黄金分割在生活中的应用

黄金分割在生活中的应用

在我们生活环境中，门、窗、桌子、箱子、书本之类的物体，它们的长度与宽度之比近似0.618，就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。

节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置。

姿态优美，身材苗条的时装模特和偏偏起舞的舞蹈演员，他们的腿和身材的比例也近似于0.618的比值。凡是具有这种比例的图样，看上去会感到和谐、平衡、舒适，有一种美的感觉。生活中用的纸为黄金长方形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金长方形。

打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。

其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。

因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。

黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严

格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。

世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、古埃及胡佛金字塔、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面, 都有意无意地运用了黄金分割的法则, 给人以整体上的和谐与悦目之美。

例如，法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8∶5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。希腊人建筑上所用的柱子，和符合“黄金分割律”的人身一样，有着一种节奏性的和谐，柱头和柱身的比例也是一比七。“黄金分割律”在线条、面积、体积上的体现则比较明显，古希腊人运用的也最多。他们的“黄金分割点”十分有名。面积上以长方形为最美，且长方形的边长和高的比例是七比一。在立体建筑物方面，如台阶、窗门，以及整个建筑的高低比例都符合“黄金分割律”，即七比一。古希腊神殿的柱子有所谓“科林斯柱式”（Corinthian），柱头和柱身比例是一比七，这些高耸的柱子和神像的高度之间的比率也是七十比十。柱身中段略肥，两端瘦削，这也取材于人体体态上的美趣。

在现代建筑中，许多著名的大建筑师都在他们的设计中运用“黄金分割比”，如米斯·凡·德洛（Ludwig Mies Van der Rohe，1886-1969）的别墅，勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965）朗香教堂（La chapella de Ronchamp)等。而在一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。

中外历代雕塑更能说明问题。与前面提到的《米罗的维纳斯》一样，古希

腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长,到后期又确定为8个头长。同时,几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。如希腊雕塑的典范作品《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例关系的探索和应用。

中国佛教造像对规格尺寸和比例也十分讲究，因为十方诸佛均具有三十二相，八十种随形好，经过无量劫修菩萨行，终成无上正等正觉，故具有凡夫所不能有的殊妙庄严，上至肉髻、螺发，下至足底法轮纹样，佛身的每一处都有一定的尺寸比例，如浙江天台山的佛教造像就是一例：诸佛佛像的全身总长度（自肉髻顶端至脚踵根）共可分成120等分，由肉髻顶端至腰部为48等分，由腰部至足跟底为72等分。以全身总长度和腰以下部分相比，为1：0.6，这个比例与“黄金分割率”极为相近，说明诸佛的体态符合世界公认的最完美的比例。

一、数的和谐分割

古希腊著名的学者毕达哥拉斯早在公元前五世纪就提出了“万物皆数”的重要观点。他从铁匠打铁时发出的具有节奏和起伏的声响中测出了不同音调的数的关系，并通过在琴弦上所作的实验找出了八度、五度、四度和谐的比例关系。在对“数”特别是音乐的研究过程中，他发现“和谐能够产生美感效果，和谐是由一定数的比例关系中派生出来的。”他把这种数的比例关系推广到音乐、绘画、雕刻、建筑等各个方面。“黄金分割率”就是和谐比例关系的其中之一。而今，毕达哥拉斯关于“万物皆数”的观点己成为近、现代科学观念的一个主要特征，并从一定的层面上被“数字化时代”的到来所印证。

二、黄金分割率与美感

世界上万事万物的形式是丰富多彩的，因而关于形体的比例也是多种多样的。人们最常见的一种恰当的比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”，也叫做“中外分割”。黄金分割是指一个线段、一个平面或一个形体分割为a和b两部分，其较小部分与较大部分之比，列为公式即：设a则a:b=b:(a+b),这样的比例关系的比值大致是0.618:1,其近似值为2:3

