离散数学复习题参考带答案

一、选择题：（每题2’）

1、下列语句中不是命题的有（ ）。

A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。

B ．鸡有三只脚。

C ．太阳系以外的星球上有生物 。

D ．你打算考硕士研究生吗?

2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。

A ． A 与

B 有相同的原子变元

B ． A 与B 都是可满足的

C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真

D ． A 与B 有相同的真值

3、所有使命题公式P ∨(Q ∧?R)为真的赋值为（

）。 A ． ，100，101，110，111

B ． ，100，101，111

C ． 全体赋值

D ． 不存在

4、合式公式?(P ∧Q)→R 的主析取式中含极小项的个数为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．5

D ．0

5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取式

B ．合取式

C ．主析取式

D ．以上答案都不对

6、下述公式中是重言式的有（ ）。

A ．(P ∧Q) → (P ∨Q)

B ．(P ?Q) ? (( P →Q)∧(Q →P))

C ．?(P →Q)∧Q

D ．P →(P ∧Q) 7、命题公式 (?P →Q) →(?Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8、若公式 (P ∧Q)∨(?P ∧R) 的主析取式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取式为（ ）。

A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111

B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101

C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111

D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101

9、下列公式中正确的等价式是（ ）。

A ．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x)

B ．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y)

C ．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x)

D ．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x)

10、下列等价关系正确的是（ ）。

A ．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ? ?x P(x) ∨?x Q(x)

B ．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ? ?x P(x) ∨?x Q(x)

C ．?x ( P(x) →Q ) ? ?x P(x) → Q

D ．?x ( P(x) →Q ) ? ?x P(x) → Q

11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。

A ．?x ?y （x ·y=1）

B ．?x ?y （x ·y=0）

C ．?x ?y （x ·y=y ）

D ．?x ?y （x+y=2y ） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（ ）?S 。

A ．{{1,2}}

B ．{1,2 }

C ．{1}

D ．{2}

13、下列是真命题的有（ ）。

A ．{a}?{{a}}

B ．{{?}}∈{?,{?}}

C ．?∈{?,{?}}

D ．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S 有（ ）个元素。

A ．3

B ．6

C ．7

D ．8

15、已知幂集的基数|ρ( A)|=2048，则集合A 的基数|A|为（ ）。

A ．11

B ．12

C ．10

D ．9

16、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23

B ． 32

C ．23?3

D ．32?2

17、设A={a, b, c, d}，A 上的等价关系R={,,,}∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ ）。

A ．{{a}, {b, c}, {d}}

B ．{{a, b}, {c}, {d}}

C ．{{a}, {b}, {c}, {d}}

D ．{{a, b}, {c, d}}

18、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说确的是（ ）。

A ．若R 、S 是自反的，则R ?S 是自反的

B ．若R 、S 是反自反的，则R ?S 是反自反的

C ．若R 、S 是对称的，则R ?S 是对称的

D ．若R 、S 是传递的，则R ?S 是传递的

19、集合A 上的相容关系R 的关系矩阵M(R)的对角线元素（ ）。

A ．全是1

B ．全是0

C ．有的是1，有的是0

D ．有的是2 20、设集合 A={1，2，3}，A 上的关系R={<1,1>，<1,2>，<2,2>，<3,3>，<3,2>}，则R 不具备（ ）。

A ． 自反性

B ． 传递性

C ． 对称性

D ． 反对称性

21、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为（如图所示），

则R 具有（ ）性质。

A ．自反性、对称性、传递性

B ．反自反性、反对称性

C ．反自反性、反对称性、传递性

D ．自反性

22、设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为

则R 具有（ ）的性质。 A ．自反、对称、传递

B ．什么性质也没有

C ．反自反、反对称、传递

D ．自反、对称、反对称、传递

23、设A={1, 2, 3}，B={a, b}，下列各二元关系中是A 到B 的函数的是（

）。 A ．R={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

B ．R={<1,a>,<2,a>,<2,b>,<3,a>}

C ．R={<1,a>,<2,b>}

D ．R={<2,a>,<2,b>}

24、设R 为实数集，映射f ：R →R ，f (x)= -x 2+2x-1，则f 是（ ）。

A ．单射而非满射

B ．满射而非单射

C ．双射

D ．既不是单射，也不是满射

25、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（）。

A．B．C．D．

26、N是自然数集合，定义f：N→N，f (x) = x mod 3（即x除以3的余数），则f 是（）。

A．满射不是单射B．单射不是满射

C．双射D．不是单射也不是满射

27、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。

A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2}

28、集合A={x | x=2n∧n∈N }对（）运算封闭。

A．加法B．减法C．乘法D．|x－y|

29、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）。

A．?x ∈A，有x*Z=Z*x=Z B．Z ∈A，且?x ∈A有x*Z=Z*x=Z

C．Z ∈A，且?x ∈A有x*Z=Z*x=x D．Z ∈A，且?x ∈A有x*Z=Z*x=Z

30、下面偏序集（）能构成格。

31、在（）中，补元是唯一的。

A．有界格B．有补格C．分配格D．有补分配格。

32、下面四组数能构成无向简单图的度数序列的有（）。

A．(2, 2, 2, 2, 2) B．(1, 1, 2, 2, 3) C．(1, 1, 2, 2, 2) D．(1, 1, 3, 3, 3)

