断裂力学试卷(答案)2009

华中科技大学土木工程与力学学院

《断裂力学》考试卷（半开卷）

2009～2010学年度第一学期 成绩

学号 专业 班级 姓名 一、简述下列概念（20分）

1. 裂纹顶端应力强度因子

描述Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题裂纹尖端附近区域的应力解，可统一表示为：

()1

2ij m

ij K r f m I ,II ,III σθ-??

== ???

。K m 为场强度参量，称为应力强度因子或

K 因子。

它表征裂纹尖端区域应力场的强弱程度，决定于裂纹体的几何形状、裂纹的尺寸及载

荷。 ⑤

2. 能量释放率

A 0G lim A A δδ∏∏δ→???

=-=- ????

， 裂纹扩展单位面积所消耗的总势能。它表示裂纹扩展单位面积时，提供给裂纹扩展所需的系统释放的能量（系统势能的减少）。G 取决于裂纹体的载荷和几何形状。 ⑤

3. COD

裂纹尖端沿垂直于裂纹方向所产生的位移。它是裂纹顶端塑性应变的度量。 ⑤

4. J 积分

J 积分的回路积分定义为：()i 2i

1u J W dx T ds i 1,2x Γ

???

=

-= ????

?

该积分与积分路径无关，是弹塑性断裂力学中一个十分重要的参数, 反映了裂尖的某

种力学特征或应力、应变场强度。 ⑤

二、回答下列问题（20分）

1.为什么平面应变状态裂纹尖端塑性区尺寸比平面应力状态小？当0θ= 时，它们的塑性区尺寸分别等于多少？

答：在平面应变状态下，沿板厚方向（z 方向）的弹性约束使裂纹尖端材料处于三向拉应力作用下。而三向拉伸应力状态会对塑性流动起约束作用，即不易发生塑性变形。所以平面应变状态裂纹尖端塑性区尺寸比平面应力状态小。 ④

当0θ= 时，平面应力状态：2

2

0ey s 1K 1K R 2r I I ππσσ????

=== ? ???

?? ③

平面应变状态：2

2

0ey s 1K 1K R 2r I I πσσ???

=== ???

?? ③ or ()2

2

0s 1K R 2r 12I νπσ??

==- ???

2.何为R 阻力曲线？在工程实际中有何作用？

答：R 是塑性变形和表面能消耗的能量，是裂纹扩展的阻力，R 越大，裂纹扩展就越不容易。R 是裂纹尺寸a 的非线性函数，在R-a 坐标中，它不是一条水平线，而是一条曲线R(a)，称为R 阻力曲线，由试验测定。 ⑤

用 R 曲线表达裂纹扩展阻力的概念，在工程界引起了很大的兴趣。对于许多裂纹扩展不符合平面应变条件的情况(如薄板结构) , 不再是测量一个韧性值G ⅠC ,而是测出一条R 阻力曲线。在平面应力条件下，裂纹失稳扩展的能量判据，必须采用下式：G R G R a

a

??≥≥??。 ⑤

三～七题中任选4题。

三、无穷大板中内含长为2a 的穿透裂纹，裂纹与铅垂线成θ角，求裂纹尖端处的应力强

度因子。 (15分) 解：（1）设板宽为W ，

123l N W

N N sin W sin N N cos W cos N W

σθσθθσθτ======

③

（2）垂直于裂纹平面的正应力：

121N W sin sin W B C

sin σθ

σσθθ

=

=

=

②

平行于裂纹平面的剪应力：

22N W cos sin cos W B C

sin σθ

τσθθ

θ

=

=

= ②

垂直于图面的剪应力：

3l 3l N W

sin W B C

sin τττθθ

=

=

=

②

（3）此为I 、Ⅱ、Ⅲ复合型裂纹问题，由叠加法：

2I 23

l

K K sin cos K ∏I∏σσθ

τσθθττθ

====== ⑥

四、如果应变能密度因子准则成立，试推导临界应力c σ与临界应变能密度因子S c 的关系

（设K I σ=。（15分）

解：考虑纯I 型问题，K Ⅱ = K Ⅲ = 0

()()[]22

11K S a K 1cos cos 16I I θK θπμ

==

+- ②

令：

S

0θ

?=? ()001

sin 2cos 10

0cos 2

K θθK θθ-?+-=?==

②

22

0212

S 00

K 1S

cos 0

2θθθ

-??

>???

=?

-???

?< ?

????

?∴开裂角00θ= ②

最小应变能密度因子 ()[]2m in K S 2116I K πμ

=

- ②

考虑临界状态：()[]()22c c c K K S 234112164I I ννπμ

πμ

=

--=

- ②

而c c K I σ= ②

∴()2c c a

S 124σνμ

=-

即：

c σ= ③

五、试用叠加法求图示无穷大板裂纹尖端应力强度因子。（15分）

略题五图б 1

六、一块无限大薄板，无穷远处的应力为350MPa ，板中心处有一长为5/π cm 的裂纹，

材料的屈服极限为500MPa ，试计算裂纹顶端的塑性区尺寸和等效应力强度因子

eff

K I 。（15分）

解：此问题为平面应力状态。

（1）2

2

2

202

ey s s s 1K 1K 1a R 2r a I I σπσπππσσσσ????????

===== ? ? ? ???

?????? 2

53500.39cm 3.9m m 2500π??

=== ???

⑥ （2）

Ieff K σ

σ

== ③

解出K I eff : 2

2

I e f f e f f s

K K 1a 2I πσσ????

=+ ?

????? 2

I e f f 22

s a K 1112πσσ?=-

∴Ieff K =

③

3500.158

63.56M 0.87

?=

=

=

③

七、含有长为2a 的中央裂纹的无限大板，在板端受拉应力σ作用。试用Paris

（帕里斯）位移公式证明：裂纹将张开成椭圆形。裂纹有可能张开成圆形吗，为什么？（15分）

证明：（1）求裂纹面张开位移的Paris 位移公式为：s

F P

02

K K dA E F

I I δ?=

'?? ②

（2）欲求x 处的张开位移，在对应位置加上一对虚力（F ，F ′），则：

a

F x P

x 2

K K d E F

I I δξ?=

'??

①

而：P K I σ= ①

A B F F F K K K I I I ?

=+=

+

=

??

②

a

a

x x

x

24E E σδσ

ξξ

∴=

=

'

'=

=??

②

（3）x 处的位移：x

y 2

δ=

②

即：

y =

2222

y x a 2E σ?

+=?? ?'??

亦即：

222

2

y x 1a

2a E σ+

=?? ?'??

此即椭圆方程，长轴为2a ，短轴为

4a

E σ'

。 ②

（4）裂纹不可能张开成圆形。 ③

因为如果裂纹张开成圆形，则4a

2a E σ='

E 2

σ'?=

平面应力状态：E 2

σ=

平面应变状态：()

2

E

E 1.10.32

21σνν

=

=?

=-

对应的应变都达到50%以上，与线弹性假设矛盾。