或3:5、5:8等。德国数学家阿道夫·蔡辛曾经断言说：宇宙之万物，不论花草树木，还是飞禽走兽，凡是符合黄金律的总是最美的形体。

毕达哥拉斯学派在五角星中首先发现了这种数理关系，当年仅仅用于对建筑、雕塑等现象的解释。今天，黄金分割不仅为建筑、工艺、绘画、雕塑等造型艺术广泛采用，而且还为工业产品设计、日常生活用品的造型所普遍借鉴和利用。例如汽车、电视、机床、房屋、桌椅、书报、邮票、黑板、提包等等，在外形上绝大多数符合3:5、5:8、8:13、13:21、21:34……的黄金分割比例关系。在摄影艺术中，特别讲究将一张胶片分为九个黄金格，中间一格的四个角为四个黄金点，相片主体的位置越靠近黄金点，其主体形象就越鲜明、越突出、越具有开放性和感染力。还有人对一些著名的音乐作品进行了分析，他们发现：乐曲中华彩乐段即最感人的高潮旋律的出现，大多数和黄金分割点相接近。

当大自然的气温在28°C时，与人体的正常温度37°C的比例为0.618：1时，这就是最舒适宜人的气温。现代科学还发现，当人的大脑所呈现的β（倍塔）脑电波，其低频率与高频率之比是0.618：1的近似值（8赫兹与12.9赫兹之比）时，人的身心最具快感。

黄金分割为什么会成为人们所喜爱的比例关系呢？主要是由于这种比例关系合乎一般事物的常态，它可能就是某些物种和人的形体等形式的内在固有尺度，令人感到顺眼、舒服。

我国成年人体可分为较高、中等、较低三种。肩宽和臀宽的平均数为362毫米，从肩峰到臀底的高为586毫米，躯干的宽与高之比为1：1.618。如果把人体以肚脐为界分为上下两个部分，上部从头顶到咽喉，再从咽喉到肚脐；下部从肚脐到膝盖，再从膝盖到脚掌，这些上下两个部分中各自的比例关系，大体上都符合黄金分割律，即上部为3：5，下部为5：3。这种匀称的比例关系反映了人体各部分的正常健康的发育，因而看起来比较和谐。

三、黄金分割率由来

数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的总和。

2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。

有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。金字塔和上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0．618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。

另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！这组数字十分有趣。0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。

还有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。

神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。

四、黄金分割率的特点

黄金分割率的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：

（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。

（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。

（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。

（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于2．618；如与前两数字相比，其值则趋近于0．382。

理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。即：

（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809

（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618

五、正确认识黄金分割率

黄金分割被人确认为美的比例关系，是长期的历史实践和文化积淀的结果，也与人的生理特征——眼睛横向生长有关。根据视觉生理学的研究成果已经证明，黄金律与人的视觉比例（1：1.62）最接近，所以符合黄金分割的比例形式最容易引起人视觉上的美感。

在此同时我们也应认识到，黄金分割只是作为形式美组合规律中的因素之一，因此不能把黄金分割的比例关系绝对化。如果生搬硬套地把这种匀称的比例关系用到一切事物的造型中去，进而违反其它的形式美规律，就会适得其反。人们在劳动实践和日常生活中，对某种事物间比例关系的确定，主要是出于人的实用目的的要求，要受到具体环境条件的制约和规范。例如在设计门窗时，很自然地要考虑到人的活动的特殊需求：住宅居室的门可以窄而小一些，这里有经济、方便和幽静隔音的考虑；可是工厂、机关、剧院、礼堂的大门，就要顾及气势、仪表、方便出入、通风采光甚至紧急情况下采取应急措施等方面的需要。只有在方便、美观、经济、实用的基础上，既合规律又合目的地正确运用形式美的比例关系，才是美的。

世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、古埃及胡佛金字塔、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各

异，但在构图布局设计方面, 都有意无意地运用了黄金分割的法则, 给人以整体上的和谐与悦目之美。

例如，法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8∶5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。

希腊人建筑上所用的柱子，和符合“黄金分割律”的人身一样，有着一种节奏性的和谐，柱头和柱身的比例也是一比七。“黄金分割律”在线条、面积、体积上的体现则比较明显，古希腊人运用的也最多。他们的“黄金分割点”十分有名。面积上以长方形为最美，且长方形的边长和高的比例是七比一。在立体建筑物方面，如台阶、窗门，以及整个建筑的高低比例都符合“黄金分割律”，即七比一。古希腊神殿的柱子有所谓“科林斯柱式”（Corinthian），柱头和柱身比例是一比七，这些高耸的柱子和神像的高度之间的比率也是七十比十。柱身中段略肥，两端瘦削，这也取材于人体体态上的美趣。

在现代建筑中，许多著名的大建筑师都在他们的设计中运用“黄金分割比”，如米斯·凡·德洛（Ludwig Mies Van der Rohe，1886-1969）的别墅，勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965）朗香教堂（La chapella de Ronchamp)等。而在一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。

