：有理数与数轴的关系

【类型一】读出数轴上的点所表示的数

指出图中A、B、C、D、E、F各点所表示的数．

解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度．

解：由图可知，A 点表示－4.5；B 点表示4；C 点表示－2；D 点表示5.5；E 点表示0.5；F 点表示7.

方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A 、D 这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个整数之间．

【类型二】 在数轴上表示有理数

画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：

－5，2.5，3，－52，0，－3，31

2

.

解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短

不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离．

解：如图：

方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．

【类型三】 数轴上两点间的距离问题

数轴上的点A 表示的数是＋2，那么与点A 相距5个单位长度的点表示的数是

( )

A ．5

B ．±5

C ．7

D ．7或－3

解析：与点A 相距5个单位长度的表示的数有2个，分别是7或－3，故选D .

方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧． 三、板书设计 1．数轴 (1)原点 (2)正方向 (3)单位长度

2．数轴上的点与有理数间的关系 (1)原点表示零

(2)原点右边的点表示正数 (3)原点左边的点表示负数

数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学．让学生通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律．

1.2.3 绝对值

1．理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；(重点)

2．会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；(难点)

3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．

一、情境导入

从一栋房子里，跑出有两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边3米处以及房子的东边3米处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西3米处，黄狗跑向东3米处分别衔起了骨头．

问题：1.在数轴上表示这一情景． 2．两只小狗它们所跑的路线相同吗？ 3．两只小狗它们所跑的路程一样吗？

在实际生活中，有时存在这样的情况，有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中，就是不需要考虑数的正负性，比如：在计算小狗所跑的路程时，与狗跑的方向无关，这时所走的路程只需要用正数来表示，这样就必须引进一个新的概念——绝对值．

二、合作探究

探究点一：绝对值的意义及求法 【类型一】 求一个数的绝对值

－3的绝对值是( )

A ．3

B ．－3

C ．－13

D .1

3

解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A .

方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【类型二】 利用绝对值求有理数

如果一个数的绝对值等于2

3

，则这个数是__________．

解析：因为23或－23的绝对值都等于23，所以绝对值等于23的数是23或－2

3

.

方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某

一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．

【类型三】 化简绝对值

化简：

??????－35＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 解析：??????－35＝3

5

；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.

方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a ＞0，则|a|＝a ；若a ＝0，则|a|＝0；若a ＜0，则|a|＝－a.

探究点二：绝对值的性质及应用 【类型一】 绝对值的非负性及应用

若|a －3|＋|b －2015|＝0，求a ，b 的值．

解析：由绝对值的性质可得|a －3|≥0，|b －2015|≥0.

解：由题意得|a －3|≥0，|b －2015|≥0，又因为|a －3|＋|b －2015|＝0，所以|a －3|＝0，|b －2015|＝0，所以a ＝3，b ＝2015.

方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 【类型二】 绝对值在实际问题中的应用

第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质

量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数)．

(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g 的为优等品，超过0.1g 但不超过0.3g 的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．

解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近．将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．

解：(1)四号球，|0|＝0，正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克；

(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球|－0.15|＝0.15，合格品．

方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．

三、板书设计

1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|a|.

2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝?????a （a>0）0（a ＝0）－a （a<0）

或|a|＝?????a （a≥0），－a （a<0）.

绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是

一个难点内容．教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义．在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合．

1.2.2 相反数

1．借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；(重点) 2．了解一对相反数在数轴上的位置关系；(重点)

3．掌握双重符号的化简；(难点)

4．通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法．

一、情境导入

1．让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右)，规定向右为正(正号可以省略)，向右走2步，向左走2步各记作什么？

2．规定两个同学未走时的点为原点，用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和－2表示出来．

3．从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和－2表示，这两个数具有什么特点？

二、合作探究

探究点一：相反数的意义

【类型一】 相反数的代数意义

写出下列各数的相反数：16，－3，0，－1

2015

，m ，－n.

解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0. 解：－16，3，0，1

2015

，－m ，n.

