2020_2021学年高中数学四种命题间的相互关系ppt课件新人教A版选修1_1
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思考:(1)“a=b=c=0”的否定是什么? (2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中,真命题 的个数会是奇数吗?
[提示] (1)“a=b=c=0”的否定是“a,b,c至少有一个不等 于0”.
(2)真命题的个数只能是0,2,4,不会是奇数.
1.命题“若m=10,则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否
(2)令x=1,y=-2,满足x>y,但x2<y2,所以“若x>y,则 x2>y2”是假命题,因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性,所 以“若x>y,则x2>y2”的逆否命题也是假命题.
(3)该命题的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,令x=4,满 足x>3,但x2-x-6=6>0,不满足x2-x-6≤0,则该否命题是假命 题.
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标 1.了解命题的四种形式,能写出一个命题的
核心素养
逆命题、否命题和逆否命题.(重点) 2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真 假性之间的关系.(易混点) 3.能够利用命题的等价性解决有关问
借助命题的等价性解 题培养数学抽象、逻 辑推理素养.
[跟进训练] 2.判断下列四个命题的真假,并说明理由. (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“若x>y,则x2>y2”的逆否命题; (3)“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题; (4)“对顶角相等”的逆命题.
[解] (1)命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为 “若x,y互为相反数,则x+y=0”,则逆命题为真命题,因为原命 题的逆命题和否命题具有相同的真假性,所以“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的否命题是真命题.
1.写四种命题时,可以按下列步骤进行: (1)找出命题的条件 p 和结论 q; (2)写出条件 p 的否定¬p 和结论 q 的否定¬q; (3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成,要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断, 这也是反证法的理论基础.
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题,如等边 三角形的任意两个内角都相等,但它们不是对顶角.
等价命题的应用
[探究问题] 1.命题“若x≠1,则x2-2x-3≠0”的等价命题是什么,其命 题真假如何? 提示:等价命题为“若x2-2x-3=0,则x=1”,其为假命 题.
2.当一个命题的条件与结论以否定形式出现时,为了研究方 便,我们可以研究哪一个命题?
________;命题p的否命题为________;命题p的逆否命题为
________.
[答案] 若cos x=21,则x=π3 若x≠π3,则cos x≠12 若cos x≠12,则x≠π3
合作 探究 释疑 难
写出原命题的其他三种命题
【例1】 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)若sin α=12,则tan α= 3; (2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形; (4)当1<x<2时,x2-3x+2<0; (5)若ab=0,则a=0或b=0.
4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac<0,则该函数的图 象与x轴无交点.
[解] (1)逆命题:若ac2>bc2,则a>b,真命题. 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题. 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题. (2)逆命题:在二次函数y=ax2+bx+c中,若图象与x轴无交 点,则b2-4ac<0,真命题. 否命题:在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac≥0, 则图象与x轴有交点,真命题. 逆否命题:在二次函数y=ax2+bx+c中,若图象与x轴有交点, 则b2-4ac≥0,真命题.
题.(难点)
自主 预习 探新 知
1.四种命题的概念及结构 (1)四种命题的概念 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫 做互否命题,如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么 把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三 个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别 式Δ=1+4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题.
∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题.
判断命题真假的方法 1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念,正确地写出所 涉及的命题,判定为真的命题需要简单的证明,判定为假的命题要 举出反例加以验证. 2原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与它的逆 命题同真同假,故二者只判断一个即可.
[解] (1)逆命题:若tan α= 3,则sin α=21. 否命题:若sin α≠12,则tan α≠ 3. 逆否命题:若tan α≠ 3,则sin α≠12. (2)逆命题:若a,b都是偶数,则a+b是偶数. 否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数. 逆否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
2.当证明一个命题有困难时,可尝试证明其逆否命题成立.
[跟进训练] 3.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x +a2+2≤0的解集是空集,则a<2”的真假.
[解] 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x 的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
命题这四个命题中,真命题是( )
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题
C [原命题正确,则逆否命题正确,逆命题不正确,从而否命
题不正确.故选C.]