中外历代雕塑更能说明问题。与前面提到的《米罗的维纳斯》一样，古希腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长,到后期又确定为8个头长。同时,几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。如希腊雕塑的典范作品

《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例关系的探索和应用。

中国佛教造像对规格尺寸和比例也十分讲究，因为十方诸佛均具有三十二相，八十种随形好，经过无量劫修菩萨行，终成无上正等正觉，故具有凡夫所不能有的殊妙庄严，上至肉髻、螺发，下至足底法轮纹样，佛身的每一处都有一定的尺寸比例，如浙江天台山的佛教造像就是一例：诸佛佛像的全身总长度（自肉髻顶端至脚踵根）共可分成120等分，由肉髻顶端至腰部为48等分，由腰部至足跟底为72等分。以全身总长度和腰以下部分相比，为1：0.6，这个比例与“黄金分割率”极为相近，说明诸佛的体态符合世界公认的最完美的比例。

就像在建筑与雕塑中一样，神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（Holy Family）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。拉斐尔的《刑罚》（Crucifixion）是另一著名例子，其人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。这方面的例子还有伦伯朗的《自画像》、透纳的《日出中的诺城堡》（Norham Castle at Sunrise）、修拉的《阅兵》（La Parade）、《浴者》（Bathers）。现代绘画中超现实主义画家达利（Salvador Dali，1904-1989）的《最后的圣餐》（The Sacrament of the Last Supper）最能说明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形”之中，而人物的布置也包含着黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包含12个符合黄金比例的五边形。

除了造型外，绘画中的混色原理也是通过比例而获得美的一种绝妙原理。两种原色调合后会产生出间色，如红与黄调和出橙色, 而这橙则根据红、黄二色所占的不同比例, 可呈现出不同的色相来。为调配出一种间色所使用的两种原色当然不是等量的, 而人们习惯采用的调配当量往往是:

黄3—红5—青8，即:黄3+ 红5= 橙8，或者黄3+ 青8= 绿11，青5+ 红8= 紫13。这个调配量其实正符合斐波那契数列, 亦即符合黄金分割定理, 因此它所调出来的颜色就比较合适、自然, 看起来给人一种美感。至于两种间色的混合, 三种原色的混合, 间色与黑色的混合, 原色与黑色的混合, 原色与其补色的混合,

这一切所产生的复色, 尽管其中的比例要更为复杂, 但只要找出其各自的符合黄金分割的比例来, 就不难达到令人满意的程度。

黄金分割在优美的音乐和诗歌中同样可以找到。据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有关。后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“美化”其作品。典型的例子有巴赫的《神游》D小调中7对间奏和沃兹涅先斯基的诗《戈雅》中的叠句。

除了在艺术中外，“黄金分割比”在日常生活中也有广泛的应用。例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。甚至在买卖股票的操作中也能以黄金分割线作为指导（股价极容易在由

0.382，0.618，1.382，1.618这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力，黄金分割线与黄金分割数是不同的概念，却有着紧密的联系）。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上上的“星”都是五角形的星。

黄金分割规律还为直接最优化方法的建立提供了依据。优选法是一种求最优化问题的方法，即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少。数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。1953年，美国的基弗提出“0.618法”获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳。

在家具与室内装饰领域，意大利汤玛莎拉家具成功地将“黄金分割”运用到制作当中，达到了一种整体的和谐之美。在汤玛莎拉展厅内您可以看到地柜的长高比，地柜上小相门的长宽比都是黄金分割，对开门的下方设计有一对抽屉，抽屉的长度与柜门的高度以及整个衣柜的宽度与高度之比，也都符合黄金分割定律，这种大的黄金分割套小的黄金分割，使得整体一件家具处处都显得匀称和谐，优美雅致。由带有黄金分割设计的单家具，组合而成的成套家具，其整体的协调性与观赏性，更可以达到和谐的统一。

植物中的黄金分割：

植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。那么这个最佳角度是多少呢？我们可以把这个角度写成360°×n，其中0＜n ＜1，由于左右各有一个角度是一样的(只是旋转的方向不同)，例如n=0.4和n=0.6实际上结果相同，因此我们只需考虑0.5≤n＜1的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n = 0.5 =1/2，但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向，……，也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。如果0.6 = 3/5 呢？