33、无向图结点之间的连通性，是结点集之间的一个（）。

A．连通关系B．偏序关系C．等价关系D．函数关系34、已知图G的相邻矩阵为：

则G有（）。

A．5点，8边B．6点，7边C．5点，7边D．6点，8边

35、下列四组数为结点度序列，能构成无向图的是（）。

A．2, 3, 4, 5, 6, 7 B．1, 2, 2, 3, 4

C．2, 1, 1, 1, 2 D．3, 3, 5, 6, 0

36、下列几个图是简单图的有（）。

A．G1=(V1,E1)，其中V1={a, b, c, d, e}，E1={(a,b), (b,e), (e,b), (a,e), (d,e)}

B．G2=(V2,E2)，其中V2=V1，E2={, , , , , }

C．G3=(V3,E3)，其中V3=V1，E3={(a,b), (b,e), (e,d), (c,c)}

D．G4=(V4,E4)，其中V4=V1，E4={, , , , }

37、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。

A．1 B．2 C．3 D．4

38、一棵树有2个4度结点，3个3数度结点，其余是树叶，则该树中树叶的个数是（）。

A．8 B．9 C．10 D．11

39、设图G是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G中删去（）边后使之变成树。

A．10 B．5 C．3 D．2

40、下面那一个图可一笔画出（）。

41、在如下各图中（）欧拉图。

42、下图中既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图的是（）。

43、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3 的道路有（）条。

A．1 B．2 C．3 D．4

44、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、判断题（每题 1分）

1．)()())()((x xB x xA x B x A x ?∧??∧?。 （ Y ）

2．设A ，B ， C 是任意三个集合。

（1）若A ∈B 且B ?C ，则A ∈C 。 （ Y ） （2）若A ?B 且B ∈C ，则A ∈C 。

（ N ） （3）若A ∈B 且B ?C ，则A ?C 。 （ N ） （4）(A ⊕B)?C=(A ×C) ⊕ (B ×C)。

（ Y ） （5）A ⊕∪(B ⊕C)= (A ∪B)⊕(A ∪C)。 （ N ）

3．A ，B ，C 为任意集合，若A ∪B=A ∪C ，则B = C 。 （ N ）

4．可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。 （ Y ）

5．可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的。 （ Y ）

6．设R 是实数集，R 上的关系S={||x -y |＜2∧x ,y ∈R}，S 是相容关系。（ Y ）

7．若集合A 上的关系R 是对称的，则R c 也是对称的。 （ Y ）

8．数集合上的不等关系（≠）可确定A 的一个划分 （ N ）

9．设集合A 、B 、C 为任意集合，若A ×B = A ×C ，则B = C 。 （ N ）

10．函数的复合运算“ ? ”满足结合律。 （ Y ）

11．集合A 上的恒等关系是一个双射函数。 （ Y ）

12．任何一个循环群必定是阿贝尔群。 （ Y ）

13．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。 （ N ）

14．设< A ，≤ >是偏序集，B ?A ，则B 的极大元b ∈B 且唯一。（ N ）

15．群是每个元素都有逆元的半群。 （ N ）

16．在代数系统< S , *> 中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必是可结合的。 （

N ） 17．每一个有限整环一定是域，反之也对。 （ N ）

18．设是布尔代数，则一定为有补分配格。 （ Y ）

19．若平面图共有v 个结点，e 条边和r 个面，则v – e + r = 2。 （ N ）

20．任何有向图中各结点入度之和等于边数。 （ Y ）

21．若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。 （ N

） 22．一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ3,3或Ｋ5在２度结点同构的子图。 （ N

） 23．有割点的连通图可能是哈密尔顿图。 （ N ）

24．无多重边的图是简单图。 （ N ）

25．根树中最长路径的端点都是叶子。 （ N ）

26．在完全二叉树中，若有t 片叶子，则边的总数 e =2 t －1 。 （ N ）

27．群中可以有零元（对阶数大于1的群）。 （ N ）

28．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。 （ N ）

29．每一个链都是分配格。 （ Y ）

30．不可能有偶数个结点，奇数条边的欧拉图。 （ N ）

31．集合A 上的恒等关系是一个双射函数。 （ Y ）

32．设Q 为有理数集，Q 上运算 * 定义为),max(b a b a =*，则>*<，Q 是半群。

（ Y ） 33．在完全二元树中，若有t 片叶子，则边的总数12-=t e 。 （ N ）

34．能一笔画出的图不一定是欧拉图。 （ Y ）

35．根树中最长路径的端点都是叶子。 （ N ）

