近世代数自考

近世代数(B)

2007年4月广东省高等教育自学考试 一.选择题（每小题2分）

1.设A 、B 是两个集合A B A =?.则 ()

A.B A ?

B.A B ?

C.?=A

D.B A ≠

2.下列各集合对于所规定的二元运算满足交换律的有 ()

A. Q M =

B. b a b a Q M +==2, C b a ba b a Q M --== , D. 2,ab b a Q M == 3.设R 是实数集,运算为普通乘法,则___是R 到R 的同态 ()

A. x e x f →:

B. x x f 4:→

C. 2:x x f →

D. 1:+→x x f 4.四次对称群4S 的元素(12)(34)的逆元是 ()

A.(1234)

B.(1324)

C.(13)(24)

D.(12)(34) 5.三次对称群3S 中不能和(123)交换的元素是 ()

A.(12),(13),(23)

B.(12),(132)

C.(13),(132)

D.(23),(132) 6.下列说法不正确的是()

A.两个不相连的循环置换一定可以交换

B. N k i i i i i i k k ∈?=-),...()...(112k 21

C. 一个k-循环置换的阶k, N k ∈?

D.循环群的子群也是循环群 7.下列说法中彼此等价的有几个()

(1)一个群G 的一个非空子集H 作成G 的一个子群 (2) H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1

,和

(3) H ab H b a ∈?∈-1

, (4) H ab H b a ∈?∈,

A. 0 B 2 C. 3 D.4

8.一个至少有两个元而且无零因子的有限环是一个()

A.没有单位元的环

B. 除环

C.有零因子环

D.非交换环 9.设R 是模6剩余类环,在多项式环R[x ]中,零因子是()

A. ]2[2

+x B. ]3[]2[3

+x C. ]1[]3[+x D. ]3[]3[2

+x 10.设?是交换环R 到环__

R 的一个满同态,则()

A.__

R 是一个无元零因子环 B.__

R 是交换环 C.__

R 是除环 D. __

R 是一个域 11.设Z 是整数环, Z b a ∈,且b a ,都不是1±,)(),(b a 是Z 的两个理想, =?)()(b a A.(m ),其中m 是b a ,的最大公约数 B.(m ),其中m 是b a ,的最小公倍数 C. Z 本身 D.(m ),其中ab m =

12.设R 是实数环,则___是多项式环][x R 的素元.

A. 63+x

B. 412

-x C.13

++x x D. 8822

++x x 13.一个域F 上的一元多项式环][x F 是

A.除环

B.域

C.非唯一分解环

D.欧式环 14.设R 是模25的剩余类环,则][x R 的多项式2

x 在R 里根的个数

A.1

B.5 C 25 D.无穷 15.设Q 是有理数域, R 是实数域, C 是复数域,则下列正确的是

A. 2]:[=R C

B. R 是Q 的单扩域

C. C 是Q 的单扩域

D. C 是Q 的有限扩域 二.填空题（每小题2分）

16._________________是任何集合的子集.

17.集合A 的一个分类决定A 的元素之间的________. 18.一个________________________________叫做这个群的阶.

19.四阶群在同构意义下的只有两个,分别是_______________和________________. 20.设H 是群G 的子群,N 是G 的不变子群,则HN 是G 的_____________. 21.一个无零的因子环R 的_____________________________叫做环R 的特征. 22.当环R 有单元换是,主理想(a)的元都可以写成_______________________的形式. 23.设R 是整环, R a ∈_______________以及_______________叫做a 的平凡因子. 24.设I 为整数环,1是I 的单位元,I a ∈叫做I 的一个单位,如果________________. 25.整数环Z 的商域是_____________________. 三.计算题（每小题8分） 26设???? ?

?=1243

4321α,???

? ??=12344321τ=.求322,,,ατατα 27.设R 是模6的剩余类环, ][]2[]3[)(2

x R x x x f ∈++=,求)(x f 的根.

