离散数学复习题及答案

离散数学复习题及答案 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案：

2.证明

答案：

3. 证明以下蕴涵关系成立：

答案：

4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：

5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q

答案：

①s →t 前提

②t 前提

③s ①②拒取式I12

④s →r 前提

⑤r ③④假言推理I11

⑥p →r 前提 )

()(R P Q P ∨∧∧?

⑦p ⑤⑥拒取式I12

⑧p∨q 前提

⑨q ⑦⑧析取三段论I10

6. 用反证法证明：p→((r∧s)→q), p, s q

7. 请将下列命题符号化：

所有鱼都生活在水中。

答案：

令F( x )：x是鱼 W( x )：x生活在水中8. 请将下列命题符号化：

存在着不是有理数的实数。

答案：

令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数9. 请将下列命题符号化：

尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。答案：

令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的

则上述命题符号化为

10. 请将下列命题符号化：

对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。

答案：

令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x

11. 请将下列命题符号化：

每个人都要参加一些课外活动。

答案：

令P(x):x是人 Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化：

某些人对某些药物过敏。

答案：

令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏

13. 求)

(

))

(

)

(

(y

yR

y

Q

x

P

y?

→

→

?的对偶式:

答案：

14. 求下列谓词公式的前束范式：

)

,

,

(

))

,

(

)

,

(

(u

y

x

uQ

z

y

P

z

x

zP

y

x?

→

∧

?

?

?

答案：

15. 证明：

答案：

16. 用反证法证明：

x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x)

答案：

17. 证明：

前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)).

结论： x(Q(x)∧R(x)).

答案：

(1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入

(2) C(a)∧Q(a) (1)ES

(3) C(a) (2)化简规则

(4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入

(5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US

(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理

(7) R(a) (6)化简规则

(8) Q(a) (2)化简规则

(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引入规则

(10) x(Q(x)∧R(x)) (9)EG

18. 判断：下列命题是否正确？

答案：

(1) √

(2) ×

(3) √

(4) √

(5) √

(6) √

(7) √

(8) ×

19. 列出下列集合的元素

(1) {x|x∈N∧t(t∈{2,3}∧x=2t)}

(2) {x|x∈N∧ts(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t

(3){x|x∈N∧t(t整除2x≠t)}

答案：

(1) {4,6}

(2) {1,2,3}

(3) {3,4,5…}

20.

S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}

B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}

答案：

21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。有14人选了A和B，213人选了A和D，211人选了B和C ，43人选了C和D。没有学生同时选择A 和C，也没有学生同时选择B和D。问共有多少学生在这四门课程中选了课？

答案：

解：画文氏图

280+87+38+88 + 14+211+213+43

=974

22. 分别求下列集合的幂集

(1) (2){} (3){1,{,1}}

答案：

解:(1) ρ()={} 空集的幂集的基数为1

(2) ρ({})={,{} } 幂集的基数为2

(3) ρ({1,{,1}})={,{1},{{,1}},{1,{,1}}}

23.

A={0,1},B={1,2},C={3,4,5},求A×B, B×A, A×B×C, A2, C2 .

答案：

A×B={(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}

B×A={(1,0),(2,0),(1,1),(2,1)}

A×B×C={ (0,1,3), (0,1,4), (0,1,5), (0,2,3), (0,2,4), (0,2,5), (1,1,3), (1,1,4), (1,1,5), (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)}

A2 ={ (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}

C2 ={ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4),(4,5),(5,3), (5,4),(5,5)}

24.

1. 设A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},下列选项正确的是（C）

A. 1∈A

B. {1,2,3} A

C. {{4,5}} A

D.

∈A

2. 设A={x|x3 –x=0}, B={x|x2 – 4<0,x∈z},C={x|y=2x-1},D={x|x+y=5, xy=6}

则有（A）

A. A=B

B. A=C

C. C=D

D. C=A

25. 求关系的定义域和值域：

设A = {2，4，6，8}，R是A上的小于关系，即当a, b∈A且a< b时，（a, b）

∈R，求R及D( R ),C( R )

答案：

R = {（2，4）,（2，6）,（2，8）,（4，6）,（4，8）,（6，8）}.

R的定义域D( R ) ={2，4，6}，

R的值域C( R ) = {4，6，8}。

26. 设A = {a, b, c, d },求A上的恒等关系。

= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)}。

答案：I

A

27. 设A = {1,2,3,4,5}, R是A上的小于等于关系, 即当a ≤ b时, (a, b) ∈R。求R

的关系矩阵和关系图。

答案：

解:易知A上的小于等于关系为

R = {（1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5), (4,4),(4,5),(5,5)}

其关系矩阵为

28. X={a,b,c}，Y={1,2}，

关系R={(a,1),(b,2),(c,1)} S={(a,1),(b,1),(c,1)}

求R∪S、R∩S和R的补

答案：

29. 设A={1，2，3}，B ={a, b, c, d},C ={x, y, z}，R是A到B的二元关系，R = {(1,

a), (1, b), (2, b), (3, c)}，S是B到C的二元关系，S = {(a, x), (b, x), (b, y), (b, z)}。求复合关系RοS的关系矩阵.

答案：

30.

