多元函数积分学练习题

第 7 章 多元函数积分学 练习题
一、选择题与填空题
1.
11.交换二次积分次序，则
12.设 D  x, y  0  x  1,0  y  1 ，试利用二重积分的性质估计 I 

 dx f ( x, y)dy   dx
0 0
1
x2
2
2 x

1
0
f ( x, y)dy  __________ __ .
 xyx  yd 的
D

D
f ( x, y)d  lim  f (i ,i ) i 中  是
 0
i 1
n
值: （ B.小区域最大面积； D.小区域最大直径. （ B.区域 D 及变量 x，y 无关； D.函数 f 无关，区域 D 有关. （ ） ） ）
.
13.设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x  y  1 所围成，比较大小：
姓名
A.最大小区间长； C.小区域直径；
装
2.二重积分
 f ( x, y)dxdy 的值与
D
  x  y  d ______________   x  y  d .
D D
2
3
A.函数 f 及变量 x，y 有关； C.函数 f 及区域 D 有关； 3.设 f ( x)  g ( x)  
14.比较大小：其中 D 是以 (0,0),(1, 1),(1,1) 为顶点的三角形，
学号
4, 0  x  1 ，D 为全平面，则  f ( x) g ( y  x)dxdy  0, 其余 D
 ( x
D
2
 y 2 )d ______________  x 2  y 2 d .
D
15.设 D 是由 x  0, y   , y  x 所围成的区域， 则 16.设 D： x  y  a ,(a  0) ,又有
2 2 2
__ .  cos(x  y)dxdy  __________
D
A.16； B.8； C.4； D.  . 4.设 D1 是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|≤1 上的连续函 数，则二重积分
 ( x
D
2
 y )dxdy  8 ，则 a =
2
.
 f ( x
D
2
, y 2 ) dxdy 
B.4；
 f ( x
D1
2
, y 2 ) dxdy .
（
）
订
A.2； 5.设 I1  C.8；
1 D. . 2
D
二、解答与证明题
1.根据重积分的性质，比较积分  ln(x  y)d 与  ln(x  y) 2 d 的大小，其中积分区域 D 是：
D
2  ln( x  y)d ，I2   ( x  y) d ， I3   ( x  y)d ，其中 D 是由直线 x=0， D D
D
班级
y=0， x  y 
1 及 x  y  1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 2
B. I1＜I2＜I3
D
（1）以 (1, 0) ， (1, 1) ， ( 2, 0) 为顶点的三角形区域； （2）矩形区域： 3  x  5, 0  y  1 . 2.设 D  {(x, y) x  y  10} ，估计积分 I  
（
）
1
2
A.I3＜I2＜I1 ；
C. I1＜I3＜I2；
D. I3＜I1＜I2. （ D. 8 . （ D. ） ）
D 100  cos
x  cos 2 y
d 的值.
2 2 6.设 D  {( x, y ) 1  x  y  9 } ， 则
 dxdy 
C. 3 ；
1
3.化二重积分  f ( x, y )d 为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域 D 为：由
D
线
A.  ； 7. 顶点坐标为（0,0） ， （0,1） ， （1,1）的三角形面积可以表示为 B. 2 ； A.
y  x, y 2  4x 所围成的闭区域.
4.改变下列二次积分的积分次序. （1） 1 dx2 x
2 2 x x2
x
系别

x
0
dy  dx
0
y
B.
 dx
0
1
x
1
dy
C.
 dx dy
0 x
1
 dy 
0
1
0
y
dx .
8.当函数 f(x，y)在闭区域 D 上______________时，则其在 D 上的二重积分必定存在. 9.二重积分
 f ( x, y)d 的几何意义是
D
（2）  dx  2 f ( x, y )dy   dx  f ( x, y)dy ；
0 0 4
4
6
6 x
0
f ( x, y )dy .
5.计算二重积分 I  . 6.计算二重积分 I  7.计算二重积分 I 
 x dxdy ，其中 D : x  y  1.
2 D
10.交换二次积分次序，则
 dy
0
1
2 y y
f ( x, y)dx  __________ ___.
 x
D
2
1  y 2 dxdy ，其中 D : 0  y  1  x2 ,0  x  1 .
 |1  x  y | dxdy ，其中 D : 0  x  1, 0  y  1.
D
1/2


8.计算二重积分 I  物线 y＝
 xydxdy ，其中 D 由 xoy 平面上第一象限内直线 x＝0 与 y=2 抛
D
1 2 x 所围. 2
9.计算二重积分 I 
 xdxdy ， 其中 D 由 y  x及y 
D
2 x  x 2 所围.
10.计算二重积分 I 
 x
D
x y dxdy ， 其中 D 由x2  y 2  1, x  y  1所围. 2 2 y
dxdy ，其中 D 是圆域 x 2  y 2  1 在第一象限部分.
11.计算二重积分 I  12.计算二重积分 I  13.计算二重积分 
D
 e
D
 x2  y 2
 ( x
D
2
 y 2  x)dxdy. 其中 D 由直线 y  2, y  x 及 y  2 x 所围.
x2 y2
d ，其中 D 由直线 x  2, y  x 及曲线 xy  1 所围.
2
14.计算二重积分 I
  e  y dxdy ,
D
其中 D 由 y  x, x  0, y  1所围.
15.求曲线. x  16.求曲线 x
e
0
t
u
cos udu, y  2sin t  cos t , z  1  e3t 在t  0处的切线和法平面方程 .
 sin 2 t , y  sin t cost , z  cos2t 在 t 
2 x z

4
处的切线方程.
17.求曲面 y  e 18.证明:
 0 在点（1,1,2）处的切平面与法线方程.
sin x dx  1 . x


2 0
b
dy
x

2 y
1 b (b  y ) n 1 f ( y )dy . a a  a n 1 20. 如果二重积分  f ( x, y )d 的被积函数 f ( x, y ) 能分解为 x 的函数与 y 的函数的乘积，即
19.证明：
dx  ( x  y ) n f ( y )dy 
D
f ( x, y)  f1 ( x)  f 2 ( y) ，且积分区域 D 为矩形区域： a  x  b, c  y  d ，证明二重积分等于
两个定积分的乘积，即  f ( x, y)d   a f1 ( x)dx    c f 2 ( y)dy  .
D

b
 
d

2/2

















。