数学奥林匹克高中训练题13

数学奥林匹克高中训练题(13)

第一试

一、选择题(每小题6分,共36分)1.给出下列命题:(1)若f (x )、g (x )在区间I 上都是增函数,则f (g (x ))在I 上是增函数;

(2)若f (x )、g (x )在区间I 上都是减函数,则f (g (x ))在I 上是减函数;

(3)若f (x )在区间I 上是增函数,g (x )在区间I 上是减函数,则f (g (x ))在I 上是增函数;

(4)若f (x )在区间I 上是增函数,g (x )在区间I 上是减函数,则f (g (x ))在I 上是减函数.

其中,正确命题的个数为(

).(A )0(B )1(C )2(D )3图1

2.如图1,三棱柱的两个侧面ABCD 、AB EF 都是矩形,P 、Q 分别是A E 、BD 上的点.如果PQ ∥面BCE ,

那么,(

).(A )一定有BQ =

DQ 且EP =

P A

(B )一定有EP =P A ,但可能BQ ≠DQ (C )一定有BQ =DQ ,但可能EP ≠P A (D )有可能BQ ≠DQ 且EP ≠P A

3.有一种掷骰子游戏,它可随机地显示1到6中的一个点数.一枚棋子放在边长为1的正方形ABCD 的顶点处,每掷一次,棋子就移动一次.移动规则是从所在的位置开始,在

正方形的周界上按逆时针方向行走长为所掷点数的距离到达另一个顶点.假定棋子最初在A 处,那么,两次运动所到达的点之间的

距离大于1的概率为(

).(A )12(B )13(C )14(D )

16

4.设S n 是等比数列前n 项的和.若

x =S 2n +S 2

2n ,y =S n (S 2n +S 3n ,

则x -y (

).(A )为0 (B )为正数

(C )为负数 (D )有时为正,有时为负5.若正四面体PQMN 的顶点分别在给定的四面体ABCD 的面上,每个面上恰有一

个点,那么,(

).(A )当四面体ABCD 是正四面体时,正

四面体PQMN 有无数个,否则,正四面体PQMN 只有一个

(B )当四面体ABCD 是正四面体时,正四面体PQMN 有无数个,否则,正四面体PQMN 不存在

(C )当四面体ABCD 的三组对棱分别相等时,正四面体PQMN 有无数个,否则,正四面体PQMN 只有一个

(D )对任何四面体ABCD ,正四面体

PQMN 都有无数个

6.设X 是平面上n 个点的集合,对X 中的每一个点A ,在X 中恰有3个点与A 的距

离为1.则n 的最小值为(

).(A )4(B )5(C )6(D )7二、填空题(每小题9分,共54分)

1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是棱BC 、CC 1、CD 的中点.则直线A 1G 与平面DEF 所成的角的大小为 .

2.设x 、y 、z 是非负实数,且x +y +z =2.则x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2

的最大值与最小值的和为 .

3.设a 、b 是任意两个不同的正整数.则|ab (a 4-b 4

)|的最小值是 .

4.若椭圆的一个焦点是其三个顶点构成的三角形的垂心,则椭圆的离心率e = .

5.设n 是给定的不小于5的自然数.若

平面上有n 条直线,其中恰有3条直线两两平行,此外,任何两条直线不平行,任何三条直线不共点.则这些直线的交点个数为 .

6.设实数x 满足cos (x +30°)?cos (x +

45°)?cos (x +105°)+cos 3

x =0.那么,tan x = .

三、

(20分)求函数f (x )=x

x 2

+1

的最大值.

四、(20分)给定正整数n ,解方程组x 1+1=

1

x 2

,……

x n -1+1=1

x n

,

x n +1=

1

x 1

.

五、

(20分)设抛物线的顶点为A ,焦点为F .过F 作直线l 与抛物线交于点P 、Q ,直线A P 、AQ 分别与抛物线的准线交于点M 、N .问:直线l 满足什么条件时,三直线PN 、QM 、A F 恒交于一点?

第二试

图2一、

(50分)如图2,设H 是△ABC 的垂心,P 是△ABC 所在平面上任意一点,作H M ⊥P B 于点M ,交AC 于点J ,作HN ⊥PC 于点N ,交AB 于点I .求证:PH ⊥IJ .

二、(50分)求所有的实数组(a 、b 、c ),使

得对任何整数n ,都有[na ]+[nb ]=[nc ].其中,[x ]表示不超过实数x 的最大整数.

三、

(50分)求满足下列条件的最小正整数t ,对于任何凸n 边形A 1A 2…A n ,只要n ≥

t ,就一定存在三点A i 、A j 、A k (1≤i

1

n

.

