第四章课后习题解答

4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？

解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。

分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：

N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）

4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。

证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F

F

T F r r r r r r r

T A A r r T r r F A r r T dr

T

Tdr

dr F

A =∴-=-=-==-

==

???),

()()(2121211

2

2

1

2

1

4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。 解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：

?

??+--===

4

3

)4()4(4

4

02

2

cos x dx x x

T dx T dx F

A θJ

x x x d x T 100)35(50|9)4(50

|]

9)4[(2]9)4[(]9)4[(4

024

2

/122

5040

2

2/122

=-?=+-=+-?-=+-+--

=?-

设木块到达B 时的速度为v ，由动能定理：2

0212

2

1mv mv

A -

=

s m v m A v /88.206

5.0/1002/22

2

≈+?=+=

，方向向右

A

B

x

4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l 为

=

k

mg

l

μ证明：质点m 由弹簧原长位

置运动到最远位置l ，弹力F 动摩擦力f 点动能由mv 02

/2变为0。根据动能定理：A F +A f =0 - mv 02

/2 ……①

其中，mgl A kl ldl k A f l

F μ-=-=-=?,2

2

10

，代入①中，并整理，有：kl 2+2μmgl-m v 02=0. 这是一个关于l 的一元二次方程，其根为：

k

v m k g m g m l 24)2(22

2

+±

-=

μμ，负根显然不合题意，舍去，所以，

)11()(2

2

20

2

2

1

-+

=

++

-

=g

m v k k

g

m k k

g

m kmv g m l μμμμ

4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂

质量为500g 的圆柱体，圆柱体又套 在可沿水平方向移动的框架内，框架 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 平力F =20.0N 作用下移至图中位置， v 2 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。

解：设绳长l ，圆柱质量m 1，框架质量m 2，建立图示坐标o-xy ；据题意，圆柱在o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v 1，方向与线l 垂直，框架的速度为v 2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v 2=v 1x ，v 1y =v 1x tg30o 圆柱体m 1与框架m 2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W 1=m 1g 和拉力F 做功：其中，

A W 1= - m 1gl(1-cos30o)= - 0.13J , A F = F l sin30o= 2J , 由质点系动能定理，有 2

12212

12

11212

22212

112

11)(x y x F W v m v v m v m v m A A +

+=+

=

+

)/()(2])301([213

412

122

12

121m m A A v m tg m v F W x x ++=∴+?+=

代入数据,v 1x 2=4.3 , v 1y 2=(v 1x tg30o)2=1.44

∴ v 1=(v 1x 2+v 1y 2)1/2=2.4m/s.

4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k 1,k 2，它们自由伸展的长度相差l ，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表达式。

解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零。

弹簧2的势能表达式显然为：

0,2

22

12≤=

x x k E p ；

2

弹簧1的势能：

)

(,

])[(|)()()()(12

12

12

2

1210

212

10

10

11l x lx k x k l x l k x l k x l d x l k dx x l k E x

x

x

p ≤-=--=

-=

--=--=??

当0≤x ≤l 时，lx k x k E E p p 12

12

11-==

当x<0时，lx k x k k E E E p p p 12

212

121)(-+=+=

4.5.1 滑雪运动员自A 自由下落，经B 越过宽为d 的横沟到达平台C 时，其速度v c

刚好在水平方向。已知A 、B 两点的垂直距离为25m.坡道B 点的切线方向与水平面成30o角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B 处的速率v B ；⑵B 、C 的垂直高度差h 及沟宽d ；⑶运动员到达平台时的速率v c .

解：运动员在整 个运动过程中,只有重

力做功,取B 点为势能零点。

∵mgH = mv B 2

/2

∴s m gH v B /1.22258.922=??=

=

运动员由B 到C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜抛运动规律可知，v c = v B

cos30o = 19.1m/s

∵mv B 2/2 = m v c 2/2+mgh ∴h = (v B 2-v c 2)/2g = 6.3m ；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0 = v B sin30o-gt ∴t = v B /2g =1.13s ，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = v B cos30ot = 21.6m.