方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0.

【类型二】 相反数的几何意义

(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为

____________．

(2)在数轴上，若点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，点A 在点B 的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A ＝______，B ＝______．

解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，所以距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)因为点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，所以原点到点A 与点B 的距离相等，因为A 、B 两点间的距离是12.8，所以原点到点A 和点B 的距离都等于6.4.因为点A 在点B 的左侧，所以这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.

方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧．

【类型三】 相反数与数轴相结合的问题

如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A 、B 表示的两数互为相反数，则点

C 所表示的数为( )

A ．2

B ．－4

C ．－1

D ．0

解析：由题意如图，

数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，所以点C 所表示的数为－1，故应选C .

方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C 所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等．探究点二：化简多重符号

化简下列各数．

(1)－(－8)＝________；

(2)－? ????＋1518＝________； (3)－[－(＋6)]＝________；

(4)＋? ??

??＋35＝________． 解：(1)－(－8)＝8；

(2)－? ????＋1518＝－1518； (3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6； (4)＋? ????＋35＝35

.

方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

三、板书设计 1．相反数

(1)只有符号不同的两个数互为相反数． (2)a 的相反数是－a ，0的相反数是0. (3)互为相反数的两个数和为0. 2．多重符号的化简

(1)偶数个“－”号，结果为正数． (2)奇数个“－”号，结果为负数．

从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义．通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义．让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性．

1．3 有理数大小的比较

1．掌握有理数大小比较的法则；(重点) 2．掌握用数轴比较有理数的大小；(重点)

3．会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”连接；(重点)

4．会初步进行有理数大小比较的推理．(难点)

一、情境导入

某一天我国5个城市的最低气温如图所示：

(1)从刚才的图片中你获得了哪些信息？

(2)比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)； 广州______上海；北京______上海；北京______哈尔滨；武汉______哈尔滨；武汉______广州．

二、合作探究

探究点一：运用法则比较有理数的大小 【类型一】 直接比较大小

比较下列各对数的大小：

(1)3和－5； (2)－3和－5；

(3)－2.5和－|－2.25|；

(4)－35和－34

.

解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反

而小．

解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；

(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；

(3)因为|－2.5|＝2.5，||－|－2.25|＝2.25，2.5>2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；

(4)因为??????－35＝3

5

，|－34|＝34，35＜34，所以－34<－35.

方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．

【类型二】 有理数的最值问题

设a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 是最小的正整数，则a 、b 、c 三数

分别为( )

A ．0，－1，1

B ．1，0，－1

C ．1，－1，0

D ．0，1，－1

解析：因为a 是绝对值最小的数，所以a ＝0，因为b 是最大的负整数，所以b ＝－1，因为c 是最小的正整数，所以c ＝1，综上所述，a 、b 、c 分别为0、－1、1.故选A .

方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.

探究点二：借助数轴比较有理数的大小 【类型一】 借助数轴直接比较数的大小

画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，1

2，－11

2

，4，

0.

解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行

比较．

解：如图所示：

因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜1

2

＜4＜＋5.

方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决

本题的关键．

【类型二】 借助数轴间接比较数的大小

已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确

的是( )

A ．a ＜b ＜－a ＜－b

B ．b ＜－a ＜－b ＜a

C ．－a ＜a ＜b ＜－b

D ．－b ＜a ＜－a ＜b

解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，则有－b ＜a ＜－a ＜b.故选D .

