北师大版八年级下册 因式分解、分式和分式方程 知识点

因式分解

一、基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这

个多项式分解因式．

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()m a b c ma mb mc ++++?

整式的乘积因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式．

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式．

二、提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面． 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．

三、公式法

平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+

2222()a ab b a b -+=-

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 一些需要了解的公式：

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-

2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

四、十字相乘法

十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成

12

a a 1

2

c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++． 若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解．

五、分组分解

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这

就是分组分解法．

分式与分式方程

一、分式的基本概念

当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B

叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点：

①分式的分母中必然含有字母； ②分式的分母的值不为0；

③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．

二、分式有意义的条件

两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意

义．

如：分式

1

x

，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 三、分式的值为零

分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．

四、分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：

a am

b bm =

，a a m

b b m

÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；

②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．

五、分式的乘除

分式的乘法：a c a c

b d b d

??=?．

分式的除法：

a c a d a d

b d b

c b c

?÷=?=

?． 六、分式的乘方

分式的乘方：()n n

n n n a a a a a a a a b b b b b b b b

?=?=?64748

L L L 1424314243个个

n 个

＝(n 为正整数)．

整数指数幂运算性质：

①m n m n a a a +?=(m 、n 为整数)； ②()m n mn a a =(m 、n 为整数)； ③()n n n ab a b =(n 为整数)；

④m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)．

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n

a a -=

(0a ≠)，即n a -(0

a ≠)是n

a 的倒数． 七、分式的加减运算法则

同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，a b a b

c

c

c

+±=

． 异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=

． 最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：

①取各分母系数的最小公倍数；

②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；

③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．

八、分式的混合运算的运算顺序

先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．九、分式方程及其求解

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

分式方程求解步骤：

①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；

x具体的值；

②解整式方程，得到

③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．

增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．

十、分式方程应用题

分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．

分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．