直线与方程知识点总结

直线与方程知识点总结

一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

① 关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.

④ 0,900≥?≤?k α； 0,18090 k ??α （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1

21

2x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件

局限性

点斜式

)(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，

k 为斜率

不包括垂直于x 轴

的直线

斜截式

b kx y +=

k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线

两点式

1

21

121x x x x y y y y --=

--),(2121y y x x ≠≠其中

),(),,(2211y x y x 是直线上

两定点

不包括垂直于x 轴和y 轴的直线

截距式 1=+b y

a x a 是直线在x 轴上的非零截距，

b 是直线在y 轴上的非零截距

不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式

=++C By Ax ）

不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数

无限制，可表示任何位置的直线

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；

（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P

的中点M 的坐标为),(y x ，则???????

+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；

②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.

三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标

就是方程组???=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离

平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2

1221221)()(y y x x P P -+-=

特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += （2）点到直线的距离

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

（3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2

2

12B

A C C d +-=

（注意：

① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）

补充：

1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

（2）．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)

2

π

的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)2

π

π的子集，且k=tan α为增

函数。若k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

2、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 3. 两条直线位置关系的判定：

已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：

（1）0212121=+?⊥B B A A l l

（2）;0,0-//1221122121≠-=?C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=?C A C A B A B A l l 重合与

（4）1l 与2l 相交01221≠-?B A B A

如果2220A B C ≠时，则：

(1)122

1121-=??

⊥B A B A l l (2)?21//l l ）不为0,,(2222

12121C B A C C

B B A A ≠=；

(3)1l 与2l 重合?）不为0,,(222212121C B A C C

B B A A ==

(4)1l 与2l 相交?）不为0,(222

121B A B B

A A ≠

4. 有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称

①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得?

??-=-=11

22y b y x a x

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出

它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称 ①点关于直线的对称

若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组

????

???-=-?--=++++1

)(0)2()2(1

2122121B A x x y y C y y B x x A ???==?22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠）

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，

x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f

②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f 5. 两条直线的交角

①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转

到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时2

11

21tan k k k k +-=

θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成

的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?

???

?2,0π，当

90≠θ，则

有2

11

21tan k k k k +-=

θ.

6. 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： (1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，

① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B ,

.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A

② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.

（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值，

方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”

① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B ,

.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A

(3) 2

2PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

7. 直线过定点问题：

① 含有一个未知参数，

12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=?x x a y （1） 令202-=?=+x x ，

将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-

② 含有两个未知参数

0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++?y x n y x m

令???-+-=+1203y x y x ??????

?=-=?73

71y x

从而该直线必过定点)7

3

,71(-

8. 点到几种特殊直线的距离

（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.

（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。 （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. 9. 与已知直线平行的直线系有：

（1）平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为

（2）平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为

10. 易错辨析：

（1） 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：

① 斜率不存在时，是否满足题意；

② 斜率存在时，斜率会有怎样关系。

（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） （3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：

① 直线与两定点所在直线平行； ② 直线过两定点的中点。

（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。） （4）过点),(00y x A ，平行于x 轴的直线方程为0y y = 过点),(00y x A ，平行于y 轴的直线方程为0x x =