初中数学知识点框架图

第一部分《数与式》知识点

定义：有理数和无理数统称实数 八*有理数：整数与分数 分^类』 无理数：常见类型（开方开不尽的数、与二有关的数、无限不循环小数） 法则：加、减、乘、除、乘方、开方 实数运算』 '运算定律：交换律、结合律、分配律 f 数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法 相关概念2 2 _ 有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子a 2,a,?.a ） :，单项式：系数与次数 分类J 多项式：次数与项数 加减法则:（加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项）

j m 4 幂的运算：a a =a ;a =a =a 一;（a ） =a ,（ab ） =a b ；（_） ==；a =1a =— b b - ，单项式X 单项式；单项式X 多项式；多项式X 多项式］ ■单项式子单项式；多项式子单项式 丿

混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先 乘法公式卩方差公式：（a 也（a 」）=a 2 —b 2 J j 完全平方公式：（a 二b ）2 a 2二2ab ，b 2

分式的定义：分母中含可变字母 分式2分式有意义的条件：分母不为零 分式值为零的条件：分子为零，分母不为零 '」咏；？=也（通分与约分的根据）］ W bxm b bF 丿

通分、约分，加、减、乘、除 分式的运算仁“+治；先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化） 化简求值2 ［ 整体代换求值 定义：式Wa （a >0叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于）. _j a （a X O ） 1 一 l-a （a^O ）_ 最简二次根式（分解质因数法化简） 二次根式』二次根式的相关概念g 同类二次根式及合并同类二次根式 分母有理化（“单项式与多项式”型） 加减法：先化最简，再合并同类二次根式 二次根式的运算人、丄l L L 馬 乘除法：a 了 =、 定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底） 提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底） 公式法 平方差公式：a -b =（a ，b ）（a-b ） 方法」 ' 完全平方公式：a 2 ±2ab+b 2 =（a±b ）2 十字相乘法：x 2 ra+bjx+abna+aXx^） 分组分解法：（对称分组与不对称分组）

整式彳 乘法运算 数与式 分式」分式的性质:；a

= 分解因式￡ 二次根式的性质: =a; a 2 :;（结果化简）

第二部分《方程与不等式》知识点

定义与解：

次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 应用：确定类型、找出关键量、数量关系

定义与解：

4、工口 /如解法：代入消元法、加减消元法

次方程（组）

廿简单的三元一次方程组：

简单的二元二次方程组：

元一次方呈定义与判别式△=b-4ac ） 兀一人 珈军法：直接开平方法、配方法、求根公

式法、因式分解法

8?分配与方案问题： 1线段图示法： 常用方法2列表法：

3直观模型法：

儿一次不等/不等式解解法

'解法：（借助数轴）

、等式

2不等式与方程

次不等式乱用3不等式与函数

4最佳方案问题

5.最后一个分配问题

第三部分《函数与图象》知识点

口 号分式方程定义与根（增根）：

、、 解军法：去分母化为式方程，解整式方程，验根

'1.行程问题：

2.工程（效）问题：

3?增长率问题：（增长率与负增长率） 4?数字问

题： 5?图形问题： 6?销售问题： 7?储蓄问题：

类型 方程与不等式方呈的应用 （数位变化）

（周长与面积（等积变换））

（利润与利率）

（利息、本息和、利息税）

①一般式：y=ax ? +bx+c,其中（aHO ）, 表达式？②顶点式：y=a （x-k ）2*h,其中（a^O ）,（k,h ）为抛物线顶点坐标； y=a （x —x ）（x_x 2）,其中（a HO ）, x 冷是函数图象与x 轴交点的横坐③交点式 ① 开口方向与大小：a >0向上，a v o 向下；a 越大，开口越小；a 越小，开口越小. ② 对称性：对称轴直线x=- — 2a i ③增减性3>0'在对称轴左侧，x 增大y 减小；在对称轴右侧， 性质《曰减 pvo,在对称轴左侧，x 增大y 增大；在对称轴右侧， 2 ④ 顶点坐标：（-卫,込L ） 2a 4a 2 ⑤ 最值：当a >0时,x 二卫，y 最小值= 4ac —b ； a v O 时，x=- —，y 最大值= L 2a 4a 2a 示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x 、y 交点坐标） a 与c ：开口方向确定a 的符号，抛物线与y 轴交点纵坐标确定c 的值； b 勺符号：b 的符号由a 与对称轴位置有关：左同右异. 符号判断￥=b 2*ac ： 与x 轴有两个交点；4=0与x 轴有两个交点；Av O 与x 轴无交点. a"+c :当 x=1 时，y=a+b+c 的 值. a _b c 当 x=-1 时，y=a-b+c 的值. ①求函数表达式： 飞好宀中|②求交点坐标： 函数应用2 ③ 求围成的图形的面积（巧设坐标）： ④ 比较函数的大小. 二次函数2 ■号, X I 、 x 增大y 增大; x 增大y 减小; 4ac -b 2 4a ① 各象限内点的特点：

?-从.-仪轴：纵坐标y=0;

② 坐标轴上点的特点i _丄”「一 y 轴：横坐标x=0.

