江苏省盐城中学2017—2018学年度高二第二学期期中考试数学理试题(含答案)

江苏省盐城中学2017—2018学年度第二学期期中考试

高二年级数学(理工方向）试题2018.04

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分。 一、 填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知复数34z i =+（i 为虚数单位），则||z = ▲ ．

2.某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取 ▲ 人．

3.某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用

餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．

4.抛物线2

8y x =的准线方程为 ▲ ．

5.若6

318

18

-=x x C

C

，则=x ▲ ．

6.根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ．

7.在四面体O ABC -中，===,,，D 为BC 的中点，

E 为AD 的中点，则OE = ▲ ． （用,,a b c 表示）

8.若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:2x C y e =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．

9.已知命题:[1,0],x p x a e ?∈-≤，命题2:,0q x R x x a ?∈++>，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

10.已知1

()2(1)f x xf x

'=+，则(2)f '= ▲ ．

11.

若423401234(3x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 ▲ ．

12.有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有 ▲ 种.（用数字作答）

13.已知F 是椭圆2

21:19

x C y +=与双曲线2C 的一个公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象

限的公共点.若0,?=AF BF 则2C 的离心率为 ▲ ．

14.若函数3

2

()4(3)1f x x mx m x =--+-+是R 上的单调减函数，已知

()()nx m x x g 26ln --+=，1

()=

+h x n x

,且()()0≤g x h x 在定义域内恒成立，则实数n 的取值范围为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

假定某射手每次射击命中目标的概率为

2

3

，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）2=X 的概率；（Ⅱ）数学期望()X E .

16.（本题满分14分）

在如图所示的坐标系中，长方体1111ABCD A B C D -，已知2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE 垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值.

1 8

2 23

Pr int i While i i i S i End While S

←<←+←+

第6题

17.（本题满分14分）

随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y （单位：千盒）与销售价格x （单位：元/盒）满足关系式,)16(412

2-+-=

x x a

y 其中1612<

（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）

18.（本题满分16分）

已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2

m

x +展开式的前三项的系数.

（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求1(1)2

m

x +

展开式的中间项； （Ⅲ）当2n ≥时，用数学归纳法证明：212

111

113

n n n n a a a a +++++

+>.

19.（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴长32，短轴长22．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)记椭圆的左右顶点B A ,，分别过B A ,作x 轴的垂线交直线3=y 于点C D ,，P 为 椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于点E ，F ．

(i)当直线AP 的斜率为2

(ii)求CF DE +的最小值．

20.（本题满分16分）

已知函数()2ln )4(ln 22

+++-+=m x m x m x x f .

（Ⅰ）当4=m 时，求函数()x f 在区间[]4,1上的值域； （Ⅱ）当0>m 时，试讨论函数()x f 的单调性；

（Ⅲ）若对任意()

2,1∈m ，存在(]4,3∈x ，使得不等式()()

)14(ln 22

-+->m m m a x f 成立，

求实数a 的取值范围.

（第19题图）

江苏省盐城中学 2017-2018学年度第二学期期中考试

高二年级数学（理）答案

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.假定某射手每次射击命中目标的概率为

2

3

，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）2=X 的概率；（Ⅱ）数学期望()X E .

解：（1）

92（2）913

16、在如图所示的坐标系中，长方体1111ABCD A B C D -，已知2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE 垂直BD 于点E ，F 是

11A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值. 解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以1AA 所在的直线为z 轴，建立如图 所示空间直角坐标系．

由已知2AB =，11AA =，可得(0,0,0)A ，

(2,0,0)B ，(1,0,1)F ．又

AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=，而2AB =，

AE BD ⊥，1AE =，233AD =

，因此易得1(,

22E

，(0,3

D ． (4分) （1）因为13

(,

22

AE =，(1,0,1)BF =-，所以 12

c o s ,4

2

A E

B F

A E

B F A E B F -

?<>===-?． 于是，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为

4

． (8分) （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m =，设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量，

111b +1,1]4

(2,3BD =-，由n BF n BD ?⊥??⊥??00

n BF n BD ??=????=??02320x z x y -+=????=??

3x z

x y =????=?? 取1x =，得(1,3,1)n =，所以5

cos ,5

m n m n m n

?<>=

=

?，即直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值

5

． (14分) 17.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y （单位：千盒）与销售价格x （单位：元/盒）满足关系式,)16(412

2-+-=

x x a

y 其中1612<

（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）

解：（1）因为14=x 时，21y =， 代入关系式()2

16412-+-=x x m y ，得16212

m +=， 解得10m =.

（2）由（1）可知，套题每日的销售量()2

16412

10-+-=x x y ， 所以每日销售套题所获得的利润

()()()()2

2)16(12410164121012--+=???

???-+--=x x x x x x f

从而)403)(16(4)('

--=x x x f . 令()'0f x =，得3

40=

x , 且在)340,

12(上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在??

?

??16,340上，0)('

所以340

=

x 是函数)(x f 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， 所以当3.133

40

≈=x 时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售

所获得的利润最大.