28.求出高斯整数环},|{Z b a bi a R ∈+=上的所有单位,并求R i ∈-3的所有相伴元. 四.应用题（每小题6分）

29.设R 是模7的剩余类环,在][x R 里,计算])3[]4])([4[]5[]3([2

3+--+x x x x 五.证明题（每小题10分）

30设I 是一个主理想环,并且)(),(d b a =,证明d 是a 和b 的一个最大公因子. 31.设),(?G 是一个群, u 是G 中取定的元,另外规定G 中运算b au b a 3

:-=??,其中1

-u 为u 在G 中的逆元.

证明:

),(?G 也是一个群

2008年4月广东省高等教育自学考试 一. 单项选择题（每小题3分） 1下列命题中,结论正确的是

A.}1{1?

B. }1{1=

C. }1{1∈

D. }1{}1{∈

2.设Q 是有理数集,+、-、?通常是加、减、乘法,则下列____中定义的运算,不是Q 上的一个代数运算.

A.b a a b a ?+=2

B. b b a =

C.

D. ||b a b a ?=

,适合交换律和结合律,则其运算表中的w z y x ,,,依次为

A. a c c b ,,,

B. b a c b ,,,

C. a b b c ,,,

D. c a c b ,,,

4.设R 是实数集, R 的运算为普通乘法,则____是R 到R 的一个同态映射.

A.x x f 3:→

B. x x f -→:

C. 2:x x f -→

D. 3

:x x f →

5.设*R 是全体非零实数的集合, *

R 对于普通乘法来说作成一个群,则3的阶为

A.1

B.3

C.-3

D.无限

6.设a 是循环群G 的一个生成元,且a 的阶为12,则下列不是G 的生成元是

A. 3a

B. 5a

C. 7a

D. 11

a

7.设R 是实数集, *

R 是所有非零实数的集合,R 对于普通加法来说作成一个群,*

R 对于普通乘法来说作成一个群,则下列说法不正确的是

A. *

R 是R 的子群 B. *

R 的单位是0

C. *

R 的单位元是1 D.1在R 中是无限阶的,在*

R 中的阶为1 8.下列说法正确的是

A.一个至少有两个元而且没有零因子的环是除环

B.整环、除环和域都是无零因子环

C.整环、除环和域都是交换环

D.无零因子环的特征都是无限大

9.设)10/(Z 是模10的剩余类环,则下列是)10/(Z 的子环的是

A.]}5[],0{[

B.]}4[],0{[

C. ]}3[],0{[

D. ]}2[],0{[

10.设Z 是整数集, i 是虚数单位,在环},|3{Z b a i b a R ∈+=中,下列4个命题中正确的是(1) i 是单位;(2) i 31-是元素;(3)2不是元素;(4)R 不是唯一分解环

A.(1)和(3)

B.(2)和(4)

C. .(1)和(4)

D. .(2)和(3) 二.填空题(每小题3分)

11.设Z 是整数集, g f ,是Z 的两个变换, 且

b

a

b a =ο

x

x f 2)(=

当2整除x 时 =)(x g

当2不整除x 时

则=))((x g f _____________________________ 12.设群G 中元a 的阶为12,则2

a 的阶为___________

13.请将置换写成不相连的循环置换的乘积的形式

__________________________________. 14

设}[7]

[6],[5],[4],[3],[2],[1],[0],{)8/(==Z G 是模8的剩余类加群

]}6[],4[],2[],0{[=N 是(8)/Z G =的不变子群,则商群Z G =的阶是___________.

15.设R 是环,称R 为交换环,如果_________________________________

16.设Z 为整数环, Z}n |{7n B }Z},n |{2n ∈=∈=A 是Z 的两个子环,则=?B A ___________________

17.设R 和__R 是两个子环,且R 和__

R 同态,则这两个同态满射时的核I 是R 的一个__________________________并且?I R /______________________

18.设Z 是整数集, i 是虚数单位, }.|{Z b a bi a I ∈+=是高斯整环, U 是I 的所有单位的集合,则=U ___________________________________

19.在整数环Z 中,由5与15所生成的理想)15,3(等于元___________________生成的主理想. 20设)5/(Z 是模5的剩余类环,则]3[)(3

-=x x f 在)5/(Z 中有______________个不同的根. 三.计算题（每小题9分） 21.设

(1)求στ(2)求σ的阶并说明理由 22.设)8/(Z R =是模8的剩余类环.