③ 平行于x 轴，y 轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）

④ 不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法） 关于x 轴对称（x 相同，y 相反） ⑤ 对称点的坐标？关于y 轴对称（x 相反，y 相同） 关于原点O 对称（x ，y 都相反） 录粉丰、士十［正比例函数：y=kx （k 工0）（—点求解析式）2一、三象限角平分线：y =x 函数表达式2 二、四象限角平分线:y=-x 一次函数：y=kx+b （k ^O ）（两点求解析式） y=kx 与y=kx+b 增减性一样，k > 0时，x 增大y 增大；k v 0,x 增大y 减小 y=kx+b 可由y=kx 上下平移而来；若y=Kx+b 与y=k 2X+d 平行，则k^k 2,b ^bz. 若y=k 1x+b 1 与 y=k 2x+b 2 垂直，则匕|_^2--1. （联立函数表达式解方程组） 观察图像y >0与y v o 时，x 的取值范围（图像在x 轴上方或下方时，x 的取值范围） k k >0在每个象限内，y 随x 的增大而减小； k v O 在每个象限内，y 随x 的增大而减小. ③ 恒值性：（图形面积与k 值有关） ④ 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形. 求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）

直角坐标系< 沙予粉增减性 一次函数？ 平移性 垂直性 求交点 正负性 表达式：y 」（&0）（—点求解析式） x |①区域性：k >0时，图像在一、三象限；k v o 时，图像在二、四象限. 匚 亠、/ . z_- 人 tvt-t 、t . 仆4 上r — 、、（\ r □ 好Lad ②增减性< 反比例函数？性质g 函数

第四部分《图形与几何》知识要点

'直线：两点确定一条直线 线谢线：

线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）

角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角

角』角的度量与比较0=60, 1 = 60；

余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等, 角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角

士口亠”对顶角：对顶角相等

相父线 一

垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短

定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线

平行线」性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;

同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行 判定：平行于同一条直

线的两条直线平行

平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

I 1 g 3

毗0 = 2'COS30F an30 蔦

特殊三角函数值in45T 三,cos4#三,tan45 7 2 2

sin60 - ,cos60 二 ~ ,tan 30 = ：3

[ 2 2

应用：要构造△，才能使用三角函数

三角函数

八*按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类」

［按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

F边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; 边《1

面积与周长C=a+b=,c S=-底x高.

. 2

三角形的内角和等于度，外角和等于6（度；

角』三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；

三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角

一般三角形中线：一条中线平分三角形的面积

性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

角平分线判定：至V角两边的距离相等的点在角的平分线上

内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等线段，高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：三角形的中位线平行

于第三边且等于第三边的一半

「性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上‘丁卜心：三角形三边

垂直平分线的交点三个顶点的距离相等

三角形1

［生质;等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形质〔等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等为

等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形；

三形輒宀有两角相等的三角形是等腰三角形；

判疋」

有一个角为0度的等腰三角形是等边三角形；

［有两个角是0度的三角形是等边三角形

一个角是直角或两个锐角互余；

井击直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

性质』 c

直角三角形中交的锐角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方

证一个角是直角或两个角互余；

判定1有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;

［勾股定理的逆定理：曹氏二出则4>90°

全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；

I性质

全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等

［判定:ASA SAS AAS SSS HL.

多边形：多边形的内角和为（n-2） 180°,外角和为360°.

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

”直角梯形

斗/

'性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等

梯形 特殊梯形 < 举間辟护 「两腰相等的梯形是等腰梯形；

等、等腰女梯丿形 &

判定｛对角线相等的梯形是等腰梯形；

、同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；

■ （■两组对边分别平行且相等

性质：平行四边形的*两组对角分别相等

'两条对角线互相平分

两组对边分别平行

一组对边平行且相等

判定：两组对边分别相等二的四边形是平行四边形 两组对角分别相等

'对角线互相平分

「曲壬［■共性：具有平行四边形的所有性质 性质彳

I 个性：对角线相等，四个角都是直角 矩形$ （■先证平行四边形，再证有一个直角；

判定彳先证平行四边形，再证对角线相等； 三个角是直角的四边形是矩形.

共性：具有平行四边形的所有性质. 性质\ I 个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等

菱形t 『先证平行四边形，再证对角线互相垂直；

判定*先证平行四边形，再证一组邻边相等；

四条边都相等的四边形是菱形.

r

■性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 正方形宀；证平行四边形T 矩形T 正方形 判疋5

证平行四边形T 菱形T 正方形

1

梯形：s=」（上底?下底）高=中位线 高

2 菱形：S=底咒高二对角线乘积的一半 正方形：S =边长江边长= 对角线乘积的一半

四边形 面积求法

平行四边形：5=底高 矩形：S =长宽

r 点在圆外:d >r

点与圆的三种位置关系点在圆上:d =r

点在圆内:d v r

弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系 圆的轴对称憔去刁宀钿定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

' '推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧

'工如日的「在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、 五组量的关系：

I 两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别

同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是

00°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆

相交线定理：圆中两弦5、CD 相交于点，贝PA PA =P C PD .

、圆中两条平行弦所夹的弧相等

' 相离 直线和圆的三种位置关系相切 相交 圆的切线性质：圆的切线垂直过切点的直径（或半径）

直线和圆的位置关系' "判疋：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 切线长定理：如图PA=PB PO

平分4APB 切割线定理：如图

P A^=P CP D .

外心与内心：

「相离：外离d >R+r ，内含d v R-r ）

圆和圆的位置关系相切：外切d=R+），内切d=R-i ）

相交：R-r v d v R+）

弧长公式:|弧长=丄2兀r =丄兀r

360 180

厶，扇形面积公式：S=丄叼2=]|弧长r

圆的有关计算 360 2弧长

I 1

圆锥的侧面积:Sjy=1 2叼?1=叼1（「为底面圆的半径为母线） 圆锥的全面积& =兀r 2 +叼1

d >r

d=r （距离法）

P