参考答案

第一试

一、1.A.

对于(1),取f (x )=x 2

,g (x )=x -1,

I =[0,+∞

),则f (x )在区间I 上是增函数,g (x )在区间I 上也是增函数.但f (g (x ))=(x -1)2在I 上不是增函数,故(1)不正确.

同样,其他命题也不正确.2.D.

图3如图3,作PM ⊥B E 于点M ,QN ⊥BC 于点N ,联结MN .因为四边形AB EF 是矩形,所以,PM ∥AB . 同理,NQ ∥AB .

故QN ∥PM . 则P 、Q 、N 、M 共面.

因为PQ ∥面BCE ,PQ Α面PQNM ,面PQNM ∩面BCE =MN ,所以,PQ ∥MN .

于是,四边形PQNM 是平行四边形.则PM =QN .

PM AB =EP E A ,QN CD =BQ

BD

,AB =CD ,PM =QN ,所以,

EP E A =BQ

BD

,即P 、Q 分E A 、BD 的比相同.

3.B.对X ∈{A ,B ,C ,D },记P (X )表示从A 移动一次到达点X 的概率,那么,

P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1.

两次运动所到达的点之间的距离大于1,等价于两次运动所到达的点是正方形的相对顶点.于是,所求的概率为

P =P (A )P (C )+P (B )P (C )+

P (C )P (C )+P (D )P (C )

=[P (A )+P (B )+P (C )+P (D )]P (C )

=P (C )=1

3

.

4.A.

设等比数列为{a n },公比为q .则

S n =a 1+a 2+…+a n ,

S 2n =S n +a n +1+a n +2+…+a 2n

=S n +q n

(a 1+a 2+…+a n )

=S n +q n S n =S n (1+q n

),

S 3n =S 2n +a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n

=S 2n +q 2n

(a 1+a 2+…+a n )

=S n (1+q n )+q 2n S n =S n (1+q n +q 2n

).

故x =S 2n +S 22n =S 2n +[S n (1+q n )]2

=S 2n [1+(1+q n )2]=S 2n (2+2q n +q 2n

),y =S n (S 2n +S 3n )

=S n [S n (1+q n )+S n (1+q n +q 2n

)]=S 2n [(1+q n )+(1+q n +q 2n

)]=S 2n (2+2q n +q 2n

)=x .

5.D.

在四面体ABCD 内部作一个充分小的正四面体PQMN ,使其能在四面体内部任意旋转,使得正四面体PQMN 的各顶点到该面的距离互不相同.过与其距离最近的一个顶点作与该面平行的平面,4个平面交成一个四面体A ′B ′C ′D ′,则四面体A ′B ′C ′D ′各面上恰有正四面体PQMN 的一个顶点,且四面体A ′B ′C ′D ′与四面体ABCD 相似.按适当比例放缩,使四面体A ′B ′C ′D ′与四面体ABCD 全等,则四面体ABCD 各面上恰有正四面体PQMN 的一个顶点.由于PQ 有无数个方向可以选择,故选(D ).

6.C.

称长为1的线段为“好边”.

对X 中任何两点,如果它们的距离为1,则将它们用一条线段连接.这样,每个点都引出3条好边.于是,n 个点共引出3n 条好边.又每条好边有两个端点,被计算2次,从而,

好边的条数为3n

2

.所以,n 为偶数.

如果n =4,那么,X 中任何两点的距离都为1,对其中任意三点A 、B 、C ,则△ABC 是正三角形.同样,△ABD 是正三角形,此时,图4

CD >1,矛盾.所以,n ≥6.又当n =6时,如图4,存在符合条件的6个点.

二、1.90°.

因为EF ⊥B 1C ,EF ⊥CD ,所以,EF ⊥平面B 1CD .于是,EF ⊥A 1G .

在正方形ABC D 中,DG =CE ,则AG ⊥DE .又AG 是A 1G 在平面ABCD 内的射影,故DE ⊥A 1G .

因此,A 1G ⊥平面DEF .2.1.

因为x 、y 、z 是非负实数,所以,

A =x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2

≥0.

当x =y =0,z =2时,A =0,从而,A 的最小值为0.

假定A 在(x ,y ,z )处达到最大值,不妨设x ≤y ≤z ,证明:x =0.

实际上,若x >0,则令x ′=0,y ′=y +x ,z ′=z ,此时,

A ′=x ′2y ′2+y ′2z ′2+z ′2x ′2=(y +x )2z

2

=y 2z 2+z 2x 2+2xyz 2≥y 2z 2+z 2x 2+2xy (xy )>y 2z 2+z 2x 2

+xy (xy )=A ,与A 的最大性矛盾.