(1)求R 的所有零因子和所有可逆元;(2)求R 的所有理想 23.设

)7/(Z R =是模

7的剩余类环,在

]

[x R =中计算:

])3[]5[]2])([3[]2[]2([232+--+x x x x

四.应用题（每小题7分）

24设}3,2,1{=A ,由A 全体子集组成的集合称为A 的幂集,记为)(A P ,在)(A P 中定义二元关系R 为:对任意的||||),(,T S SRT A P T S =?∈,这里||S 表示集合S 中元素的个数

???

? ?

?=2

49816735

987654321

σ???

? ??=???? ?

?=46

2531

65432

1,52

6143654321

τσ2

x

2

1-x

(1) 证明: R 是)(A P 的一个等价关系. (2) 写出由R 的等价类. (3) 五、证明题（每小题8分）

25.整数集Z 中定义运算 :对于任意的2,,-+=∈b a b a Z b a 证明: Z 对于运算 来说作成一个群

26设Q 是有理数域,证明},|3{Q b a b a R ∈+=对于普通的加法、乘法来说作成一个域. 2009年4月广东省高等教育自学考试 一、单项选择题(每小题3分) 1.下列命题中,正确的是

A.{0}=φ

B. }{φφ=

C. }{φφ?

D. }{}{φφ= 2.设N 是自然数集,则下列定义的运算N 上的一个代数运算的是 A. ab b a =

B. )1ln(a b a +=

C. ab b a 3

1

= D. |b -a |2=b a

3.设,2:},{,}{x ?所有正实数所有实数==B A 则?是到B A 到从的 A.单射非满射 B.满射非单射 C.一一映射 D.既非单射也非满射

4.在群G 中,元素a 的阶为6,则2

a 的阶是 A.3 B.6 C.8 D.12

5.在4次对称群4S 中, ()3

1234等于

A.(13)(24)

B.(1324)

C.(14)(32)

D.(1432) 6.在8Z 是模8的剩余类加群, 8Z 的子群共有

A.2个

B.4个

C.6个

D.8个 7.在环R 中,下列性质一定成立的是

A.R 有单位元

B.R 无零因子

C.R 有零元

D.乘法适合交换律 8.设Z}b a,|b 00a {∈???

?

??=R ,对于矩阵的加法和乘法构成一个环,则这个矩阵环是 A.由单位元的交换环 B.元单位元的交换环 C.有单位元的非交换环 D.无单位元的非交换环 9.设C 是复数域,下列映射f 是C 的自同构的是 A.a bi a f +: B. bi a bi a f -+ : C. 22:b a bi a f ++

D. a

b bi a f arctan

: + 10.下列说法正确的是

A.整环一定是唯一分解环

B.整环一定是主理想环

C.唯一分解环一定是主理想环

D.主理想环一定是唯一分解环 二、填空题（每小题3分）

11.设集合A 有2个元素, B 有3个元素,则A 到B 的单射共有___________ 12每一个群都有一个___________群同构.

13.在3次对称群3S 中,与元)12(不可以交换的元共有___________个 14.一个有限非交换群至少含有___________个元素

15.若对于G 的每个元a 来说,都有___________,则群G 的一个子群N 称作一个不变子群 16.一个环R 若满足___________,R 有单位元, R 无零因子,则称R 为一个整环 17.设剩余类环6Z 的子环()()(){}4,2,0=S 则S 的单位元是___________, 18剩余类环n Z 是域的充要条件是___________, 19.除环R 的;理想只有___________和单位理想

20.设[]x R Z R ,6=的多项式[]22-+x x 在R 里的所有根是___________ 三、计算题（每小题7分） 21.设???

?

??=???? ?