方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小．

三、板书设计

1．借助数轴比较有理数的大小： 在数轴上右边的数总比左边的数大 2．运用法则比较有理数的大小： 正数与0的大小比较 负数与0的大小比较 正数与负数的大小比较 负数与负数的大小比较

本节课的教学目标是让学生掌握比较有理数大小的两种方法，教学设计主要是从基础出发，从简单到复杂，层层递进，让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法．通过本节的教学，大部分学生能够理解法则的内容，但真正掌握有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固．同时在教学中还要充分发挥学生的主体意识，让学生逐步解决所设计的问题，并能举一反三．

1．4 有理数的加法和减法 1．4.1 有理数的加法

第1课时 有理数的加法

1．理解有理数加法的意义； 2．初步掌握有理数加法法则；

3．能准确地进行有理数的加法运算，并能运用其解决简单的实际问题．(重点)

一、情境导入

我们已经熟悉正数的运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围．例如，足球循环赛中，通常把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫作净胜球数．本章前言中，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球．于是红队的净胜球为4＋(－2)，黄队的净胜球为1＋(－1)．这里用到正数与负数的加法．

二、合作探究

探究点一：有理数的加法的法则

计算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；

(2)? ????＋456＋? ??

??－312； (3)(－5.25)＋51

4

；

(4)(－89)＋0.

解析：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．

解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77； (2)? ????＋456＋? ????－312＝113

； (3)(－5.25)＋51

4

＝0；

(4)(－89)＋0＝－89.

方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值．

探究点二：有理数加法的应用

【类型一】 有理数加法在实际生活中的应用

股民默克上星期交易截止前以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周

(1)星期三收盘时，每股多少元？

(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？

解析：(1)用买进的价格加上星期一、星期二、星期三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格，然后即可得解．

解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；

(2)星期一：67＋4＝71(元)，星期二：71＋4.5＝75.5(元)，星期三：75.5＋(－1)＝74.5(元)，星期四：74.5＋(－2.5)＝72(元)，星期五：72＋(－6)＝66(元)，所以本周内每股最高价为75.5元，最低价66元．

方法总结：股票每天的涨跌都是在前一天的基础上进行的，不要理解为每天都是在67元的基础上涨跌．另外熟记运算法则并根据题意准确列出算式也是解题的关键．

【类型二】

和有理数性质有关的计算问题

已知|a|＝5，b 的相反数为4，则a ＋b ＝________．

解析：因为|a|＝5，所以a ＝－5或5，因为b 的相反数为4，所以b ＝－4，则a ＋b ＝－9或1.

方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解．

三、板书设计

加法法则?????（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值

相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较

大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小 的绝对值；

（3）互为相反数的两数相加得0；（4）一个数同0

相加，仍得这个数.

本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学，使学生在情境中提出问题，并寻找解决问题的途径，因此不知不觉地进入学习氛围，使学生从被动学习变为主动探究．在本节教学中，要坚持以学生为主体，教师为主导，致力联系学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中．

第2

课时 有理数加法的运算律

1．理解有理数加法的运算律，并能熟练的运用运算律简化运算；(重点)

2．经历探索有理数加法的运算律的过程，体验探索归纳的数学方法．

一、情境导入

宋国有个非常喜欢猴子的老人．他养了一群猴子，整天与猴子在一起，因此能够懂得猴子们的心意．因为粮食缺乏，老人想限制口粮．那天，他故意先对猴子们说：“以后给你们吃桃子，早晨三颗晚上四颗，好不好？”众猴子听了都很愤怒．老人马上改口说：“那就早上四颗晚上三颗吧，够了吗？”众猴子非常高兴，大蹦大跳起来．

大家听完故事，请说说你的看法． 二、合作探究

探究点一：加法运算律

计算：(1)31＋(－28)＋28＋69；

(2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)? ????＋635＋? ????－523＋? ????425＋?

????1＋123. 解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整

数的数相加．

解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；

(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；

(3)? ????＋635＋? ????－523＋? ????425＋? ????1＋123＝? ????635＋425＋? ????－523＋223＝11＋(－3)＝8. 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，

在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．

探究点二：有理数加法运算律的应用

某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A 地出发，晚上最后

到达B 地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km )

＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. 求B 地在A 地何方，相距多少千米？

解析：首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B 地在A 何方，相距多少千米．

解：(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km )．

故B 地在A 地正北，相距1千米． 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答．

三、板书设计

有理数加法运的算律?

???