36．命题公式(A ∧(A →B))→B 是一个矛盾式。 （ N ）

37．设R 是实数集，R 上的关系F={| |x -y |<2∧x ,y ∈R} ，则F 是相容关系。（ Y ）

38．设< A ，≤>是偏序集，B ?A ，则B 的极大元b ∈B 且唯一。 （ N ）

39．无多重边的图是简单图。 （ N ）

40．谓词公式?x P(x ) →?x Q(x )∨?y R(y )的前束式是?x ?z ?y (P(x )→Q(z )∨R(y ))。（ Y ）

三、解答题（本题分4小题，共计35分）

1、试求))()((P Q Q P P ?∨??∧→→的主析取式。

2、用真值表判断下列公式是永真式？永假式？可满足式？

（1）(P ∧?P)?Q

（2）?(P →Q) ∧Q （3）((P →Q)∧(Q →R))→(P →R)

解：（1）真值表：

因此公式（1）为可满足。

（2）真值表

因此公式（2）为永假式。

（3）真值表

因此公式（3）为永真式。

3、设个体域是D={2，3，6}，F(x):x ≤3，G(x):x>5，消去公式?x(F(x)∧?yG(y))中的量词，并讨论其真值。 解：?x(F(x)∧?yG(y))? ?x(F(x))∧?yG(y)? (F(2)∧F(3)∧F(6))∧(G(2)∨G(3)∨G(6))

? F ∧T ?F

4、求下列公式的前束式：

(1) ?xF(x)∧﹁?xG(x)

(2) (?xF(x,y)→?yG(y))→?xH(x,y)

5、通过求主析取式判断下列命题公式是否等值：(P ∨Q)∧(?P ∨Q ∨R) 与

(P ∧(Q ∨R))∨(Q ∧(?P ∨R))。 解：(P ∨Q)∧(?P ∨Q ∨R)

? (P ∨Q ∨(?R ∧R))∧(?P ∨Q ∨R)

? (P ∨Q ∨?R)∧(P ∨Q ∨R)∧(?P ∨Q ∨R)

? M 1∧M 0∧M 4? M 0∧M 1∧M 4 ?∏(0,1,4)? ∑(2,3,5,6,7)

(P ∧(Q ∨R))∨(Q ∧(?P ∨R))

? (P ∧Q)∨(P ∧R)∨(?P ∧Q)∨(Q ∧R)

? (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧?Q ∧R)

∨(?P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R) ∨(?P ∧Q ∧R)

? (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧?Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧?R)

? m 7∨m 6∨m 5∨m 3∨m 2? ∑(2,3,5,6,7)

由此可见 (P ∨Q)∧(?P ∨Q ∨R) ? (P ∧(Q ∨R))∨(Q ∧(?P ∨R))

6、设个体域为D={-2,3,6}，谓词3:)(≤x x P ，5:)(>x x G ，7:)(≤x x R ，求谓词公式的真值： )5())()((G x P x R x ∨→?

7、若集合A={a,{b,c}}的幂集为ρ(A)，集合B={?,{?}}的幂集为ρ(B)，求：ρ(A) ⊕ρ(B)。

解：ρ(A)= {?,{a},{{b,c}},{a,{b,c}} }

ρ(B)={?,{?},{{?}}, {{?,{?}} }

ρ(A) ⊕ρ(B)= {{a},{{b,c}},{a,{b,c}},{?},{{?}}, {{?,{?}} }

8、设集合A={2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，R 为A 上的整除关系，

(1) 画出偏序集的哈斯图；

(2) 写出集合A 中的最大元、最小元、极大元、极小元；

(3) 写出A 的子集B={2, 3, 6, 12}的上界、下界、最小上界、最大下界。

9、集合S={1，2，3，4，5}，找出S 上的等价关系，此关系能产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关

系图。

10、已知A ＝{a ，b ，c ，d }，A 上的关系R 定义为：R ＝{，，，，}， 求：r(R)，s(R)，t(R)。

11、已知A ＝{1，2，3，4，5}，A 上的关系R 定义为：

R ＝{<1,2>，<2,1>，<1,3>，<2,4>，<4,1>，<5,5>，<5,3>，<5,4>}，

求：r(R)，s(R)，t(R)。

12、集合}4,3,2,1{=A 上的关系R={<1,1>, <1,3>, <2,2>, <3,3>, <3,1>, <3,4>,<4,3>, <4,4>}，

写出关系矩阵M R ，画出关系图并讨论关系R 的性质。

13、设集合A={2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，R 为A 上的整除关系，画出偏序集的哈斯图。

14、已知G={1,2,3,4,5,6}，×7为模7乘法。试说明是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是

什么？

15、一棵树T 中，有3个2度结点，一个3度结点，其余结点都是树叶。

（1）T 中有几个结点；

（2）画出具有上述度数的所有非同构的无向图。

16、设A={1，2，3，4，5}，A 上的偏序关系如右图所示，

求：A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}的上界，下界，上确界和下确界。

17、求图中A 到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。

18、设带权无向图如下，求其最小生成树T 及该树的总权值。