人教版高中数学高二数学《.2类比推理》教案

●教学目标：

（一）知识与能力：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问

题的发现中去。

（二）过程与方法：

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。（三）情感态度与价值观：

1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

●教学过程：

学生探究过程：

除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；

茅草能割破手.

我需要一种能割断木头的工具；

它也可以是齿形的.

这个推理过程是归纳推理吗？

中国古代杰出科学家张衡，曾将人们日常生活中的影子与日月食现象的类似情况进行类比，提出了日月食科学成因的初步认识。

几百年前，人们对热量的认识是非常直观的，将一定质量的水加热到沸点所吸收的热确定为基本热量单位“大卡”。科学家焦耳通过对比热与功相互转化过程中的类似现象，指出了它们本质的同一性，这就是热力学基本定律。

运用类比推理，通过对一些类似现象、过程的对比分析，可能在看似互不关联的当然、偶然信息中发现规律性的必然。

类比推理亦称类比法或简称“类比”。它是根据A与B两个或两类对象在某些属性上相同或相似，已知A对象还有另外某种属性，推出B对象也有这种属性的推理。类比推理的公式可表示为：

A对象具有属性a、b、c、d；

B对象具有属性a、b、c；

所以，B对象具有属性d。

为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。

数学活动

我们再看几个类似的推理实例。

例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。即

这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．例如，数学家波利亚（Polya）曾指出：“类比是一个伟大的引路人面几何中的类比问题．”数学中还有向量与数的类比，求解立体几何问题往往有赖于平无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等．

例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．

分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算．

解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．

（2）从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即

a +

b = b + a ab=ba

(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)

(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程

a + x=0 ax=1 (a≠0 )

都有唯一解

x=-a x=1 a

(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即

a + 0= a a1= a

运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．

探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？

我们可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．例如，从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形．从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比对象．

下面，我们就来看一个通过类比平面几何中的结论，得到立体图形性质的猜想的例子．

例3类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．

如图2.1-1所示，与Rt △ABC 相对应的，是四面体P-DEF; 与Rt △ABC 的两条边交成1个直角相对应的，是四面体P-DEF 的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt △ABC 的直角边边长a , b 相对应的，是四面体 P - DEF 的面△DEF ，△FPD 和△DPE 的面积S 1 , S 2和S 3；与Rt △ABC 的斜边边长c 相对应的，是四面体P -DEF 的面△PEF 的面积S.

由此，我们可以类比Rt △ABC 中的勾股定理，猜想出四面体P-DEF 四个面的面积之间的关系

解：如图2.1-1所示，我们知道，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得

222c a b =+.

于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P - DEF 我们猜想

2222123S S S S =++.

思考：这个结论是正确的吗？请同学们自己．

我们把前面所进行的推理过程概括为：

可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible reasoning ）公．

通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．

例4如图2 .1-2 所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

1．每次只能移动1个金属片；

2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．

试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？

分析：我们从移动1, 2, 3, 4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．

解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13 )表示，共移动了1次．当n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：

(1)把第1个金属片从1号针移到2 号针；

(2)把第2个金属片从1号针移到3 号针；

(3)把第1个金属片从2号针移到3 号针．

用符号表示为：(12 ) (13 ) (23 ) .

共移动了3 次．

当n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2 的情形，移动顺序是：

(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；

(2)把第3 个金属片从1号针移到3号针；

(3)把上面两个金属片从2 号针移到3 号针．

其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：

( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) .

共移动了7 次．

当n=4 时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：

(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；

(2)把第4个金属片从1 号针移到3号针；

(3)把上面3 个金属片从2 号针移到3 号针．用符号表示为：

( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) .

共移动了15次．

至此，我们得到依次移动1, 2, 3, 4 个金属片所需次数构成的数列：1, 3, 7,15.

观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：

1 = 21- 1 ,

3 = 22 - 1,

7 = 23 -1,

15 = 24 -1.

由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动n a 次，则数列{n a }

的通项公式为*21()n n a n N =-∈． ①

通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：

(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；

(2)将第 n 个金属片从1号针移到3号针；

(3)将上面（n -1）个金属片从2号针移到3号针．

这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片… … 如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式

1*11,21(,1).

n n a a a n N n -=??=+∈>? 从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．

一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 例如，法国数学家费马观察到

1

221+= 5,

2221+= 17 ,

3221+= 257 ,

4221+=65 537

都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如221n

+. (*n N ∈) 的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（ Euler ）发现，第 5 个费马数

5

2521F =+= 4 294 967 297 = 641×6 700 417

不是质数，从而推翻了费马的猜想．

巩固练习：

1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________

教学反思：

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

3．这是一节关于类比推理的专题复习课，不仅仅是为了解题，更侧重类比思想及方法的渗透，因此本节课考虑了概念学习、问题解决、作业拓展等环节，是一节完整的方法学习课。在教学过程中，通过类比，引导学生推广数学命题；通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握；通过学生阅读，理解类比推理的定义及运用思路；通过给出题目的条件，有意识地营造一个较为开放型的学习空间，至始至终由学生带着问题，开展研究性学习。让学生经历“课堂上研究问题，课后亦拓展问题”的过程。作业的布置是为了思维的升华。通过类比推理，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和培养其创新精神。

近年广东高考中的类比题

12．（2007年广东卷）如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)____f =；f(n)=______(答案用数字或n 的解析式表示)

答案：

(1)2n n +;8;n(n-2)。 解析： (1)2

n n +;(4)428f =?=;()(2)f n n n =?- 14、（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最

底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆

放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在

下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，

以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表

示）.

14、=)3(f 10，6

)2)(1()(++=n n n n f (14) （2005年广东卷）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）

【答案】5，)2)(1(2

1-+n n 解：由图B 可得5)4(=f ，

由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，

14)6(=f ，可推得

∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个，

∴)1(432)(-++++=n n f

2

)2)(12(--+=n n )2)(1(2

1-+=n n ． 15．（2004年广东卷）由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB

''??''?=?，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC V V '''--=

(15)PC

PB PA PC PB PA ????'

'' （15）（2003年广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂

直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”．

（15）2222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++