多元函数积分学练习题

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第 7 章 多元函数积分学 练习题
一、选择题与填空题
1.
11.交换二次积分次序,则
12.设 D  x, y  0  x  1,0  y  1 ,试利用二重积分的性质估计 I 

 dx f ( x, y)dy   dx
0 0
1
x2
2
2 x

1
0
f ( x, y)dy  __________ __ .
 xyx  yd 的
D

D
f ( x, y)d  lim  f (i ,i ) i 中  是
 0
i 1
n
值: ( B.小区域最大面积; D.小区域最大直径. ( B.区域 D 及变量 x,y 无关; D.函数 f 无关,区域 D 有关. ( ) ) )
.
13.设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x  y  1 所围成,比较大小:
姓名
A.最大小区间长; C.小区域直径;

2.二重积分
 f ( x, y)dxdy 的值与
D
  x  y  d ______________   x  y  d .
D D
2
3
A.函数 f 及变量 x,y 有关; C.函数 f 及区域 D 有关; 3.设 f ( x)  g ( x)  
14.比较大小:其中 D 是以 (0,0),(1, 1),(1,1) 为顶点的三角形,
学号
4, 0  x  1 ,D 为全平面,则  f ( x) g ( y  x)dxdy  0, 其余 D
 ( x
D
2
 y 2 )d ______________  x 2  y 2 d .
D
15.设 D 是由 x  0, y   , y  x 所围成的区域, 则 16.设 D: x  y  a ,(a  0) ,又有
2 2 2
__ .  cos(x  y)dxdy  __________
D
A.16; B.8; C.4; D.  . 4.设 D1 是由 ox 轴,oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域,f 是区域 D:|x|+|y|≤1 上的连续函 数,则二重积分
 ( x
D
2
 y )dxdy  8 ,则 a =
2
.
 f ( x
D
2
, y 2 ) dxdy 
B.4;
 f ( x
D1
2
, y 2 ) dxdy .



A.2; 5.设 I1  C.8;
1 D. . 2
D
二、解答与证明题
1.根据重积分的性质,比较积分  ln(x  y)d 与  ln(x  y) 2 d 的大小,其中积分区域 D 是:
D
2  ln( x  y)d ,I2   ( x  y) d , I3   ( x  y)d ,其中 D 是由直线 x=0, D D
D
班级
y=0, x  y 
1 及 x  y  1 所围成的区域,则 I1,I2,I3 的大小顺序为 2
B. I1<I2<I3
D
(1)以 (1, 0) , (1, 1) , ( 2, 0) 为顶点的三角形区域; (2)矩形区域: 3  x  5, 0  y  1 . 2.设 D  {(x, y) x  y  10} ,估计积分 I  


1
2
A.I3<I2<I1 ;
C. I1<I3<I2;
D. I3<I1<I2. ( D. 8 . ( D. ) )
D 100  cos
x  cos 2 y
d 的值.
2 2 6.设 D  {( x, y ) 1  x  y  9 } , 则
 dxdy 
C. 3 ;
1
3.化二重积分  f ( x, y )d 为两种不同积分次序的二次积分,其中积分区域 D 为:由
D
线
A.  ; 7. 顶点坐标为(0,0) , (0,1) , (1,1)的三角形面积可以表示为 B. 2 ; A.
y  x, y 2  4x 所围成的闭区域.
4.改变下列二次积分的积分次序. (1) 1 dx2 x
2 2 x x2
x
系别

x
0
dy  dx
0
y
B.
 dx
0
1
x
1
dy
C.
 dx dy
0 x
1
 dy 
0
1
0
y
dx .
8.当函数 f(x,y)在闭区域 D 上______________时,则其在 D 上的二重积分必定存在. 9.二重积分
 f ( x, y)d 的几何意义是
D
(2)  dx  2 f ( x, y )dy   dx  f ( x, y)dy ;
0 0 4
4
6
6 x
0
f ( x, y )dy .
5.计算二重积分 I  . 6.计算二重积分 I  7.计算二重积分 I 
 x dxdy ,其中 D : x  y  1.
2 D
10.交换二次积分次序,则
 dy
0
1
2 y y
f ( x, y)dx  __________ ___.
 x
D
2
1  y 2 dxdy ,其中 D : 0  y  1  x2 ,0  x  1 .
 |1  x  y | dxdy ,其中 D : 0  x  1, 0  y  1.
D
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