二次函数与方程不等式的关系
27.3.2二次函数与
一元二次方程、
一元二次不等式的关系
例题:画y=x2-4x+3的草图,回答问题
(1)图象与x轴交点的坐标是什么?
(2)交点坐标与x2-4x+3=0有什么关系?
(3)当x取何值时,y<0?
当x取何值时,y>0?
(4)能否用含有x的不等式来描述(3)中的问题?
议一议
能否利用y=ax2+bx+c (a≠0)的图象
寻找一元二次方程ax2+bx+c=0的解?
不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解?
ax2+bx+c<0(a≠0)的解?
练习1:已知y=-x2+3x+4的图象如图
(1)方程-x2+3x+4=0的解是_______
(2)不等式-x2+3x+4>0
的解集是_______
(3)不等式-x2+3x+4<0
的解集是_______
练习2:已知y=-x2+3x+4的图象如图
(1)方程-x2+3x+4=0的解是_______
(2)不等式-x2+3x+4>0
的解集是_______
(3)不等式-x2+3x+4<0
的解集是_______
练习3:已知y=x2-4x+4的图象如图
(1)方程x2-4x+4=0的解是_______
(2)不等式x2-4x+4>0
的解集是_______
(3)不等式x2-4x+4<0
的解集是_______
练习4:已知y=x2-4x+5的图象如图
(1)方程x2-4x+5=0的解是_______
(2)不等式x2-4x+5>0
的解集是_______
(3)不等式x2-4x+5<0
的解集是_______
规律总结:
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根
是x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
两个交点坐标分别是(x1,0),(x2,0)
2、根据图象可求出不等式ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0的解,先观察图象,找出抛物线与x轴的交点,再根据__________写出不等式的解集。
结论:
y=ax2+bx+c的图象与轴的交点可以用ax2+bx+c=0的根的判别式判定:
△>0,抛物线与轴有2个交点
△=0,抛物线与轴有1个交点
△<0,抛物线与轴有0个交点
1、已知y=ax2+x+2,
当a取何值时,
(1)图象与x轴有两个交点?
(2)图象与x轴有一个交点?
(3)图象与x轴无交点?
2、已知二次函数y=ax2-ax+3x+1
的图象的最低点在x轴上,求a的值
3、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(a,0),B(b,0),且a2+b2=17,求k的值
回顾与反思:二次函数的图象与x轴有
无交点问题,可以转化为一元二次方程
有无实数根的问题,可从计算根的判别
式入手
3、已知二次函数y=x2+mx+m-2.
求证:无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点。
4、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.
(1)当实数k为何值时,图象经过原点?
(2)当实数k在何范围取值时,函数顶点
在x轴下方?
(3)当实数k在何范围取值时,函数顶点在第四象限内?
例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值。
(2)若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点,
求m的值。
例2. 已知二次函数
(1)判别上述抛物线与X轴交点情况
2,求k的值
(2)设抛物线与X轴交点之间距离为5
练习:已知二次函数y=kx2-6x-7的图像与x轴有两个不同的交点
(1)求k的取值范围
(2)当k为何值时,这两个交点横坐标的平方和等于50
例3 设二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)
的图像与X轴交于A,B两点,与y轴交于C点,线段OA与OB的长的积等于6
(O是坐标原点)
求:m的值
3、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时,这个二次函数
y=x 2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)k为何值时,二次函数y=x 2-kx-2+k与轴两个交点A、B之间的距离最小?
(3)设此抛物线与y轴的交点为C,当k为6时,求S△ABC .
4、已知抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A、B,其中A在x轴的正半轴,B在x轴的负半轴,
1)若OA=3OB,求m的值。
2)若3(OA-OB)=2OA·OB,求m的值。
例4 如图,抛物线y=ax2+bx+c和X轴的正半轴相交于A,B两点,和y轴相交于点C ∠ABC= ∠ACO
求证:a与c互为倒数
5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如下图).
1、求抛物线
的解析式.
