曲线运动知识归纳

第四章 曲线运动 万有引力与航天 第 1 课时 曲线运动 质点在平面内的运动

基础知识归纳

1.曲线运动

(1)曲线运动中的速度方向

做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，在某点(或某一时刻)的速度方向是曲线上该点的 切线 方向.

(2)曲线运动的性质

由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运动一定是 变速 运动，一定存在加速度.

(3)物体做曲线运动的条件

物体所受合外力(或加速度)的方向与它的速度方向 不在同一直线 上.

①如果这个合外力的大小和方向都是恒定的，即所受的合外力为恒力，物体就做 匀变速曲线 运动，如平抛运动.

②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度方向垂直，物体就做 匀速圆周 运动. ③做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，即合外力总是指向曲线的内侧.根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向.

说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将 增大 ，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将 减小 .

2.运动的合成与分解

(1)合运动与分运动的特征

①等时性：合运动和分运动是 同时 发生的，所用时间相等.

②等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果 相同 .

③独立性：一个物体同时参与几个分运动，各个分运动 独立 进行，互不影响.

(2)已知分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，遵循 平行四边形 定则.

①两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的

取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和.

②不在同一直线上，按照平行四边形定则合成(如图所示).

③两个分运动垂直时，

x 合＝22y x x x +，v 合＝22y x v v +，a 合＝22y x a a +

(3)已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解.

重点难点突破

一、怎样确定物体的运动轨迹

1.同一直线上的两个分运动(不含速率相等，方向相反的情形)的合成，其合运动一定是

直线运动. 2.不在同一直线上的两分运动的合成. (1)若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动. (2)若两分运动为初速度为零的匀变速直线运动，其合运动一定是初速度为零的匀变速直线运动. (3)若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动(如平抛运动).

(4)若两分运动均为初速度不为零的匀加(减)速直线运动，其合运动不一定是匀加(减)速直线运动，如图甲、图乙所示.图甲情形为匀变速曲线运动；图乙情形为匀变速直线运动(匀

减速情形图未画出)，此时有2

121a a v v =.

二、船过河问题的分析与求解方法

1.处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动.

2.对船过河的分析与讨论.

设河宽为d ，船在静水中速度为v 船，水的流速为v 水.

(1)船过河的最短时间

如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ，这时船速在垂直河

岸方向的速度分量为v 1＝v 船sin θ，则过河时间为t ＝θ

sin 1船v d v d =，可以看出，d 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小.当θ＝90°时，即船头与河岸垂直时，过河时间最

短t min ＝船

v d ，到达对岸时船沿水流方向的位移x ＝v 水t min ＝船水v v d . (2)船过河的最短位移

①v 船>v 水

如上图所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角为θ.当船的合速度垂直于河岸时，此情形

下过河位移最短，且最短位移为河宽d .此时有v 船cos θ＝v 水，即θ＝arccos 船

水v v . ②v 船

如图所示，无论船向哪一个方向开，船不可能垂直于河岸过河.

设船头与河岸成θ角，合速度v 合与河岸成α角.可以看出：α角越大，

船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖

为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据cos θ＝水

船v v ，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos

水船v v ，船沿河漂下的最短距离为 x min ＝(船水v v -cos θ) θ

sin 船v d .此情形下船过河的最短位移x ＝d v v d 船水=θ cos . 三、如何分解用绳(或杆)连接物体的速度

1.一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度，若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解.通常先虚拟合运动(即实际运动)的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度的方向，最后利用平行四边形画出合速度和分速度的关系图，由几何关系得出它们的关系.

2.由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解.

典例精析

1.曲线运动的动力学问题

【例1】光滑平面上一运动质点以速度v 通过原点O ，v 与x 轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力F x 和沿y 轴正方向的恒力F y ，则( )

A.因为有F x ，质点一定做曲线运动

B.如果F y ＞F x ，质点向y 轴一侧做曲线运动

C.质点不可能做直线运动

D.如果F x ＞F y cot α，质点向x 轴一侧做曲线运动

【解析】当F x 与F y 的合力F 与v 共线时质点做直线运动，F 与v 不共线时做曲线运动，所以A 、C 错；因α大小未知，故B 错，当F x ＞F y cot α时，F 指向v 与x 之间，因此D 对.

【答案】D

【思维提升】(1)物体做直线还是曲线运动看合外力F 与速度v 是否共线.

(2)物体做曲线运动时必偏向合外力F 一方，即合外力必指向曲线的内侧.

【拓展1】如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲

线运动，当物体从M 点运动到N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物

体在M 点到N 点的运动过程中，物体的动能将( C )

A.不断增大

B.不断减小

C.先减小后增大

D.先增大后减小

【解析】水平恒力方向必介于v M 与v N 之间且指向曲线的内侧，因此恒力先做负功后做正功，动能先减小后增大，C 对.

2.小船过河模型

【例2】小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.

(1)若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度v 2＝1.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

【解析】(1)若v 2＝5 m/s

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向.

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度

为v 2＝5 m/s

t ＝5

1802==⊥v d v d s ＝36 s v 合＝2221v v +=52

5 m/s s ＝v 合t ＝905 m

②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸

方向成某一角度α. 垂直河岸过河这就要求v ∥＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由v 2sin α＝v 1得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短.

s ＝d ＝180 m

t ＝324s 32

518030 cos 2==?=⊥v d v d s (2)若v 2＝1.5 m/s

与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速

度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s ＝α

sin d ，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大

小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合与水

平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即v 合⊥v 2.

sin α＝5

35.25.112==v v 解得α＝37°

t ＝2

.118037 cos 2=?=⊥v d v d s ＝150 s v 合＝v 1cos 37°＝2 m/s

s ＝v 合?t ＝300 m

【思维提升】(1)解决这类问题的关键是：首先要弄清楚合速度与分速度，然后正确画出速度的合成与分解的平行四边形图示，最后依据不同类型的极值对应的情景和条件进行求解.