18.已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2

m

x +展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求1(1)2

m

x +

展开式的中间项； （Ⅲ）当2n ≥时，用数学归纳法证明：

212

111113

n n n n a a a a ++++++

>. 解：（1）122111(1)1()()222

m m m x C x C x +

=+++

依题意11a =，21

2

a m =

，3(1)8m m a -=，由

2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = …………………4分

（2）所以1(1)2m x +

展开式的中间项是第五项为：44458135

()28

T C x x ==；…………………8分 （3）证明：

①3n =时，结论成立，

②设当n k =时，

212

111113

k k k k a a a a ++++++

>， 则1n k =+时，

2

(1)

(1)1

(1)2

(1)1111k k k k a a a a +++++++

+

++

2

1)(1)1(1)2

1111

1(

)k k k k k a a a a a +++++=+++++

222

12(1)1111

()k

k k k a a a a ++++++

+

-

222

12

(1)11111()3k

k k k a a a a +++>++++

-

2

1(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--221373

3[3(1)2][32]

k k k k --=++-- 由3k ≥可知，2

3730k k -->

（19）

即

2

(1)

(1)1

(1)2

(1)111113

k k k k a a a a +++++++

+

++

> 综合①②可得，当2n ≥时，

212

11111

3

n n n n a a a a ++++++

> …………………16分 19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴长32，短轴长22．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)记椭圆的左右顶点B A ,，分别过B A ,作x 轴的垂线交直线3=y 于点C D ,，P 为

椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于点E ，F ．

(i)当直线AP 的斜率为2时，求BEF ?的面积； (ii)求CF DE +的最小值．解：（1）椭圆的方程为22

132

x y +=．4

分

（2）由（1）知(A ，B ，

设),(00y x p ，

程为

则2200236x y +=，直线AP 的方

y x =

+，令y =

得???

?

??+-3,333000y y x E ， 直线BP 的方程为y x =，令y =???

?

??-+3,333000y y x F ， （i ）当直线AQ 的斜率为2时，有?????

=+=+6

32232020

00y x x y ，消去0y 并整理得，015312702

0=++x x ，

解得7

3

50-=x 或3-（舍）， …………………10分 所

以

A △的面积

0000003333332

3

23y y x y y x EF S AEF -+-+-==

?4

9

32923=?=． ………………

12分

（ii ）000

003

33333y x y y x DE +=++-=

,0

00003

333

33y x y y x CF -=

--+=， 所以2

9

33330000=-?+=

?y x y x CF DE ． ………………14分 所以对任意的动点P ，CF DE +的最小值为23． ………………16分

20.已知函数()2ln )4(ln 22

+++-+=m x m x m x x f .

（Ⅰ）当4=m 时，求函数()x f 在区间[]4,1上的值域；

（Ⅱ）当0>m 时，试讨论函数()x f 的单调性；

（Ⅲ）若对任意()

2,1∈m ，存在(]4,3∈x ，使得不等式()()

)14(ln 22

-+->m m m a x f 成立，

求实数a 的取值范围.

解：（1）当4=a 时，函数

())0(22ln 28ln 82>++-+=x x x x x f ，所以

(),0)2(28822

'

≥-=-+=x

x x x x f 所以函数()x f 单调递增，(2分)

故函数()x f 在区间[]4,1上的最小值为(),52ln 21-=f 最大值为()142ln 184-=f ，所以区间

[]4,1上的值域为[]142ln 18,52ln 2--（4分）

（2）x

a x x a x a x x f )

2)(2()4(22)('

--=

+-+

= 令,0)('

=x f 得2

,221a x x ==（6分）

当4>a 时，22>a ，由0)('>x f 得2

a x >或20<

2,0和???

??+∞,2a 上，函数()x f 单调递增，在区间??

?

??2,2a 上，函数()x f 单调递减. 当4=a 时，0)('

≥x f ，所以函数()x f 单调递增.

当40<x f 得2>x 或20a x <<，由0)('

间??? ??2,0a 和()+∞,2上，函数()x f 单调递增，在区间??

?

??2,2a 上，函数()x f 单调递减.（9分） （3）由（2）知，当()

2,1∈a 时，函数()x f 在(]4,3上单调递增，故当(]4,3∈x 时，()()4m ax f x f =，

因为对任意()

2,1∈a ，存在(]4,30∈x ，使得不等式()()

)14(ln 22

0-+->a a a m x f 成立，所以

)14(ln 2)(2ln )4(44ln 2162-+->+++-+a a a m a a a ，得02)2(ln 2>++-+a m ma a ，对

任意()

2,1∈a 恒成立（11分）

记()2)2(ln 2

++-+=x m mx x x h ，则x

mx x m mx x x h )

1)(12()2(21)('

--=

+-+=

当()

2,1∈x 时，012>-x 若,1≥m 则,01>-mx 从而0)('

>x h ，所以函数()x h 在()

2,1∈x 上

单调递增，所以当()

2,1∈x 时，()(),01=>h x h 符合题意（13分）

若10<

2,10∈x ，使得010=-mx ，则()x h 在()0,1x 上单调递减，在)2,(0x 上单调递增，从而当()

2,10∈x 时，()()()010m in =<=h x h x h ，说明当()

2,10∈x 时，()0>x h 不恒成立，不符合题意（14分）

若0≤m ，则)(,0)('

x h x h <在()2,1上单调递减，所以当()

2,10∈x 时，()()01=

和题意。综上，实数m 的取值范围是[)+∞,1.（16分）