线面垂直的判定和性质定理(习题课)
线面垂直的判定和性质定理（习题课）
A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8a或2a
9 (2) d＝10
5. 10 (2) V＝ 3 (3)
6
4
B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)43
3(3)
3
2
A组基础训练
一、选择题
1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．【答案】 C
2．已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是()
A．3B．2C．1D．0
【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．
【答案】 B
3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.
【答案】 D
图7－5－10
4．(2014·大连模拟)如图7－5－10，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，S D ⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于S C与平面SBD所成的角
D．AB与S C所成的角等于DC与SA所成的角
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵S D⊥底面ABCD，∴S D⊥AC.
其中S D∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥S B.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，S C与平面SBD所成的角为∠C SO，又OA＝OC，SA＝S C，∴∠ASO＝∠C SO.故C正确；由排除法可知选D.
【答案】 D
5．(2014·郑州模拟)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是()
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
【解析】C中，当m∥α，m∥n时，有n∥α或n?α，当n⊥β时，有α⊥β，故C正确．
【答案】 C
二、填空题
图7－5－11
6．如图7－5－11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC 的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．
【答案】③
图7－5－12
7．如图7－5－12，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DE C；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥A B.
【解析】取AE的中点F，连接MF，N F，则MF∥DE，N F∥AB∥CE，从而平面MF N∥平面DE C，故MN∥平面DE C，①正确；
又AE⊥MF，AE⊥N F，所以AE⊥平面MF N，从而AE⊥MN，②正确；
又MN与AB是异面直线，则③错误．
【答案】①②