绕3周就出现重叠，而且总共也只有5个方向。事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现重叠，共有q个生长方向。

显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。选什么样的无理数呢？圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7,5/7和2/5非常接近，也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7, 7和5个方向。所以结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。我们在前面已经提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。也就是说，n 的最佳值≈0.618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°×0.618 ≈ 222.5°或137.5°。

最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相邻两叶所成的角度(称为开度)，如果我们要把它们换算成n(表示每片叶子最多绕多少周)，只需用1减去开度，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。

军事上的黄金分割：

编配结构锁定“0.618”

成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。经过研究发现，蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在他的五排制阵型中，重骑兵和轻骑兵为2∶ 3，人盔马甲的重骑兵为2，快捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。

欧洲人是最早有意识地把黄金分割律运用于宗教和艺术方面的，而在军事上的应用是从黑火药时期开始的。那时滑膛枪呈现出取代长矛之势，率先将滑膛枪兵和长矛兵对半混编的荷兰将军摩利士未能突破传统阵型的羁绊，瑞典国王古斯塔夫

对这种正面强翼侧弱的阵型进行调整后，使瑞典军队变成了当时欧洲战斗力最强的军队。他的做法是，在摩利士将军原来的216名长矛兵与198名滑膛枪兵混合编组的基础上，再增加96名滑膛枪兵，这一改变，顺应了科技发展和武器装备进步对战术发展的影响规律，突出了火器在战斗中的作用，使之跨越了冷热兵器时代的分水岭。198+96名滑膛枪兵与216名长矛兵之比，让我们又一次看到了黄金分割律的神奇作用。

间瞄火炮的最大射程如果为17公里，则其最佳射击的距离在11公里左右，为最大射程的2/3。遂行进攻战斗任务时，炮阵地的配置位置距离敌防御前沿一般应为火炮最佳射程的2/3，在7公里左右，正遵循了黄金分割律。在进攻战斗中，第一梯队的兵力兵器约占兵力的2/3，第二梯队约占1/3；在第一梯队中，主攻方向所得到配属和加强通常为总量的2/3，助攻方向则为1/3。防御战斗中，第一道防线的兵力兵器通常为总数的2/3，第二道防线通常为总数的1/3，也正是在悄然重复着黄金分割律。

打击重点指向“0.618”

在中国古代春秋时期，晋厉公率大军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵，厉公采纳了楚军叛臣贲皇的建议，以中军之一部进攻楚军之左军；以另一部进攻楚军之中军，集上军、下军、新军及公族之卒攻击楚之右军，而晋军攻击要点正好选择在楚军战斗队形的黄金分割点上，切中了对方的要害，一举将敌打垮，很快达成了战争目的。

在欧洲两千多年前的亚历山大与大流士的阿贝拉之战中，马其顿人也遵循了黄金分割律，把自己军队攻击的重点指向波斯军队左翼和中央，迅速打乱了敌人的平衡，将波斯军队杀的丢盔卸甲。

战争在“0.618”转折

1812年6月，拿破仑进攻俄国；9月，他在博罗金诺战役后进入莫斯科，这时的拿破仑并未意识到天才和运气正从他身上一点一点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正同时到来。一个月后，法军便在大雪纷飞中撤离莫斯科，三个月的胜利

进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴线上看，拿破仑脚下正好踩在了黄金分割线上。

130年后的另一个6月，纳粹德国启动了针对苏联的“巴巴罗萨”计划，在长达两年多的时间里，德军一直保持进攻势头，直到1943年8月，“城堡”行动结束，德军从此转攻为守，再也没有能对苏军发起一次战役规模的进攻行动。被所有战史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。

海湾战争中，美军一再延长空袭时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内4280辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，也就是将伊拉克军事力量削弱到黄金分割点上后，才抽出“沙漠军刀”砍向萨达姆，地面作战只用100个小时就达成了战争目的。

音乐上的黄金分割：

菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8

小节一段式，高潮点约在第5小节左右（见本教程曲44，第一个8小节乐段）；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。

本教程曲46《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节（24×0.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、Aˊ在各自的第二乐句第2小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，

使乐曲的内容与形式更加完美。大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越靠后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。如本教程曲64莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。据美国数学家乔·巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为。“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。

拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主部与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织，形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金比例。

我们再举一首大型交响音乐的范例，俄国伟大作曲家里姆斯－柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消

失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。