答案：

31. 设A = {a,b,c}，R 是A 上的二元关系， R = {(a,a), (b,b), (a,b), (a,c), (c,a)}， 问：R 是自反的吗是反自反的吗是对称的吗是反对称的吗是可传递的吗 答案：

由于c ∈A ，而(c,c) ，所以R 不是自反的。 ×

由于(a,a)∈R ，(b,b)∈R ，所以R 不是反自反的。 ×

由于(a,b)∈R ，而(b,a) ，所以R 不是对称的。 ×

由于(a,c)∈R ，且(c,a)∈R ，所以R 不是反对称的。 ×

由于(c,a)∈R ，且(a,c)∈R ，但(c,c) ，所以R 不是可传递的。 ×

32.

设A={1,2,3}，分析A 上的下述5个关系具有哪些性质：

L={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}

N={<1,3>,<2,3>}

S={<1,2>,<2,1>,<1,3>}

G={<1,1>,<1,2>,<2,3>}

答案：

33. 设A = {a, b, c, d}，A 上的关系，R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)} 求r(R)、s(R)、t(R)

R ?R ?R ?

答案：

34. A={a,b,c}, R={(a,b),(b,c),(c,a)}，求r(R), S(R)和t(R)

答案：

35. A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)},判断R是否是等价的。

答案：

36. 判断下列关系是否为等价关系？

(1) A={a,b,c,d}， R={(a,a),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,c)}

(2) A={1,2,3,4}，

R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(2,3),(3,3),(4,4),(3,2)}

答案：

（1）×

（2）√

37. A={1,2,3,4}在幂集ρ(A)上定义的二元关系如下：R={(S,T)|S,T∈ρ(A)，

|S|=|T|}，写出商集ρ(A)/R。

答案：

解：首先求ρ(A)。

ρ(A)={

, {1},{2},{3},{4} , {1,2},{1,3} ,{1,4} ,{2,3} ,{2,4} ,{3,4},

{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,3,4} ,{2,3,4} ,

{1,2,3,4} } 共16个元素！

38. 设集合X={2166，243，375，648，455}

X中的关系R为：R={(x,y)|x,y∈X，并且x和y中有相同数字}

问：R是不是相容关系？

答案：

39. A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上的整除关系，请画出Ｒ的哈斯图。

答案：

40. 已知偏序集的哈斯图如图所示, 试求出集合A和关系R的表达式. 求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、上界、最大下界、最小上界.

答案：

极小元：a, b, c, g；

极大元：a, f, h；

没有最小元与最大元.

B的下界和最大下界都

不存在, 上界有d 和 f,

最小上界为 d.

41. 以下关系矩阵所代表的关系是什么关系？

答案：

相容关系

42. 设集合A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上的整除关系，请问关系R是否是偏序关系是否是全序关系画出Ｒ的哈斯图，并根据图求集合A的极大极小元、最大最小元，

设B={2，3，4}，求集合B的上界、最小上界、下界、最大下界。

答案：

是偏序关系，不是全序关系。

A的极大元：24,16,10

A的极小元：1

A的最大元：没有

A的最小元：1

B的上界：12,24

B的最小上界：12

B的下界：1

B的最大下界：1

43. 找出如下哈斯图中的子集{a,b,c}、{j,h}和{a,c,d,f}的上界和下界。答案：

{a,b,c} 上界：e,f,j,h 下界：a

{j,h} 上界：无下界：f,d,e,b,c,a

{a,c,d,f} 上界：f,j,h 下界：a

44. 判断下列关系是否是映射？是否是单射是否是满射

答案：

映射（非单射、非满射）、映射（满射）

映射（单射）、不是映射

45. X={x1,x2,x3}, Y={y1,y2}, Z={z1,z2} f:X→Y，g:Y→Z，求h= gf

答案：

46.

下列哪些关系可以构成函数（映射）

a. f={(x,y)|x,y∈N, x+y<10}

b. f={(x,y)|x,y∈R, x2=y}

答案：

能

不能

47.

判断下列函数是单射、满射或双射？

a. f:N→N, f(x)=x+2;

b. f:N→N, f(x)=x (mod 2);

c. f:N→ρ(N), f(x)={x};

答案：

单射

什么都不是

单射

48. f1°f = ，f°f1= 答案：

f1°f =I

A ，f°f1= I

B

49.

构造下列函数的反函数：

(x)=sinx

(x)=x2 , x∈(-∞，0)

={1,2,3},B={a,b,c},f:A→B, f={(1,a),(2,c),(3,b)}答案：

f-1(x)=arcsinx

f-1(x)=-x1/2

f-1={(a,1),(c,2),(b,3)}

50.

答案：

51.

已知x={a,b,c },Y={1,2,3,4} f:X→Y如图所示, 试构造函数g:Y→X,使得g·f=Ix 答案：

g={(1,a),(2,c),(3,b),(4,a)}

52.

请给出图中各点的度数，以及图的最大度数和最小度数。

答案：

d(v1)=4, d(v2)=4, d(v3)=2, d(v4)=1, d(v5)=3

D(G)=4, d(G)=1

53. 请给出图中各点的出度和入，以及图的最大出度和最小入度。

答案：