?=52714367654321,67342

157654321τσ (1)求στ (2) 求τ的阶并说明理由

22. 设R 是模6的剩余类环Z ,在[])2[5]x -x [3])([3]x x ([2]x ][23

2++++中计算x R

四、应用题（每小题10分） 23设

∑=}{阶实矩阵

所有n 对于∑∑?≈≈∈A B A B A :,,的一个二元关系规定与B 的行列式值相等,即B A =

证明: ∑

≈是

的元间的一个等价关系

五、证明题（每小题8分）

24.设p 是素数,证明:p 阶群都是循环群.

25.设Z b a b a R ∈???

??????? ?

?=,|00,证明:R 关于矩阵的加法和乘法构成一个环

2010年4月广东省高等教育自学考试 一、单项选择题（每小题3分）

1.设集合},,{},,{d c a B b a A ==,则集合B A ?的元素个数有

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

2.设N 是自然数集,则下列定义的运算 中,是N 上的一个代数运算的是

A. 2++=b a b a

B. b a b a -=

C. 2

a b a = D. a ab b a 2-=

3.设13x :},{,}{x

+== ?所有正实数所有实数B A ,则?到B A 到的 A.单射非满射 B.满射非单射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 4.在群G 中,元素a 的阶为5,则2

a 的阶为 A.2 B.3 C.5 D.10 5.在4次对称群4S 中, 2)1234(等于

A.(13)(24)

B.(1324)

C.(14)(23)

D.(1423) 6.设11Z 是模11的剩余类加群,则11Z 的子群共有 A.1个 B. 2个 C. 4个 D.11个 7.下列说法正确的是

A.环R 必含有单位元

B. 环R 中至多有一个单位元

C.若环R 有单位元,则它的子环也有单位元

D.若环R 与它的子环都有单位元,则两个单位元相同 8.Z b a b a R ∈?

??

????????

?=,|00,则对于矩阵的加法和乘法构成一个环,在这个矩阵环是

A.由单位元的交换环

B.元单位的交换环

C.由单位元的非交换环

D.元单位元的非交换环 9.设R 是整数环,下列映射f 是R 的自同构的是

A.x x f :

B.x x f - :

C. x x f 2:

D. 2:x x f 10.下列说法不正确的是

A.整数环是一个欧式环

B.整数环是一个主理想环

C.整数环是一个唯一分解环

D.整数环是一个多项式环 二、填空题（每小题3分）

11.设集合A 有2个元素, B 有4个元素,则A 到B 的单射共有___________. 12每一个有限群都有一个___________群同构.

13.在3次对称群3S 中,与元)13(不可以交换的元共有___________个 14设G 是p 阶循环群,p 是素数,则G 有___________个生成元.

15.设G 和__

G 是两个群,且G 和__

G 同态,则这个同态满射的核N 是G 的一个不变子群,且

=__

G ___________

16.一个环R 称作一个整数环,若R 满足乘法结合交换律___________,R 无零因子 17.设剩余类环6Z 的子环]}3[],0{[=S ,则S 的单位元是___________. 18剩余类环n Z 是无零因子环的充要条件是___________.

19.设][,6x R Z R =的多项式R x x 在]3[]2[2

-+里的所有根是___________. 三、计算题(每小题7分) 21.设???

?

??=???? ?

?=15362477654321,652147

37654321τσ (1)求στ; (2)求τ的阶并说明理由

22.设R 是模6的剩余类环Z ,在[4])-x [5])([3]x [4]x ([2]x ][2

3

2

+++中计算x R 四、应用题（每小题10分） 23设

∑=}{阶实矩阵

所有n 对于∑∑?≈≈∈A B A B A :,,的一个二元关系规定与

B 相似,即存在可逆矩阵T 使得B AT T =-1,其中1-T 是T 的逆矩阵.

证明: ∑

≈是

的元间的一个等价关系

五、证明题（每小题8分）

24.设四阶群},,,{ab b a e G =,G e 是中单位元,且其余元素均满足方程e x =2

证明G 是交换群

25.设},|{Z b a bi a R ∈+=,证明: R 关于复数的加法和乘法构成一个环