?交换律：a ＋b ＝b ＋a 结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）

本节课教学以故事引入，在学生已有的知识经验上建构新知，主动探索有理数加法交换

律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动地接受学习变成一种主动探索获取知识．课堂中学生通过自主互助交流，不断地总结规律、方法和解题技巧．

1．4.2 有理数的减法

第1课时 有理数的减法

1．理解掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算；(重点) 2．通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想，通过有理数的减法运算，培养学生的运算技能．

一、情境导入

北京天气预报网每天实时播报天气情况，它会告诉我们各个城市的天气状况和气温变化．下图是2015年1月30日北京天气预报网上的北京天气情况，从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6℃，最低温度为－5℃.那么它的温差怎么算？6－(－5)＝？

二、合作探究

探究点：有理数减法法则

【类型一】 有理数减法法则的直接运用

计算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－31

2－51

4

.

解析：先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．

解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；

(2)－312－514＝－312＋? ????－514＝

－? ??

??312＋514＝－834.

方法总结：进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计

算．要特别注意减数的符号．

【类型二】 有理数减法的实际应用

上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温

的差为( )

A ．5℃

B ．6℃

C ．7℃

D ．8℃

解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C .

方法总结：要根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答．

【类型三】应用有理数减法法则判定正负性

已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．

解析：判断a，b差的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定．

解：因为b＜0，所以－b＞0.又因为a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定，因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号，而a＜0，因此a－b的符号为负号．

方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断；若是解答题，可以将减法转化为加法通过运算法则来解答．

三、板书设计

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．

利用有理数减法法则，可以将有理数减法统一成加法运算．

本节课从实际问题出发，创设教学情境，有效调动学生学习的兴趣和积极性．通过实例计算，激发学生的探索精神．通过大量的数学练习，使学生在计算中巩固解题技能，在小组交流中体验有理数的减法运算的运算魅力，并在教师的指导下自行归纳运算法则；学生亲身体验知识的形成过程，感悟数学的转化思想．

第2课时有理数的加减混合运算

1．会把有理数的加减混合运算统一成加法运算；

2．熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序；(重点)

3．能根据具体问题，适当运用运算律进行简化运算．(难点)

一、情境导入

此时飞机比起飞点高多少千米？

小组探究此时飞机与起飞点的高度，得出以下两种计算方法：

(1)4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)＝1.3＋1.1＋(－1.4)＝2.4＋(－1.4)＝1(千米)；

(2)4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1(千米)．

比较以上两种算法，你发现了什么？

二、合作探究

探究点一：加减混合运算统一成加法运算

将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．

解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32. 读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和； 读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.

方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．

探究点二：有理数的加减混合运算

计算：(1)－9.2－(－7.4)＋91

5＋? ??

??

－625＋(－4)＋|－3|；

(2)－1423＋11215－? ????－1223－14＋? ????－11215； (3)23－18－? ????－13＋? ??

??

－38. 解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．

解：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋? ????

－625＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋

(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1

－4＋3＝0；

(2)－1423＋11215－? ????－1223－14＋?

????－11215＝－1423＋11215＋1223－14－11215＝? ????－1423＋1223＋? ??

??11215－11215－14＝－2＋0－14＝－16；

(3)23－18－? ????－13＋? ????－38＝23－18＋13－38＝? ????23＋13＋? ????－18－38＝1＋? ????－12＝1

2

. 方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置

时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．

探究点三：利用有理数加减运算解决实际问题

下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位

比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：

(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？

(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？

解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．

解：(1)前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01(米)；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66(米)；星期四的水位是＋0.66＋0.13＝0.79(米)；星期五的水位是0.79＋0.28＝1.07(米)；星期六的水位是1.07－0.36＝0.71(米)；星期日的水位是0.71－0.01＝0.7(米)；星期五水位最高，高于警戒水位1.07米；星期一水位最低，高于警戒水位0.2米；

(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7(米)；则本周末河流的水位是上升了0.7米．

方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．

三、板书设计

1．有理数的加减混合运算 (1)将减法转化为加法．

(2)运用加法法则和运算律进行计算． 2．加法运算律

(1)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)． (2)交换律：a ＋b ＝b ＋a.