而当x =0时,

y +z =2,A =y 2z 2

≤(y +z 2

)4=1,等号在y =z =1,x =0时成立.

所以,A 的最大值为1.

故最大值与最小值的和为1.3.30.

令A =ab (a 4-b 4

)

=ab (a -b )(a +b )(a 2+b 2

).首先证明:2|A .若a 、b 同奇偶,则2|(a -b ),故2|A ;若a 、b 不同奇偶,则a 、b 有一个为偶,所以,2|ab ,故2|A .

其次证明:3|A .若a 、b 中有一个为3的倍数,则3|ab ,所以,3|A ;

若a 、b 都不为3的倍数,则

a ≡

b (m od 3)或a ≡-b (m od 3).所以,3|(a -b )(a +b ),故3|A .最后证明:5|A .由a ≡0、±1、±2(m od 5),得a 2

≡0、±1(m od 5).

同理,b 2

≡0、±1(m od 5).

故ab ≡0(m od 5)或a 2-b 2

≡0(m od 5)或a 2+b 2

≡0(m od 5).

因此,5|A .因为2、3、5两两互质,所以,

30|ab (a 4-b 4

).

故|ab (a 4-b 4

)|≥30.

又当a =2,b =1时,ab (a 4-b 4

)

=30,

则|ab (a 4-b 4

)|的最小值为30.

4.

5-1

2

.设F (c ,0)是椭圆的一个焦点,它是椭圆三个顶点A (a ,0)、B (0,b )、C (0,-b )构成的三角形的垂心,如图5.由CF ⊥AB 有

数学奥林匹克高中训练题13

图5

b c (-b

a

)=-1]b 2=ac

]a 2-c

2a

2

=

c

a

]e 2+e -1=0

]e =5-12.

5.n 2

-n -62

.

先去掉3条平行直线中的2条直线l 1、l 2,剩下n -2条直线,有

C 2

n -2=

(n -2)(n -3)2

个交点.添加直线l 1,则l 1与其中n -3条直线相交,有n -3个交点.同样,添加直线l 2,又得n -3个交点.于是,交点个数为

(n -2)(n -3)2+2(n -3)=n 2

-n -6

2

.

6.23-1.

令∠A =30°,∠B =45°,∠C =105°.则∠A +∠B +∠C =180°.故∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三内角.则tan x =cot A +cot B +cot C =cot 30°+cot 45°+cot 105°=3+1-(2-3)=23-1.三、取k >0(k 为待定参数),则

f (x )=

x x 2

+1

=

2kx

2

k (x 2

+1)

≤x +k 2k (x 2+1)

.①令y =x +k

x 2+1.则

yx 2

-x +y -k =0.②

因为函数f (x )的定义域为[0,+∞

),所以,方程②在[0,+∞

)上有解.从而,Δ=1-4y (y -k )≥0.

故y

≤k +

k 2

+1

2

.③

当y =k +

k 2

+1

2

时,Δ=0,此时,由方

程②得

x =

1±02y =1

2y

=1

k 2

+1+k

=k 2

+1-k .

不等式①在x =k 时等号成立,不等式③在x =k 2

+1-k 时等号成立.要使不等式①、③的等号同时成立,则应

有k =

k 2

+1-k ,解得k =

3

3

.故f (x )≤

x +k 2

k (x 2

+1)

=

y 2

k

≤12k

?

k +k 2+12=4

32?33+13+12

=4

32?33+

2332=4

32?32=4274

,等号在x =

3

3

时成立.所以,f (x )=x x 2

+1

的最大值为

4

274

.四、直接验证可知

x 1=x 2=…=x n =

-1-52或-1+5

2

是方程组的解.

下面证明:x 1=x 2=…=x n .前两个方程相减得

x 1-x 2=1x 2

-1

x 3

=x 3-x 2x 2x 3

.

同理,x

i -x i+1=

x i+2-x i+1

x i+1x i+2

.

各式相乘得

(x

1

-x2)(x2-x3)…(x n-x1) =(x1-x2)(x2-x3)…

 (x

n -x1)?(-1)n

1

x21x22…x2n

,

即 (x

1-x2)(x2-x3)…(x n-x1)(1±

1

x21x22…x2n

)

=0.

显然,1+1

x21x22…x2n

≠0.

再证明:1-1

x21x22…x2n

≠0.

反设x2

1

x22…x2n=1.

将题给n个方程相乘得

(x

1

+1)(x2+1)…(x n+1)

=

1

x1x2…x n

=x1x2…x n.①

如果所有的x

i

>0,则x i+1>x i≥0(i= 1,2,…,n),n个不等式相乘后与式①矛盾.

