数值分析教材

第一章绪论与误差

第一节数值分析研究对象及特点

一、数值分析课的地位:

数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支。它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题→建立数学模型→研究计算方法→程序设计→上机计算→求出结果。

例如:

⑴某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。

⑵为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。

⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解, 然后再整体平滑。

⑷编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。

二、数值分析课的主要内容:

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。

1.数值代数:

求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接方法。

2.插值和数值逼近。

3.数值微分和数值积分。

4.常微分方程和偏微分方程数值解法。

三、数值分析具有的特点

1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法,即算法只能包含加、减、乘、除和逻辑运算,这些运算是计算机能直接处理的运算。

2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3. 要有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。

4. 要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外还要通过数值试验证明是行之有效的。

四、对算法所要考虑的问题:

1.计算速度

1 例如：求解一个20阶线性方程组,用加减消元法需3000次乘法运算,而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。

2.存储量。大型问题有必要考虑。

3. 数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与数值稳定性算法有关。

例一元二次方程其精确解为

如用求根公式:

以及字长为8位的计算器求解有：

则:,

那么:的值与精确解有天壤之别。若改用:

因此, 算法的选用很重要。

五、学习本课程应注意的问题

(1) 要注意掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。

(2) 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。

(3) 要做一定数量的理论分析与计算练习。

第二节绝对误差、相对误差和有效数字

一、误差的来源

数值计算,概括地讲是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”。因此,在计算过程中,

误差是不可避免。引起误差的因素很多,主要有以下几种：

1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑, 必然要进行必要的简化,

这就带来了与实际问题的误差。

2.观测误差: 在数学模型中,往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等,

这些参量显然也包含误差。这种由观测产生误差称为观测误差。

3.截断误差: 在数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法求它的近似解，其近似解与

精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。

4.舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。

二、绝对误差、相对误差和有效数字

数值分析主要讨论截断误差。观测误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差

的影响,但这儿不讨论模型误差。

1.误差和误差限

设是精确值x的一个近似值, 称是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,

可正可负。误差是无法计算的, 但可估计出它的一个上界。即, 称是近似值的误差限,

其精确值的范围

也可表示成

2.相对误差和相对误差限

误差限的大小还不能完全表示即似值的好坏，例如有两个量

x = 10±1，y = 1000±5

则

虽然比大四倍，但是比要小得多，这说明近似y的程度比近似x的程度

要好得多。所以,除考虑误差的大小外，还应考虑准确值x本身的大小。为此我们引入相对误差：称

为近似值的相对误差, 记作。相对误差是个相对数, 是无量纲的, r也可正可负。相对误差的

估计, 称为相对误差限, 即:

实际计算中,x是未知的, 用来代替。两者的差为:

3. 有效数字

定义: 如果近似值的误差限是某一数位的半个单位, 从该位起向左到最前面第一个非零数字

共有n位, 就说有n位有效数字，它可表示

其中(i=1,…,n)是0到9中的一个数字，,m为整数，且例如π=3.1415926535… ,

3.14有三位有效数字,误差限ε=0.005;

3.1416有五位有效数字, 误差限为0.00005。

又如

0.003529是四位有效数字, 误差限为,

0.00352900是六位有效数字,前者的误差限为。

定理1: 设近似值有n位有效数字,

则其相对误差限 . 反之，若近似值的相对误差限为则至少有n位有效数字。

证明:因为：

故

所以

反之，由

故至少有n位有效数字。

本定理说明，有效数字越多，相对误差越小。

例1 重力加速度常数ｇ,