《复变函数》复习题(六)参考答案

《复变函数》复习题（六）参考答案

一、填空题．（每题２分） 1. 1i e r θ- 2. 0lim (,)x x o y y o u x y u →→=及0lim (,)x x o y y o

v x y v →→= 3. 0 4. ∞ 5. 2 6. 24621(1)n n z z z z -+-+???-+??? 7.椭圆

8. 1(1)2

- 9. (1)124π+- 10. 1- 二、计算题．

１．计算下列各题．（９分）

解: (1) 11cos ()2

i e e -=+ (2) ln(23)ln 23arg(23)i i i i -+=-++-+

13ln13(arctan )22

i π=+- (3) 3(3)ln3(3)(ln32)3ln32(6ln3)3i i i i k k i k e e e πππ---+?++-=== 227[cos(ln 3)sin(ln 3)]k e i π=-

2. 解: 233802k i z z e ππ

++=?=== (0,1,2)k =

故380z +=共有三个根: 01z =, 12z =-, 21z =

3. 解: 222,2x y u x y xy u x y u y x =-+?=+=-+

2222220u u u x y

???+=-=???是调和函数. (,)

(,)(0,0)

(0,0)(,)()(2)(2)x y x y y x v x y u dx u dy c y x dx x y dy c =-++=-+++?? 0

0()(2)x y

x dx x y dy c =-+++?? 22

222

x y xy c =-+++ 2222

1()()(2)222x y f z u iv x y xy i xy ?=+=-++-+++ 211(2)22

i z i =-+

4. 解 (1)

12222015()()()66c x iy dz x ix d x ix i +=++=-+?? (2) 111

22000[()]()[(1)]i

x y ix dz i y dy x ix dx +-+=-+-+??? 11(3)2326

i i i =-+-=-+ 5. 解: 01z <<时0

1111()()(1)(2)2122n

n n o n z f z z z z z z ∞∞====-=-+----∑∑ 101(1)n n n z z ∞+==-

∑

12z <<时11111()1(1)(2)212(1)(1)2f z z z z z z z z

-==-=------- 0121n n n o n z n z

+∞+∞===--+∑∑ 6. 解: (1) 22522[Re (,)]4(1)c z z dz i s f i z z ππ==-=-∞=--??

(2) 224sin 2[Re (,)]0(1)z z dz i s f z z π==-∞=-??

7.解: 设2

4

()1z f z z =+

1)2z i =+

和21)2z i =-+为上半平面内的两个一级极点,

且21Re [(),]z z s f z z →==

22

2Re [(),]lim 2z z s f z z →==

24212x dx i x ππ+∞

-∞==+? 8. (1) 1R = (2) R =∞

9. 解: 设z x iy =+,则2

22()f z z x y ==+ 2,2,0x y x y u x u y v v ==== 当且仅当0x y ==时,满足C R -条件,故()f z 仅在0z =可导,在z 平面内处处不解析.

三、

1. 证明: 设f u iv =+,因为()f z 为常数,不妨设22u v C += (C 为常数) 则0x y u u v v ?+?= 0y y u u v v ?+?= 由于()f z 在D 内解析,从而有x y u v =, y x u v =- 将此代入上述两式可得0x y x y u u v v ==== 于是12,u C v C ≡≡ 因此()f z 在D 内为常数.

2. 解: 设z x iy =+, a A Bi =+ （A ，B 为实常数） 则()()()()az A Bi x iy Ax By i Ay Bx =-+=++- 0az az b az az b ++=++=?2()0Ax By b ++= 故0az az b ++=的轨迹是直线22)0Ax By b ++=