如果x

1

,x2,…,x n中至少有一个为负

数,不妨设x

1

<0.

则x

n +1=

1

x1

<0.所以,x n<0.

如此下去有x

n-1

<0,……x2<0.

这样,x

1+1=

1

x2

<0.

同理,x

2

+1<0,x3+1<0,

(x)

n

+1<0.

故x

i

-x i-1>0. n个不等式相乘后与式①矛盾.

则1±1

x21x22…x2n

≠0.

从而,(x

1

-x2)(x2-x3)…(x n-x1)=0.

不妨设x

1=x2.由前两个方程得

1

x2

=

1

x3

.

于是,x

2

=x3.

如此下去有x

1

=x2=…=x n.

由方程组得x

1+1=

1

x1

,即x21+x1=1.

解得x

1=

-1±5

2

.

故方程组的解为

(x

1

,x2,…,x n)

=(

-1-5

2

,

-1-5

2

,…,

-1-5

2

),

 (-1+5

2

,

-1+5

2

,…,

-1+5

2

).

五、当直线l⊥A F时,由抛物线的对称

性可知,四边形PQMN是矩形,此时,三直线

PN、QM、A F互相平行.

当直线l不与A F垂直时,建立如图6的

图6

直角坐标系.设抛

物线的方程为y2

=2px,l PQ:y=k

(x-p

2

),并设

P(x1,y1)、

Q(x2,y2).

y2=2px,

y=k(x-

p

2

),

得ky2-2py-kp2=0.

故y

1

+y2=

2p

k

,y1y2=-p2.

因为A(0,0),所以,

l AP:y=

y1

x1

x,l AQ:y=

y2

x2

x.

y=

y1

x1

x,

x=-

p

2

,

y=

y2

x2

x,

x=-

p

2

,

分别得M(-p

2

,-

py1

2x1

),N(-p

2

,-

py2

2x2

).

故l

PN

:

-

py2

2x2

-y1

-p

2

-x1

=

y-y1

x-x1

,

l QM:

-

py1

2x1

-y2

-p

2

-x2

=

y-y2

x-x2

.

令y=0.则

(py

2

+2x2y1)(x-x1)+y1(px2+2x1x2)=0,

(py

1

+2x1y2)(x-x2)+y2(px1+2x1x2)=0.

故PN、QM与A F的交点分别为

S(

px1y2-px2y1

py2+2x2y1

,0)、T(

px2y1-px1y2

py1+2x1y2

,0).

于是,三直线PN、QM、A F交于一点

Ζ点S 和T 重合Ζpx 1y 2-px 2y 1py 2+2x 2y 1=px 2y 1-px 1y 2py 1+2x 1y 2

.化简得p 2y 1y 2(x 1-x 2)+p 2(x 1y 22-x 2y 2

1)+

2p (x 21y 22-x 22y 2

1)=0.

将x 1=y 2

12p ,x 2=y 2

2

2p

代入上式得

p 2

y 1y 2y 212p -y 2

22p +2p y 41y 224p 2-y 42y 214p 2

=0,

即 (p 2+y 1y 2)(y 21-y 2

2)=0.

因为y 1y 2=-p 2

,所以,上式成立.此时,三直线PN 、QM 、A F 恒交于一点.

综上所述,当直线l 不与A F 垂直时,三直线PN 、QM 、A F 交于一点.

第二试

图7

一、如图7,设△ABC 的三条高AD 、B E 、CF 交于点H .则A 、B 、D 、E 四点共圆.故

AH ?HD =BH ?HE .同理,

BH ?HE =CH ?HF .令AH ?HD =BH ?HE =CH ?HF =t .因为IN ⊥CN ,CF ⊥IF ,所以,C 、N 、F 、I 四点共圆.则IH ?HN =CH ?HF =t .

同理,J H ?H M =BH ?HE =t .

在射线PH 上取点Q ,使得PH ?HQ =t ,则P 、I 、Q 、N 四点共圆.

所以,∠1=∠IN P =90°.故PQ ⊥QI .同理,PQ ⊥QJ .于是I 、Q 、J 三点共线.从而,PQ ⊥IJ .二、首先证明:“使对任何整数n ,都有[na ]+[nb ]=[nc ]”等价于“a 、b 中至少有一个为整数,且c =a +b ”.

一方面,若a 、b 中至少有一个为整数,且c =a +b ,则不妨设a 为整数.那么,对任何整数n ,na 为整数.所以,na =[na ].于是,

[nc ]=[n (a +b )]=[na +nb ]

=na +[nb ]=[na ]+[nb ].