本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的．通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序．本节课本着“扎实、有效”的原则，既关注课堂教学的本质，又注重学生能力的培养，且面向全体学生来设计教学．

1．5 有理数的乘法和除法 1．5.1 有理数的乘法

第1课时 有理数的乘法

1．理解有理数的乘法法则；

2．能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)

3．会利用有理数的乘法解决实际问题．(难点)

一、情境导入

1．小学我们学过了正数的乘法的意义，比如说2×3，6×2

3，…，一个数乘以整数是求

几个相同加数和的运算，一个数乘以分数就是求这个数的几分之几．

2．计算下列各题：

(1)5×6； (2)3×16； (3)32×1

3；

(4)2×234； (5)2×0； (6)0×2

7

.

引入负数之后呢，有理数的乘法应该怎么运算？这节课我们就来学习有理数的乘法．

二、合作探究

探究点一：有理数的乘法法则

计算：

(1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)? ????－13×14. 解析：(1)(5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘，都得0.

解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45； (2)(－5)×(－9)＝5×9＝45； (3)(－6)×(－9)＝6×9＝54； (4)(－6)×0＝0；

(5)? ????－13×14＝－? ????13×14＝－112. 方法总结：两数相乘，积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负，任何

数乘以0，结果为0.

探究点二：有理数乘法的运用

若定义一种新的运算“*”，规定有理a*b ＝ab －3a.求3*(－4)的值．

解析：此类题为新定义问题，解答此类问题时要根据题设先确定运算顺序，再根据有理数乘法法则进行计算．

解：3*(－4)＝(－4)×3－3×3＝－21.

方法总结：解题时要正确理解题设中新运算的运算方法． 三、板书设计

1．有理数的乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2)任何数与0相乘都得0.

有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容，它与有理数的加法运算一样，也是建立在小学算术运算的基础上．“有理数乘法”的教学，在性质上属于定义教学，历来是一个难点课题，教学时应列举简单的事例，尽早出现法则，然后用较多的时间去练法则，背法则．本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握的前提下，最大限度地使教学的设计过程面向全体学生，充分照顾不同层次的学生，使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念．

第2课时 有理数乘法的运算律

1．学会确定多个因数相乘时积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算；(重点)

2．掌握有理数乘法的运算律，能利用乘法的运算定律进行简化计算．(难点)

一、情境导入

上节课我们学习了有理数的乘法，下面我们做几道题．计算下列各题，并比较它们的结果：

1．(－7)×8与8×(－7)；

[(－2)×(－6)]×5与(－2)×[(－6)×5]．

2.? ????－53×? ????－910与? ????－910×? ??

??－53； ????

??12×? ????－73×(－4)与12×??????? ????－73×（－4）.

让学生自由选择其中的一组问题进行计算，然后在组内交流，验证答案的正确性．

二、合作探究

探究点一：有理数乘法的运算律 【类型一】 利用运算律简化计算

计算：

(1)? ????－56＋38×(－24)； (2)(－7)×? ????－43×5

14

.

解析：第(1)题，按运算顺序应先算括号内的再算括号外的，显然括号内两个分数相加，通分较麻烦，而括号外面的因数－24是括号内每个分数的分母的倍数，若相乘可以约去分母，使运算简便．因此，可利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题，仔细观察，会发现第1个因数－7与第3个因数5

14

的分母可以约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．

解：(1)? ????－56＋38×(－24)＝? ????－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×? ????－43×5

14

＝(－7)×514×? ????－43＝? ????－52×? ????－43＝103.

方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能

使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．

【类型二】 利用乘法的分配律

计算：－32×2

3＋(－11)×? ??

??－23－(－21)×23. 解析：根据乘法分配律的逆运算可先把－23提出，可得－2

3×(32－11－21)，再计算括号

里面的减法，后计算乘法即可．