2.给出以下命题: ①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; ②若一个四边形的对角互补,则它内接于圆; ③正方形的四条边相等; ④圆内接四边形的对角互补; ⑤对角不互补的四边形不内接于圆; ⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
否命题中,真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
B [原命题是真命题,从而其逆否命题是真命题,其逆命题是 “若a>-6,则a>-3”,是假命题,从而其否命题也是假命题,故 真命题的个数是2.]
3.命题“若m>1,则mx2-2x+1=0无实根”的等价命题是 ________.
若mx2-2x+1=0有实根,则m≤1 [原命题的等价命题是其逆 否命题,由定义可知其逆否命题为:“若mx2-2x+1=0有实根,则 m≤1”.]
Байду номын сангаас
[解] (1)原命题:若a是正数,则a的立方根不等于0,是真命 题.
逆命题:若a的立方根不等于0,则a是正数,是假命题. 否命题:若a不是正数,则a的立方根等于0,是假命题. 逆否命题:若a的立方根等于0,则a不是正数,是真命题.
(2)原命题:在同一平面内,若两条直线平行于同一条直线,则 这两条直线平行,是真命题.
(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全 等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不 等高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2. 否命题:若x≤1或x≥2,则x2-3x+2≥0. 逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2. (5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0. 否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0. 逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0.
若a+b<0,则a<-b,b<-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.
1.若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题.
(2)四种命题结构
2.四种命题间的相互关系 (1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题 逆命题 否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
_真__
假
假
假
逆否命题 _真__ 真 假 假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有 关系.
1.判断正误
(1)命题“若p,则q”的否命题为“若¬p,则¬q”. ( )
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.
()
(3)命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是“若
A∪B≠B,则A∩B≠A”.
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆
等于
大于
小于
原词语
是
(=)
(>)
(<)
否定 词语
不等于 (≠)
不大于 (≤)
不小于 (≥)
不是
至少有 原词语
一个
至多有 n个
任意的 任意两个
否定 词语
一个也 至少有 某一个 某两个
没有 (n+1)个 (确定的)
都是 不都是 所有的 某些
至多有 一个 至少有 两个
能
不能
[跟进训练] 1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的 真假. (1)正数a的立方根不等于0; (2)在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行.
1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后 写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出 所求命题. (2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词 语,但不能改变条件和结论.
2.写否命题时应注意一些否定词语,列表如下:
其中互为逆命题的有________;互为否命题的有______;互为 逆否命题的有________.
③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤ [互为逆 命题有③和⑥,②和④;互为否命题有①和⑥,②和⑤;互为逆否 命题有①和③,④和⑤.]
3.已知命题p:若x=
π 3
,则cos
x=
1 2
,则命题p的逆命题为
ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,在这4个命题中,
真命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
(2)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真
假.
[思路点拨] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可. (2)思路一 写出原命题的逆否命题 → 判断其真假
原命题与逆否命题同 判断原命 得到逆否命 思路二 真同假即等价关系 → 题的真假 → 题的真假
提示:一个命题与其逆否命题等价,我们可研究其逆否命题.
【例3】 证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a, b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
[思路点拨] 证明其逆否命题成立⇒原命题成立.
[证明] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上 的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,根的判别式Δ=(2a+ 1)2-4(a2+2)=4a-7, 因为a≥2,所以4a-7>0, 即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+ 2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真,从而原命题为真.
课堂 小结 提素 养
逆命题:在同一平面内,若两条直线平行,则这两条直线平行 于同一条直线,是真命题.
否命题:在同一平面内,若两条直线不平行于同一条直线,则 这两条直线不平行,是真命题.
逆否命题:在同一平面内,若两条直线不平行,则这两条直线 不平行于同一条直线,真命题.
四种命题的关系及真假判断
【例2】 (1)对于原命题:“已知a,b,c∈R,若a>b,则
(1)C [当c=0时,ac2>bc2不成立,故原命题是假命题,从而其 逆否命题也是假命题;原命题的逆命题为“若ac2>bc2,则a>b”是 真命题,从而否命题也是真命题,故选C.]
(2)[解] 法一:原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则 a<0.
∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,解得a<-41<0, ∴原命题的逆否命题为真命题.