另一方面,若对任何整数n ,都有[na ]+[nb ]=[nc ].则分别取n =1、-1,得

[a ]+[b ]=[c ],[-a ]+[-b ]=[-c ].

两式相加得

[a ]+[-a ]+[b ]+[-b ]=[c ]+[-c ].又对任何实数x ,

[x ]+[-x ]=[x ]+[-([x ]+{x })]=[x ]+[-[x ]-{x }]

=[-{x }]=

0,x ∈Z ;

-1,x ∈Z .

于是,如果a 、b 都不是整数,则[a ]+[-a ]=[b ]+[-b ]=-1.故[a ]+[-a ]+[b ]+[-b ]=-2≠[c ]+[-c ],矛盾.

所以,a 、b 中至少有一个为整数.不妨设a 为整数,那么,对任何整数n ,na 为整数.于是,na =[na ].则对任何整数n ,

[nc ]=[na ]+[nb ]=na +[nb ]=[na +nb ]=[n (a +b )],

即 nc -{nc }=n (a +b )-{n (a +b )}.

故a +b -c ={n (a +b )}-{nc }

n

.

而|{n (a +b )}-{nc }|<2,于是,a +b -c =lim n →∞

(a +b -c )

=lim

n →∞

{n (a +b )}-{nc }

n

=0.

综上,所求的实数组(a 、b 、c )=(m ,t ,m +t ),(t ,n ,n +t ),(m ,n ,m +n ),其中,m 、n 为任意整数,t 为任意实数.

三、先证明一个引理.引理 对任何凸六边形A 1A 2…A 6,都存在1≤i

,其中,S

为凸六边形A 1A 2…A 6的面积.

图8

引理的证明:如图8,设A 1A 4、A 2A 5、A 3A 6交于点P 、Q 、R (可能重合),联结A 1R 、A 3P 、A 5Q .

由于6个三角形

(△R A 1A 2、△P A 2A 3、

△P A

3

A4、△QA4A5、△QA5A6、△RA6A1)的面积之和不大于S,其中必有一个三角形的面

积不大于S

6

.

回到原题.

当t=3、4、5时,正三角形、正方形、正五边形分别不符合条件,所以,t≥6.

下面证明:当n≥6时,对任何凸n边形A1A2…A n,都存在1≤i

S△A

i A

j

A

k

≤S

n

,其中,S为凸n边形A1A2…A n

的面积.

实际上,当n=6时,由引理,结论成立.设n=k时,结论成立.

当n=k+1时,联结A

1

A k.

如果S△

A

1

A

k

A

k+1

≤S

k+1

,则结论成立;

如果S△

A

1

A

k

A

k+1

>S

k+1

,则

S凸k边形A

1

A

2

…A

k

k+1

=kS

k+1

.

由归纳假设,必有1≤i

S△A

i

A

j

A

r

≤1

k

?kS

k+1

=S

k+1

.

结论成立.

综上所述,t的最小值为6.

(冯跃峰 深圳市高级中学,518040)

数学奥林匹克高中训练题(14)

第一试

一、选择题(每小题6分,共36分)

1.设f(x)=x2+(2n+1)x+n2+3n,

f(x)在闭区间[α,β](α<β)上单调.已知

{y|y=f(x),x∈[α,β]}=[α,β].则n的取

值范围是( ).

(A)n<1

8

(B)n<0

(C)0

8(D)n>1

8

2.已知正项数列{a n}:

a1=α<2

2

,a2n+1=

2a2n

1+2a2n

.

则{a

n

}( ).

(A)递增有上界(B)递增无上界

(C)递减有下界(D)递减无下界

3.在1~2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ).

(A)1

4 (B)83

1000

 (C)167

2000

 (D)3

4

4.设f(x)=-3x3+ax,已知对一切的x∈[0,1],恒有|f(x)|≤1.则实数a的取值范围是( ).

(A)4≤a≤236(B)3

2

3

6≤a≤4

(C)2≤a≤4(D)2≤a≤3

2

3

6

5.设P为正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB上的动点.则平面PDB′与平面ADD′A′所成二面角的最小值为( ).

(A)45°(B)arctan2

2

(C)arctan2(D)arctan2

4

6.设P、A、B、C为空间不同的四点,且

αPA+βPB+γPC=0(α、β、γ∈R).

则α+β+γ=0且αβγ≠0是A、B、C三点共线的( ).

(A)充要条件 (B)充分非必要条件

(C)必要非充分条件

(D)既不充分又不必要条件

二、填空题(每小题9分,共54分)

1.已知x2+y2≤1.则函数z= cos x+cos y

1+cos xy

的最大值为.

2.在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点D、

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