4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg ，杆AB 长1m ，AC 长0.1m ，A 点距o 点0.5m ，弹簧的劲度系数为800N/m ，杆AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v ，弹簧原长：51.01

.05.02

20=+=l ，在小球从

水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机

械能守恒：

2

0212

2

1)(0l AC OA k AB mg mv -++

-=，可求得：

s

m m

l AC OA k AB g v /28.45/)51.01.05.0(80018.92/)(22

2

0=-+-??=

-+-=

4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为M 的机车在水平轨道上自右方以速率v 滑行并与

m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s

然后静止。求轨道作用于车的阻力。

解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非 弹性碰撞而获得共同速度v ’，由于

轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v ’

系动量守恒，Mv=(M+m)v ’,v ’=Mv/(M+m) f

第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s ，速度由v ’变为零，

由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v ’2

/2, 将v ’代入，可求得 )

(22

2

m M s v

M f +=

4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A 自高度h 1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。

解：设两球质量均为m ，球 A 由h 1高处运动到水平位置获得 的速度v A ，可由能量守恒方程求

出：mgh 1=mv A 2

/2∴v A =12gh

设A,B 两球碰后速度分别为

v A '和v B '，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有

??

?=-+=A A B

B A A ev v v mv mv mv '''

' 即， ''''A B A B A A v v ev v v v -=+=

可求得，????

?+=+=-=-=)

2(2

/2)1(2/)1(')1(2

/2)1(2/)1('11 gh e e v v gh e e v v A B A A

设A 球弹回后的最大高度为h ，根据能量守恒,2

1mv A '2

=mgh 12

2

)1(4

12'

h e g

v h A -=

=

若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：v A '=0, v B '=v A ,即，碰后A 球静止，B 球以A 球原来的速度向右运动；B 球达到h 1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A 球，周而复始，这种传递永远进行下去。

4.6.4质量为2g 的子弹以500m/s 的速度射向质量为1kg ，用1m 长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s 的速度，问摆沿铅直方向升起若干？

解：用v 0,v 分别表示子弹穿过摆前后的速度，V 表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h

由动量守恒：MV mv mv +=0，可得

8.0)100500(002.0)(0=-=-=

v v V M

m

由能量守恒：Mgh MV

=2

2

1

m g V

h 033.0)8.92/(8.02/2

2

=?==

4.6.5一质量为200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm ，今有一质量为200g 的铅快在高30cm 处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。

解：框架静止时，弹簧伸长Δl =0.1m ，由平衡条件mg=k Δl ,求得：k=mg/Δl =0.2×9.8/0.1=19.6N/m

铅块落下h=30cm 后的速度v 0，可由能量守恒方程求出：2

02

1

mv mgh =

s m gh v /42.23.08.9220=??=

=

设铅快与框架碰后的共同速度为v ，由动量守恒：

s m v v mv mv /21.12/42.2,

202

10===

=

设框架下落的最大距离为x ，由机械能守恒：

mgx x l k l

k v m m 2)()(2

2

12

2

12

2

1-+?=

?+

+，进行整理并代入数据，可得x 的一元二次方

程：m x x x 3.0,

003.02.02==--

4.6.6 质量为m 1=0.790kg 和m 2=0.800kg 的物体以劲度系数为10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg 的子弹以速率v 0=100m/s 沿水平方向射于m 1内，问弹簧最多压缩了多少？

解：整个过程可分为两个阶段

v 0 处理。第一阶段：子弹射入m 1内，

发生完全非弹性碰撞，动量守恒，

设子弹质量为m 0

，子弹与m 1获得的共同速度为v ,则有

m 0v 0 = (m 1+m

0) v ∴v = v 0m 0 / (m 1+m 0) （1）

第二阶段：子弹与m 1以共同速度v 开始压缩弹簧至m 1与m 2有相同的速度V ,压缩结束；

在此过程中，由m 0,m 1,m 2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l .由动量守恒，有：

)

2()()(0

210

00

210102101m m m v m v m m m m m V V m m m v m m ++=

+++=

∴++=+

V

m

由能量守恒:)3()()(2

2

12

02121

2

012

1kl

V

m m m v m m +

++=+

将⑴、⑵代入⑶中，可求得： m m m m m m k v m l 25.0)11

(

10

210

10

0≈++-

+=

4.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M 的货箱共同向右以v 0运动，另一车厢以2v 0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l ，求：⑴货箱与车厢地板间的摩擦系数；⑵车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。

解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v （向左），由动量守恒：M(2v 0)-Mv 0=2Mv,

v=v 0/2

第二阶段是两节车厢以速度v 在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是l ，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：A f =-μmg l ，对质点系应用动能定理：

)4/(,))(2(02

02

21212

02

1gl v v M Mv mgl =∴--

=-μμ 设货箱相对车的速度为v'，显然，v'=v 0+v=2v+v=3v ，两边同乘摩擦力作用时间Δt ，即

为对应的距离，l=3d , d =l /3

v 0