2、求两盏景观灯之
间的水平距离.
?
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
三、基础练习
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上,则a= ;若抛物线与x轴有两个交点,则a的范围是;
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点,则a的范围是。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为(-2,0),(3,0),则p= ,q= 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果相交,求出交点的坐标。
(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8
(3)y=x2-4x+4
5. 已知抛物线y=-2(x+1)2+8,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
评:若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0 ),B(x2,0 ),利用根与系数的关系,求证:A、B两点间的距离
AB=
a
6、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象全部在轴下方的条件是( D )
(A)a<0 b2-4ac≤0(B)a<0 b2-4ac>0
(C)a>0 b2-4ac>0 (D)a<0 b2-4ac<0
7.已知二次函数y=-ax2,下列说法不正确的是(D)
A.当a>0,x≠0时,y总取负值
B.当a<0,x<0时,y随x的增大而减小
C.当a<0时,函数图象有最低点,即y有最小值
D.当x<0,y=-ax2的对称轴是y轴
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0)
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
3、A、B两点间的距离
4、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
二次函数与方程、不等式综合问题
二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中,直线m x y +- =65经过点()n A ,2-,??? ??21,1B ,抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . (1)求点A 的坐标。 (2)设点E 的坐标为??? ??0,25,若点C 、D 都在线段OE 上,求t 的取值范围。 (3)若该抛物线与线段AB 有公共点,求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线c bx ax y ++=2的开口向上,且经过点?? ? ?? 23,0A 。 (1)若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ,且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空:b = (用含a 的代数式表示)。 ②当2 EF 的值最小时,求抛物线的解析式。 (2)若2 1= a ,当10≤≤x ,抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时,求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ,当0=x 和2=x 时的函数值相等。 (1)求二次函数的解析式。 (2)若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -,求m 和k 的值。 (3)设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图像在B 、C 点间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0>n )个单位后得到的图像记为G ,同时将(2)中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位,当平移后的直线与图像G 有公共点时,求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y (1>t )的图像为抛物线1C 。 (1)求证:无论t 取何值,抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 (2)已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线222)(:t x y C -=,平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ,),2(n m E +,求n 的值。 (3)在(2)的条件下,将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后,连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形,记为图形G 。若直线b x y +- =2 1(3最新中考专题复习-二次函数与方程(组)或不等式
中考专题复习 二次函数与方程(组)或不等式 ◆知识讲解 (1)最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. (2)y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为(0,c ). (3)与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点(h ,ah 2+bh+c ). (4)抛物线与x 轴的交点. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交. ②有一个交点(顶点在x 轴上)?△=0?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离. (5)平行于x 轴的直线与抛物线的交点. 同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,?两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根. (6)一次函数y=kx+n (k≠0)的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像G 的交点,由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定:①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点;③方程组无解时?L 与G 没有交点. (7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x 轴的交点,?再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:观察图像时不要看漏了其中的部分.
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x ,y 满足x 2 +3x +y -3=0,则x +y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣(k+1)x ﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A 、B 两点,且线段OA 与OB 的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y =ax 2 +bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 . 例5. 已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线2 21y x bx =++上的两点. (1)求b 的值; (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有, 2 2y mx x m =+-m x
求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2 -4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有一个交 点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 6.关于的方程有两个相等的实数根,则相应二次函数 与轴必然相交于 点,此时 . 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =O
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个 数为() A.0个B.1个C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y=ax2+bx+c图 象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与 x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不 等式ax2+bx+c<0的解集 是 . 例5. 已知P(3,m -)和Q(1,m)是抛物线2 21 y x bx =++上的两点. (1)求b的值; 22 y mx x m =+-m x
(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有 一个交点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=O
高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计
课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课) 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律. 教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系; (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性; (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆
二次函数与方程、不等式综合.讲义
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二次函数的图像; 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解; 1.能用二次函数解决简单的实际问题; 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题; 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c , . (2) 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++,. (3) 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定: ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0?=?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?时为例,二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下: 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合