2019年广东高中学业水平考试数学试卷

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试卷类型A

2019年1月广东省普通高中学业水平考试

数 学 试 卷

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的. 1．已知集合{02,4},{2,0,2}A B ==-，，

，则A B = （ ）

A.{0，2}

B.{-2，4 }

C.[0，2]

D.{-2，0，2，4} 【答案】D

{2,0,2,4}A B =-。

2．设i 为虚数单位，则复数()3=i i +（ ）

A. 1+3i

B. 1+3i -

C. 13i -

D. 13i -- 【答案】B

()23331i i i i i +=+=-。

3．函数3log (2)y x =+的定义域为（ ）

A ．(2+)-∞， B.(2+)∞， C. [2+)-∞， D. [2+)∞， 【答案】A

20,2x x +>>-。

4．已知向量(2,2)(2,1),a b =-=-，，则a b +=（ ）

A ．1 B.5 C ．5 D. 25 【答案】C

224,3),4(3)5a b a b +=-+=+-=（。

5．直线3260x y +-=的斜率是（ ） A.

32 B. 3-2 C. 23 D. 2

-3

【答案】B

3=-=-2

A k

B 。

6．不等式2

90x -<的解集为（ ）

A.{3}x x <-

B. {3}x x <

C.{33}x x x <->或

D. {33}x x -<< 【答案】D

2290,9,33x x x -<<-<<。

7．已知0a >，则

3

2

a

a

=（ ）

A. 12

a B.32

a C. 23

a D. 13

a 【答案】 D

2113

3

23

2

3

a

a a

a a

a

-

=

==。

8．某地区连续六天的最低气温（单位：C ）为：9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为（ ）

A. 5

73和 B . 883和 C. 71和 D. 283

和 【答案】A

98765776x +++++=

=，222222215

[(97)+(87)+(77)+(67)+(57)+(77)]63

s =------=。

9．如图1，长方体1111ABCD A B C D -中，1A B A D ==，12BD =，则1AA =（ ）

A. 1

B.

2

C. 2

D.

3

【答案】B

22222BD AB AD DD =++，1=2DD 。

10．命题“,sin 10x R x ?∈+≥”的否定是（ ）

A. 00,sin 10x R x ?∈+<

B. ,sin 10x R x ?∈+<

C. 00,sin 10x R x ?∈+≥

D.

,sin 10x R x ?∈+≤

【答案】A

11．设x y ，满足约束条件30100x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

，则-2z x y =的最大值为（ ）

A. – 5

B. – 3

C. 1

D. 4 【答案】C

3=011=02x y x x y y -+=-??→??+-=??，3=03=00x y x y y -+=-??→??=??，+1=01

=00x y x y y -=??→?

?=??，

将三点代入2z x y =-则可得最大值为1。

12．已知圆C 与y 轴相切于点（0，5），半径为5，则圆C 的标准方程是（ ） A.()()2

2

5525x y -+-= B. ()()2

2

5525x y ++-= C. ()()()()2

2

2

2

555555x y x y -+-=++-=或 D. ()()()()2

2

2

2

55255525x y x y -+-=++-=或 【答案】D

()()

22

2,5x a y b r r -+-==，又和y 轴相切于点

（0，5），5,55,5a b a b ===-=或，

则方程为(

)()()()2

2

22

55255525x y x y -+-=++-=或。

13．如图2，ABC ?中，,,4AB a AC b BC BD ===，用,a b 表示AD ，正确的是（ ）

A.13

44

AD a b =+ B. 5144AD a b =+ C. 3144AD a b =+ D. 5144AD a b =-

【答案】C

111331

()444444

AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB a b =+=+=+-=+=+。

14．若数列{}n a 的通项26n a n =-，设n n b a =，则数列{}n b 的前7项和为（ ） A. 14 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 前7项和为

12345674202468420246826a a a a a a a ++++++=++++++=++++++= 15．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的长轴为12A A ，P 为椭圆的下顶点，设直线12,PA PA 的斜率分别为

12,k k ，且121

= -

2

k k ?，则该椭圆的离心率为（ ） A.

32 B. 22 C. 12 D. 14

【答案】B

12(0,),(,0),(,0),P b A a A a -1200,0()0b b b b

k k a a a a --=

===----，21221=2b b b k k a a a ?=?-=-（）-，

令2

2

2

2

2

12

=2,=1,1,22

c a b c a b e a ∴=-=∴=

==。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(4,3)P -，则

c o s =α .

【答案】

4

5

2244(3)5,cos 5

x r r α=+-==

=。

17．在等比数列{}n a 中，121,2a a ==，则4a = . 【答案】8

22

421

2,8a q a a q a =

==?=。

18．袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是 .

【答案】

310

22232

5134210105

C C P C ++====。 19．已知函数()f x 是定义在,)-∞+∞（上的奇函数，当0,)x ∈+∞[时，2

()4f x x x =-，则当,0)x ∈∞(-时，

()=f x .

【答案】2

4x x -+

220,()()[(4()]4x f x f x x x x x <=-----?-=-+。

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20．ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知3

cos ,55

A bc ==. （1）求ABC ?的面积；

（2）若6b c +=，则a 的值. 【答案】 （1）34114

cos ,sin ,sin 5255

225ABC

A A S bc A =

==?=??=；

（2）22222222223

2cos 256()266256205a b c bc A b c b c b c bc =+-?=+-??

=+-=+--=-?-=，

=25a 。

21．如图3，三棱锥P ABC -中，,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥

2PA PB PC ===，E 是AC 的中点，点F 在线段PC 上.

（1）证明：PB AC ⊥；

（2）若PA 平面BEF ，求四棱锥B APFE -的体积. （参考公式：锥体的体积公式为1

3

V sh =

，其中S 是底面积， h 是高.）

【答案】

（1）,,=,PA PB PB PC PC

PA P ⊥⊥

,PB PAC ∴⊥平面又,AC PAC ?平面PB AC ∴⊥。

（2）PA 平面BEF ，,PA PAC ?平面,PAC

PEF EF =平面平面1

//,2

EF PA

PAEF ∴四边形为梯形，又PA PC ⊥，PAEF ∴四边形为直角梯形，

又E 是AC 的中点，PC F ∴为的中点，又PB PAC ∴⊥平面，

111

(12)121332

B APFE APFE V S PB -∴=??=??+??=四边形。