完整动态规划答案

02队

备件配置优化问题

摘要本文讨论了在一定总费用下，如何配置各部件的备件使系统的可靠性最大的问题。

对问题一，以部件配置备件的数量为决策，根据状态变量和决策变量写出状态转移方程。然后从后向前地计算系统可靠性最大的概率，得到递推公式和终端条件。

对问题二，将数据代入问题一的模型。系统的可靠性最大问题转化为求部件间相通的最大概率问题，从后向前分别求出系统联通的概率，最后比较得出要使系统的可靠性最大，则需部件1、2、3的备件数分别为3个、1个、2个。

动态规划模型常用来求解经济管理中的货物存贮、设备更新、资源分配、任务均衡、水库调度、系统可靠性等问题，在离散系统最优控制中也有广泛应用。

关键词动态规划；备件配置；系统可靠性

一、问题提出

系统由若干部件串联而成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作。为了提高系统可靠性每个部件都装有备件，一旦原部件出线故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。在一定的总费用下，如何配置各部件的备件使系统的可靠性最大是一个实际问题。

通过建立相关数学模型，解决如下问题：

问题一：由n个部件串联的系统，当部件k配置j个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，在总费用不超过给定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。

问题二：设3

n且每个部件至多配置3个备件，部件k配置j个备件时正常

工作的概率

p及费用kj c如表1，总费用不超过10，如何配置各部件的备件数使kj

系统的可靠性最大。

二、问题分析

该问题属于离散动态优化问题。动态规划模型是解决该问题的有效方法。

对问题一：将部件配置备件的次序划分阶段，部件配置备件的数量为决策，根据状态变量和决策变量写出状态转移方程。然后从后向前地计算系统可靠性最大的概率，得到递推公式。

对问题二：只需将问题二中的数据代入问题一所建的模型中即可。至于模型的求解，可将每个部件配置备件的费用看做各个部件的不同站点，画出示意图，从一个部件的每一个站点到达下一部件的哪个站点由总费用不超过10元及部件间相通的概率决定。系统的可靠性最大问题就可转化为求部件间相通的最大概率问题。从后向前分别求出系统联通的概率，最后比较得出结果。

三、基本假设

1、假设系统的可靠性仅与配置备件的数量有关；

2、假设备件与原部件完全相同；

四、符号表示

五、模型建立与求解

5.1 n 个系统串接的系统可靠性最大模型

按照对n 个部件配置备件的次序划分阶段n k k ,,2,1,⋅⋅⋅=，部件配置备件的数量m j j ,,2,1,⋅⋅⋅=为决策。根据费用的限制，设部件k 配置备件时所容许的费用状态为k x ，则状态转移方程为.1kj k k c x x -=+

设状态k x 下部件k 到n 组成的子系统的最大正常工作概率为)(k

x k f 。则有递推

公式：

.1,2,,,,,2,1)],(max[)(11⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==++n k m j x f p x f k k kj k k

终端条件为.1)(11=++n n x f

5.2 3个部件串接系统的模型求解

将（1）中的模型直观地化为下面的最大概率问题，如图1.

图1系统正常工作的最大概率问题

每个部件配置备件的费用看做各个部件的不同站点，部件1有2,4,5三个站点，部件2有3,5,6三个站点，部件3有1,2,3三个站点，图中这些站点用圆圈里的数字表示。从一个部件的每一个站点到达下一部件的哪个站点由总费用不超过10元及部件间相通的概率决定。这样系统的可靠性最大就转化为求部件间相通的最大概率问题。

最大概率问题从后向前求解,部件2的每个站点与部件3的每个站点相通的概率如下:

42

.0)1(3=f 56.0)2(3=f 63.0)3(3=f 48.0)1(5=f 64.0)2(5=f

72

.0)3(5=f 54.0)1(6=f 72.0)2(6=f

部件1的每个站点到部件3的各个站点的最大概率如下：

366.0max )1(512

)1(312)

1(4=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⋅=f p f p f {}392.0max )2(312)2(4=⋅=f p f

{}441.0max )3(312)3(4=⋅=f p f {}378.0max )1(313)1(5=⋅=f p f

{}504

.0max )2(313)2(5=⋅=f p f 27

.0max )1(611

)1(511)1(311)

1(2=⎪

⎭⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=f p f p f p f

36

.0max )2(611

)2(511)2(311)

2(2=⎪

⎭⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=f p f p f p f 36.0max )3(511)3(311)

3(2=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⋅=f p f p f

比较部件1的每个站点到部件3的各个站点的最大概率可知，部件1与部件

3相通的最大概率为0.504.此时部件1、2、3的备件购买费用分别为5、3、2，即部件1、2、3的备件数分别为3、1、2。

综上所述，要使系统的可靠性最大则需部件1、2、3的备件数分别为3个、1个、2个。

六、模型评价与推广

该模型运用动态规划的数学思想，将求系统可靠性最大问题转化为求部件间相通的最大概率问题，便于模型的求解。而动态规划模型在数值求解时存在维数灾，由于状态个数随维数呈指数增长，对高维问题求解十分困难。

动态规划模型常用来求解经济管理中的货物存贮、设备更新、资源分配、任务均衡、水库调度、系统可靠性等问题，在离散系统最优控制中也有广泛应用。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第四版)[M].北京:高等教育出版社